книги из ГПНТБ / Чугаевский, Ю. В. Элементы теории нелинейных и быстропеременных волновых процессов

и>.г

1 U° ± i -

\l(Uc+«o)Z~ 4 -uo (“c + Uo) ’

Uo = ~ ^

/ - - ' (48)

При

стремлении амплитуды

u0 к

кноидальный

процесс

вырождается в медленный солифон

и = и„

(49)

ширина которого

L

_

^

С 10

(50)

I/с% -сг

неограниченно

растет,

а амплитуда

падает

до нуля при с — с0 .

В случае

с г

>

с*

уравнение описывает

быстрые

кноидаль­

ны е волны,

которые

записываются

теми же формулами,

что

и

мед­

ленные,

за

исключением

соотношения

(4 8 ).

Последнее

следует

за­

мен!

„ .

i

//

Uc -Ua

3 (с г-Со )

(51)

— —£---£. ±

Y / (“о - " с ) г - £ " о ( “ о - “ с ) >ис

г

В пределе

и0

кс-

формула

(46) переходит в

уединенное

решение -

быстрый

солифон

и ш и0

$eeh2( A = c L ) ,

h «

•

(52)

I

h

j

Оба

типа

волн -

быстрые и медленные - вполне

аналогичны

соответствующим процессам

в жидкости, рассмотренным

в главе I .

^

м * ~э~2

— О

(53)

и быстрый солифон вырождается

в короткий

" ■ и° Sl c * ‘

( J!T L ) ’

- - J 7 ?

’

<и >

представляющий,

как и короткий

солифон

в жидкости,

элемеятар—

Параметр

L

для квацрат*ич-

ной

решетки равен

L = Фи

-Д

(55$

что

для

т О С*

-J i

h

солифона,

как и следовало

ожидать, дает

1 С = 1 2 .

и(>г)

Неустойчивость вибратора с ква-

Р и с . 20

дратичным

ангармонизмом

(7)

в

об-

ластях больших амплитуд

Зсод

•с и

и

UJi

\

I

вляется™ ™ ,

2 у ~~ " ~~

— )

по-ви­

)

я5 6

*

димому, одной из основных причин

повышенной7 разрушаемости

ма­

териалов с

неоднородной

структурой.

ди

д 3и

-f-pu

р

Зс/

-

(56)

~dt

+ т

<?,■>

дх

~ Сг

tn = с* -с*

,

Ct o J€

(57)

р -■ с г ~ с*

Умножая (56)

на 2 р и , получим для функции

«У= р и.-2

(58)

в бездисиерсионном

приближении уравнение

(59)

дающее простую

волну s

В случае квадратичного энгармонизма уравнение

(44)

для бе­

гущих вправо волн

можно

записать

в форме Кортевега

- де

Вриза

dD

^

dD

__

д 31 >

_

(60)

—.

У"

D

£

+ т

~з =

О ,

d t

дх

дх<

D = p и

p i = . c i i P .

(61)

- 2 _ ,

Достаточно плавные процессы,

следовательно, и в этом

слу­

чае представляются

в форме простых волн.

Поскольку

уравне­

ние

ut

+ригик = О

от­

личается

от

уравнения

й/, + иик = О

инвариант­

ностью

относительно

за­

мены

и

■ -

и

укруче-

ние волн будет происхо­

дить

по-разному:

пер­

вому

уравнению соответ­

ствует

р

-пила,

вто­

Р и с . 21

рому

-

с^-пила

(р и с.2 1 ).

§

4 .

Распад на солифоны и квантование колебаний

цепочки [6 7 ]

* * =

со ^ 4 л 2-/

(62)

Максимальной

скоростью обличает

самый короткий

солифон стд~ cf -

= - — r.G

ростом

ширины солифона

скорость

его

падает

и в пре­

деле

п — -

: о

приближается к

скорости

линейных колебаний це-

п очки

(с

са )-

Спектр

амплитуд солифонов задается выражением

и „Си')—■

d

d =

. П Г

(63)

\fd/7

что при больших

л дает

убывание по гиперболическому

закону

с/?у

^

J L .

(64)

/7» j

2 п

со,

JEs.

(6b)

7 4 п г- 7 f t » ?

2 ft

Рассмотрим

эволюцию

распространяющейся

по

пепочке

длинной

( h » t 0 )

волны, считая длину

цепочки

для

данного

процесса

таким

волнам относятся тепловые колебания решетки. Пока возму­

щение

остается медленнопеременным,дисперсионным членом д^и(<}1 гд )

в уравнении

(35)

можно пренебречь. Нелинейная же тенденция,

на­

капливаясь,

рано

или поздно приведет к укручению волны ,т.е.сде­

лает

ее быстропеременной. Вступление в игру на этом этапе

дис­

фояного состояния. Тепловые колебания цепочки будут,

таким

об­

разом, суперпозицией не гармонических, а солифонных

или,точнее,

кноидальных мод.

Спектр возможных значений энергий осциллирующих узлов мож­

но построить, приняв, что полная энергия каждого

узла, попавше­

г о в поле действия солифона, равна потенциальной

энергии

узла,

находящегося в вершине солифона:

Еп =

Р и°

у-

___ ,

(66)

2

2^

где f t -

масса

узла.

При больших

п

вклад второго

члена

этого

выражения пренебрежимо

мал,

так что

у

(о0 ft ttc

*

Ьи>о

a;

3tc?o{t

( 6? )

2

~

/г* ’

° ~ 4-х '

На "стелющемся" участке кривая

1

быть

с большой

может

точностью линеаризована. Действительно, выбирая

некоторое

до­

статочно

большое

п - п д

и 'вводя

переменную

А/- ^0 - ^ ,

энергетический спектр

(67) можно представить как

Е

ta >0

2А/ )

( 68)

Ь U)q

* 2 /

'ft ?>/

("о~Н )г

Если положить

у = 26 _=

Гы0 ??0

(69)

*

Л)

2

’

совпадающую с

выражением для

спектра энергий

квантового

осцил­

лятора с той,

однако,

разницей,

что параметр

у ,

играющий ь

(70) роль "постоянной"

Планка,

как и "нулевая

энергия"

Ед о п ­

ределяются, как видно,

с одной стороны, константами cvfffJa ,A г,

а с другой -

числом п07 т .е .

выбираемым приближением.

2 Е* _

2 V

С0

(71;

* to

Поскольку

каждый

солифон представляет

собой

"облако"

из

(2n0 - 2 N - 1 )

классических

фононов

(его

энергия

■= En ( 2 п - 2 Л/- 7 )),

солифоны,

очевидно, также обладают корпус­

кулярно-волновыми свойствами.

Самый короткий солифон

-

это

в о з ­

мущение, в котором в движении

находится практически

один

узел

цепочки, так что его распространение выглядит

как

движение пу­

стого

узла

-

"дырки".

Наконец, из (69) и (70)

видно, что раз ища между нулевыми

энергиями для двух разных приближений

Ео (пд )

и

Е0 (пд +1)

равна

Ejp-0. Это та

минимальная ошибка,

с

которой можно

изме­

нимальная

ошибка

в координате

Л * mLn ~

>что соответствует

временам

&

=

=

. Возможные ошибки в

определении энер­

гии А Е

квазичастицы и времени ее прохождения

через фиксиро­

ванную точку пространства

A t

связаны,

..таким образом, клас­

сическим

аналогом

соотношения

неопределенности

A E A t

*

~ .

(78)

Зак.240

65

В рамках рассматриваемой

теории линейный энергетический спектр

вида (70)

теряет законность при больших энергиях (N

~ па ) , где

уровни определяются

формулой (6 6 ),

дающей для модели

кубическо­

г о

осциллятора (5)

максимальное значение энергии

Е = Етах~

-

. При колебаниях больших амплитуд в уравнение

(35) еле,ду­

ет,

очевидно,вводить нелинейные члены более высокого

порядка»

Нелинейно-дисперсионная эволюция,описываемая уравнениями

(35) и

(4 4 ), в части

взаимодействия

встречных

солифонов являет­

ся

задачей

нерешенной

(в

литературе

известны

/?-солитонные

ре­

шения родственного уравнения u ft - ufX - 6 ( и г)хх -

икххх -

О

[€ 8 ,6 4 ]

) .

Однако для моноориентированных возмущений

процесс

становится кортевег-де-вризовским и на этом этапе картина

рас­

пада ясна.

dz<f

д2(/

д2У (7 0

Я Г - ( к + У )

ч

d*id*P

дхк дкР

развитых нелинейных теорий

пульсовых

волн.

Между

тем

уже

из

предварительных

оценок

следует,

что пульсации крови

в

сосудах

'осят существенно нелинейный характер. Действительно,

согласно

опытным данным (например, С70 -

72J)

скорость

пульсовой

волны с

7

человека

колеблется

в

пределах

от

3 -

4 м /с

в аорте

до

-

14

м /с в

артериях

конечностей. Амплитуда

же скорости пере-

'1ещения крови

(форменных элементов)

по сосудам

v

составляет

жоло 60 см /с

в

аорте

и около

50

см /с

в бедренных артериях.Чис­

та

Маха

М—-jr, таким

образом,

лежат по

этим данным

в диапазоне

М

I

+ 10“ ^,

что

соответствует

области

существенно

нелиней­

ных волн и делает линейное приближение малоприменимым.

Послед­

нее не означает, разумеется, что

линейная и

нелинейная

теории

должны расходиться по воем вопросам.

В настоящей главе упругая трубка с жидкостью

(кровеносный

сосуд ,

шланг и

т ,п .)

рассматривается

как

типичная кортевег -

де-

вризовсквя нелинейная

система

со

сложной,

однако,

инерционно­

геометрической

дисперсией. Нелинейно-дисперсионная эволюция ге­

модинамического

импульса, в частности, "солкптонный"

распад,

позволяют дать

достаточно правдоподобную качественную интерпре­

тацию пульсовых осциллограмм и ряда эксперимента лысых

э'№ектсв

гемо,динамики.