книги из ГПНТБ / Чугаевский, Ю. В. Элементы теории нелинейных и быстропеременных волновых процессов

согласно формуле

у = JcLL

v

, е

со ~сиетеме

уравнение

(94)

можно представить

в форме

~

+ и

=

О „

и = Ч - с 0 -

(101)

d i

ох

Ниже будет видно,

что

уравнения

этого типа

возникают

яри

почках,

кровеносных сосудах, водных поверхностях

и т .п .

В

при­

ближении квадратичной дисперсии (61)

можно провести полный учет

нелинейности уравнений гидродинамики

и получить

точные

решения

в виде кноядальных и уединенных волн.

Для этого

достаточно

до­

полнить

уравнение (101) дисперсионным

членом —

,

что

превращает его в уравнение Кортевега

- де Вриза

ди

с*

)

dt

г Г

стационарные решения которого, в частности, солифоны, нами

уже

рассмотрены (§ 3, п . в ) ) .

Т т е р ь , однако, они

будут

свободны

от

ограничений

на интенсивность.

Следует

заметить, что

уравнение Кортевега

- де

Вриза,

как

фектов отражения или встречного

прохождения

двух

возмущений.

В связи о этим всякие попытки ставить краевые задачи

для этого

уравнения (например, [4 9 ] )

принципиально

требуют

корректного

физического обоснования.

§ 6 . Нелинейно-дисперсионная эволюция

плоского

акустического

сигнала

Поскольку наличие нелинейности приводит к образованию раз­

рыва, который можно рассматривать

как некоторую локализованную

локализует

его, эти тенденции находятся,

фигурально выражаясь,

в состоянии

"противоборства". Параметр,

характеризующий

"сте­

сматриваемых

волновых процессах, можно получить, оценив

диспер­

сионный и нелинейный члены

в

исследуемых уравнениях.

.Диспер­

сионный член

в уравнении (53)

имеет порядок

d * v

У0с г

dxz8 t s

~

~Р~*

где

h -

длина волны,

s

нелинейный

v (

&v

th"J .

d%

0 \8 t

ffx

' '

дя dt

Взяв отношение второго к первому».получим безразмерный па­

раметр

i-v А2

L —

Л * *

/Л м

,

( 102)

=

где

М- число Маха.

Подставив сюда

значения

v0

и

h 3

давае­

мые формулами

(70)

или (71 ),

получим

значение

L

для

солифона

1С

~ 1 2 ,

L

б~ , введенным

Параметр

совпадает о

числом

в

рабо­

те

[1 3 ]

для

волн, описываемых уравнением Кортевега

- де

Вриза,

причем число

(Г"

для

оолитона» получаемого из этого

уравнения,

также равно 12, что, раэумеетоя, не

случайно,

поскольку

речь

идет о процессах с одним и тем же,

эйлеровским, типом

нелиней­

ности. Следует, впрочем, заметить, что число L имеет смысл оп­

ределять

без

превышения точности,

в порядках.-

Lc ~-/0 .

Выберем в качестве начального

возмущения моноэкстремальный

При малых адолах

1 ( 1

}

импульс

носит линейный,

вообще говоря, меморонный характер, к

временная эволюция

сиг­

нала сводится к дисперсионному расплыванию»

Сильно нелинейное

возмущение

(L

Lc )

соответствует при

сравнительно

умеренных

числах Л4

импульоам

значительной

шири­

ны h , Такие

сигналы должны деформироваться

как простые

волны

у =

v i0)p (x~ co t)c o s (к х - c o t )

,

к - -gr- ,

(104)

где

Р ( - ■ ■) - моноэнстремальная

функция, например,

гауссов­

ского

типа

P (x -c o t) = e x p ( - 6 ( x - c 0 t f )

,

Ъ = c o n s t .

(105)

Первый обертон

v

найдетоя

из

уравнения

( j F

- c ‘ £ r ) v ,

- - & ( ? . - § ? )

= Ф <*, *> .

(И б )

=

О

(107)

и будет

равен

i

x+cD(t-V)

(108)

/ Рzcos 2 (М ~ <*>г) £ = р гя1 »-г ( *;Ь-шгг,+ cos2 ( k ^ z i дР ‘ (109)

%

что позволяет представить

vf в виде

V '------ — ехр(-2Ъ (х -C0t )

)c o s £ (£ x -u )t) +

exp(-26(x+c0t ) ; *

xcos2(kx -h c u t)

+ t

У-—— —

екр (~2h(x ~c0t ) г) sin 2 ( kx - w t ) +

* co

+ f

dnPz

d nP 2

( H O )

dxn

’

d t n

7

Здесь через

p(. .

■ )

обозначены гармоники

с п олиэкстремаль-

ными огибающими,

вкладом

которых из-за малости

производных

дпР г .

д Pz

ъ

первом приближении

можно

пренебречь.

дх 1

d tn

Тем не менее наличие этих гармоник указывает

н а

п о л и ~

э к с т р е м а л ь н ы й ,

д и ф р а к ц и о н н ы й

харак­

тер кратночастотного фона. Первые три

члена

моноэкстремальны,

причем затухание, точнее, крутизна огибающей, в два

раза

боль­

ше, чем у огибающей

основной гармоники

(рисД О ). В

последующи:

приближениях эта тенденция ("с а м о с

а а т и е ")

усиливается.

Второй член в (НО ) представляет импульс, бегущий

в

обратнуг

сторону и дающий

р а с с е я н и е

основной гармоники

на

эйлеровской нелинейности как

на неоднородности.

—7^1—

4

Р и с .

10

~ 10 + 10" см.

v (0>co

Д

Ес.ли

не чонохромати-

ческую волну наложено сла-

бое

возмущение в виде

пе­

риодической амплитудной мо­

дуляции ( р и с .И ), то аффект

Р и с .

II

самосжатия приводит к кон­

амплитуд й

центрации

волновой

энергии

в

областях повышенных

за

счет

откачки

ее

из

областей пониженных

амплитуд

S ,

что

Лайтхт,ллом

[5 0 ,

15]

,

впервые

обратившим внимание

на

этот

э<№ект, было

истолковано

как

неустойчивость

плоской

монохроматической

волны

к

периодическим

возмущениям '

в

Зак.24о

33

смысле распада ее

на

отдельные волновые пакеты. Эксперименталь­

но модуляционная

неустойчивость

наблюдалась

в случае гра­

витационных волн

на

воде

[51]

и в случае

электромагнитных

волн в нелинейных

линиях

[52] .

(I I I )

узк-импульс при малых числах Маха можно

записать как

v (t,x ) = v l0)exp^-b

x- {Co+I l L Voy

j y

os ( ^ -(co +A w )t),

( I E )

А

и

t f )

сол {k.K-u>t) ,

(И З )

г .е . в виде

а м п л и т у д н о

и

ч а с т о т i

о

м о

-

д j

л и р о в а и н о г

о

возмущения.

Выражение для

частотной

добавки показывает,

что

наибольшего значения частота

достигает

в центре сигнала, уменьшаясь к его

краям. Обе огибающие импуль­

са

(ри с.12)

будут деформироваться

как простые волны,

причем

у

ней - заднего. Максимум верхней огибающей перемещается со ско-

ростью

/V /

(о)

;

а максимум нижней - со скоростью

с0 + — v

g „

Г+> v ю )' Такой

характер эволюции

огибающих

приводит к

а с и м м е т р и ч н о м у

и с к а ж е н и ю

формы

им­

пульса

и

к

о б р а з о в а н и ю

д в у х

р а з р ы ­

в о в

-

переднего,

или верхнего,и

заднего, или

нижнего. Вре­

мя и расстояние образования разрывов соответственно

Ъразр

=

= t/M(r+i),Хразр

=^разр

со

’ гДе

г

~ длительность

импульса.

При

М ^

1СГ3 сигналы длительности

г—

1СГ2

*

I0 _ J c

дают для

t „ a3p

и

Храэр

порядок

Ъра3р ~ 10 + I02 С,

Хразр

~

1

+

10

Км-

Если известна амплитуда

скорости

v (0j, то по

величине рас­

щепления

максимумов

А ^ (Г + 1 )ч ''о)Т0 -

(Г +1)

V0

— (Г + 1 ) M l

( П 4 )

можно судить о "времени жизни" импульса

V0

или пройденном

им

расстоянии

1 .

Симметричное, в отличие от акустики, укручение

огибающих

электромагнитного импульса в нелинейных линиях передач

экспе­

риментально наблюдалось в

работе

[5 2 ] .

По мере укручення огибающих импульса

в игру

вступает

дис­

персия,

в результате

чего

деформация

сигнала

начинает

носить

нелинейно-днсп ерсионный характер.

в) Распад возмущения на солифонн

Анализ нелинейно-дисперсионной эволюции акустического сиг­

нала

в идеале должен

был бы основываться

на нестационарных

ре­

рия оставляет желать большего; наибольшего успеха удалось

дос­

тигнуть в исследовании уравнения Нортевега - де Вриза

(напри­

мер, [53,54] ) . Общие тенденции в эволюции волновых

возмущений,

тем

не менее, могут

быть прослежены с помощью достаточно

про­

стых

качественных

соображений.

L

Пусть первоначально импульс характеризовался

числом

,

т .е .

в нем доминировали нелинейные процессы. По прошествии

не­

которого времени

t0

импульс подходит к разрывному

состоянию и

Если же сигнал имеет форму

импульса

с

высокочастотным

заполнением (ри с.1 4 ) ,то пос­

ле распадения на солифоны (разбиение

про­

цесса эволюции на фазы, разумеется,

услов­

но) начнется процесо смешивания

солифонов,

поскольку каждый из них будет двигаться

со

своей, соответствующей амплитуде,скоростью.

В крайних случаях коротких и длинных

ооли-

фонов, ввиду пропорциональности амплитуд

скоростям, солифоны о большими

амплитудами

начнут обгонять обоих менее интенсивных

спутников, так что к некоторому

моменту вре­

мени солифоны выстроятся "по

р о сту ".

Рас­

стояние между ними будет увеличиваться,

что

в пределе приведет к полному

размазыванию

Р и с .

14

первоначального возмущения на все простран-

отво.

г)

Слияние солифонов,

принцип

суперпозиции

Волновые возмущения, описываемые уравнениями

(5 3 ),(5 6 ),(6 4 ),

в силу инвариантности этих уравнений

относительно процедуры

t ~

- ~ - t ,

х -*--*■

обратимы в пространстве-времени,Фигурально

вы­

ражаясь, фильм, на котором снят

распад произвольного

возмущения

на солифоны (в

общем случае -

солитоны),

прокрученный в

обрат­

ную сторону, даст точную картину слияния

солифонов и

образова­

ния первоначального возмущения.

Продолжая дальше обратный

от­

уже бегущие в противоположном направлении, что,

таким

образом,

воссоздаст полную картину

взаимодействия

солифонов - их

слияние

о последующим распадом. Следует при этом иметь в виду,

что

урав­

нение Кортевега - де

Бриза

по причине,

отмеченной ранее,

может

описывать, в отличие

от уравнений (53) и

(56 ),

только

взаимо­

случае взаимодействие солитонов

остается

трудной проблемой, на

которой мы остановимся в последней главе.

Строго говоря,

оолитон

является решением того

или

иного

волнового уравнения

только в

изолированном виде, в

единственном

числе. Дврсолитонное состояние

v; + v2

есть решение,

например,

уравнения 'Кортевега - де Вриза

только приближенно,

о

точностью

до ошибки, равной vt

х ^

Геометрия солитонн,однако,та­

кова, что эта ошибка

исчезающе

мала везде, кроме области

взаи­

свош и "ядрами".

Размер

этой области можно определить как

суш у

ширин взаимодействующих

солитонов. Существенное

отклонение

от

принципа суперпозиции,

таким образом, имеет место только

непо­

средственно в области взаимодействия солитонов,

что

позволяет

говорить о двух-,

трех-

и

ч-солитонных состояниях.

§ 7 . Уравнения высокочастотной акустики

движущейся жидкости

Известные в

литературе

уравнения, описывающие

прохождение

скорости движения

среды

в

звуковом поле

v одного

порядка

оо

скоростями в потоке

"v0

.

Так, наиболее простое,

уравнение

Ан­

дреева

- Русакова

[56]

описывает изэнтроиическое

прохождение

звука через идеальный незавихренный быстрый поток.

Аналогичные

уравнения для слабозавихренной среды рассматриваются

Обуховым

[57]

и Черновым

[58J.

Наиболее

общую систему

уравнений

аку­

стики

быстродвижущейся

идеальной

жидкости дает

Блохинцев [59J,

Требование

vg

>>

v

, однако, весьма

сильно

ограничивает

Другим примером является случай завихренного потока,

когда

вращательные

скорости

в вихрях

сравнимы

со

скоростями

их

перемещения Тп ,

Уравнения Блохинцева относятся

только

к

край­

ним случаям

>> \Г

и

Наконец,

еще один практически актуальный пример невыполне­

ния

гипотезы

быстрого потока - волны достаточно

высокой

часто­

ты.

Очевидно,

для

любого заданного потока

7

существуют

волны

такой частоты, что колебательная

скорость

в волновом поле

срав­

нима со скоростью

потока ч~ ~ v*.

Поскольку при математическом описании динамических процео

сов

одно даже

очень сложное уравнение, за

редким исключением,

предпочтительнее

системы большого

числа простых уравнений,

при

а) Изэнтропическое приближение, вязкая жидкость

[6 0 ]

Специфика процесса прохождения акустических волн

внеокоi,

ч а сто т

через

движущиеся

среда

заключается в

том, что, с

одной

стороны,

как

отмечалось,

имеет

место

V ~

, а с

другой

ввиду малости

длины волны

исходное

движ ете

потока

может

рас­

сматриваться

как слабонеоднородное.

Первое

обстоятельство

за­

полей р0 , р 0 ,

v0 и звуковых добавок

р , р ,

V:

P = Po + ? r

f = P o + P ,

* =

(115)

где требованию малости подчиняются только р

и р :

Р ь ^ Р , Ро ^ Р ■

(И 6)

Гипотезу

"бесшумности"

и слабой

неоднородности исходного

меняемости

исходных полей

%

, р0 , ро

во

времени и

простран­

стве по сравнению с сильной изменяемостью

звуковых полей S/}p tp :

дРо

др

Лд

^

?Р_

3%

< <•

dv

----- < <

—

dt

( П 7 )

dt

dt

dt

9 t

d t

v / J « v p

,

v p 0 ^ v p ,

d i v v0

и Т .Д .

После стих предположений уравнение Навье-Стокса

можно пе­

реписать и виде

+

+

+

V d i v f ,

( 1 1 8 )

имен в виду,

что

чет релаксационных процессов

в дальнейшем про­

водится через

ооьемную

вязкость 4 .

Уравнение непрерывности

примет форму

ЗР

-

_

^

„

j p p d a d i v v a ( v0 + v ) v p = О ,

( I I 9)

или посла действия

оператора V

0

d v f i

.

—

__

—.

^

—Оt - t - p 0 v c t i v v

+ v ( ( v o i . v ) v p )

= О.