книги из ГПНТБ / Чугаевский, Ю. В. Элементы теории нелинейных и быстропеременных волновых процессов

)ид решений этого уравнения зависит от знака коэффициента

при

зтором

члене. В случае положительного

множителя

с а и и>0 )

решением будет

"медленный" солифон (приложение,

а)

)

x- c t\

Л

(69)

‘ М

=

3

Vfc =

3 (с0г - с 2)

(70)

ширина которого, как видно, изменяется от 0 до

при

изме­

нении

скорости

с

от 0

до

co = u)0J'/y.

"Быстрый"

солифон

( р с г

>

)

запишется

как

V = vc seek

*0 =

3

(С *-С о)

h =

2 .С

(71)

с

\ ^ = COf

Лпределе

ejg —

о

"быстрый" солифон,

естественно,

совпа-

дает с

"коротким".

На ри с.2

показаны

про­

фили

"медленных"

солифонов

для некоторых значений пара­

метров

v

h . Профили

"бы­

стрых"

солифонов

получаются

смещением приведенных кривых

по

вертикали

вверх на

вели­

чину

J vQ }

т .е .

будут

рас­

положены полностью в облаоти

положительных окоростей. Дви­

жение среды пооле "быстрого"

содифона

и перед

ним практи­

чески отсутствует. Медленный

же солифон имеет отруктуру -

Р и с .

2

внутреннюю область ( 0

^ v

6

)

положительных

скоро-

стей

и

внешвюю

область

{O&vz-,

-3 v(.

)

отрицательных,

Перед возмущением и после него жидкость движется

с

постоянной

скоростью

О 1/

солифон возможен

только

V = ----- ,

т .е . медленный

v = ? 0 ( t ) T ( t ) ,

(78)

считая T ( t )

медленно меняющейся

амплитудой,

a v0 ( t )

ре­

шением уравнения (7?) без диссипативного члена,

т ,е ,- нулевым

приближением,

+ 9'*° +<f%z = 0.

(79)

Подставляя

(78) в (77) и имея в

виду (79 ),

получим

Т - 1 -

(80)

Т= / -

sh ( - I х

) .

(80а)

h<fvc

\

h

J

Поскольку sh

- функция нечетная, влияние вязкости

и ре­

лаксации приведет к несимметричному искажению геометрии

соли-

фона:

задний его фронт будет

прогибаться, а передний ,

наобо­

р о т ,-

выпучиваться.

Профиль

уединенной

волны., будет деформиро­

е)

Диш ерсионное "заострение"

профиля

волны

Учет в разложении функции с( к)

членов

четвертого

поряд­

на иоЛ

с(А) =* с0 -Ъ кг + d k 4

,

d=

const

приводит

к пополнению уравнения (64) производной пятого поряд­

ка

, ~dsv■

dv

dv

£

d3v

(64а)

dt

дх

дх 3

дх 5

Квазистационарному решению получающегося отсвда

уравне-

где в качестве нулевого приближения

vg

следует брать

длинный

солифок (66)

(ри с.3 ,6 , кривая

оС ) .

Из поведения функции

v"'

(кривая J3

) видно,

что

высшие

дишерсионные

члены

заостряют

вершину

солифона (кривая/ ), де­

формируя его

геометрию в сторону так

называемого

т р о х о —

и д а л ь н о г о

профиля Герстнера

(кривая & ) .

Гравитаци­

онные волны такого

типа без

труда можно наблюдать на

глубокой

см. в

[2 2 ] ) .

ж) 0 числах Рейнольдса и Маха

В связи с тем, что в

нелинейной акустике

диспергирующей

жидкости

оказываются возможными стационарные волны, вообще го­

воря, любой скорости распространения, возникает

необходимость

ввести

определенные коррективы в понимание критериев Re и М.

Как

видно из уравнения (7 7 ),

критерием" недиссипативного

приближения является неравенство

( v v | <<

\fv\ ,

которое

удобно переписать,

введя

численный критерий

Ц ч>о-Гс ‘

|1- « l

Re >> /

(81)

/Г= -

«К

he

где

Re =

-

число Рейнольдса

для данного процесса, х =

и,

кроме

того, принято простоты ради

j v

- -

J3'

Для

3

весьма

медленных волн, следовательно,

даже при

Re<<1

чис­

ло

К

может значительно

превышать I

и допускать,

таким

обра­

зом, пренебрежение диссипацией. Так,

при

х

~

Ю- ^

и

R e ~

~

ХСГ^

-t

10“ ^ число

К

имеет порядок

Хс£

*

ХО^,

допускающий

бездиссипативное

приближение.

М =

-jr-

под с

Аналогично,

при

определении

числа

Маха

следует понимать не скорость линейного бездисперсионного

зву­

ка,

но

скорость

рассматриваемого

нелинейного

стационарного

волнового процесса.

§

4. Кноидальные волны, "бисолифоны",

"волновая

сверхпроводимость"

Уравнения ангармонического вибратора с квадратичной нели­

нейностью,

рассмотренные

в предыдущем параграфе,

имеют

перио­

ных волн на мелкой воде и были названы ими

к н о

и д е л ь ­

н ы м и ( сп -

эллиптический

косинус).

Рассмотрим

уравнение (68)

при ^ с 2 < о-'2

, т .е .

медленный

волновой процесс. Если амплитуда волны меньше

амплитуды соли-

фона

v = vo -iv 0-vt)s n * (£ z j± L , 9 ) = Vf +(v«0-v ,)c/7 z (lil£ £ A ,

(83)

Здесь v

-

ордината

максимума волны -(горба),

vf-

ордината

минимума

(шадины),

(vg - vf )

- следовательно,

амплитуда вол­

ны. Модуль

^ имеет

значение

9

vО

-V2

(84)

где

Ь

= -

^ r~ ±

J

\J(Vc +v0) 2 -4V0 (vc + V0)

(85)

WB> V >

V, > V2 .

Длина

волны

h

определяется

выражением

h =

Z 'JJc

/ Zf(v0-v2) '

( 86)

Если амплитуда

кноидальной

волны

близка

к амплитуде

солифо-

на, волновой процесс представляет

собой

цепочку периодически

сле-г

дующих друг

за

другом

импульсов,

форма

которых близка

к

солифону

(р и с .4,

кривая

а ).

Чем ближе

ам­

Р и с . 4

плитуда процесса к солифовной.тем

дальше импульсы друг

от друга. В пределе расстояние‘ между

им­

Обе эти тенденции в нелинейной эволшди кноидальных

вол',

нетрудно проследить

аналитически.

Действительно, при

прибли

кении

амплитуды кноидальной

волны

(83) к солифоннрй ( v0~ v, ) —”

— vc

имеет место

v' — •vz— »—

Пользуясь

фор­

мулой

вырождения для

эллиптического синуса

(8'?)

из (83)

находим

V ( x - c t ) /

(8-3;

h

При уменьшении амплитуды' волны модуль стремится

к

нулю

0 ) и формулы

Sin U’

Cn{U’Z)^ - ^ o ^ CaSU'

(89)

V (x - ct) = v0 c os

,

Zc

(90)

к = 'fwJFifF

На р и с.5 изображены профили кноидальиых волн для

некоторых

значений параметров ( Vp- V,), h .

(v, v ) по-

Вид решений уравнения (68)

на фазовой плоскости

стится на

величину 2 vc / 3 .

Учет

даооипацм приводит к уравнению (77),

численные реше­

ния которого для следующего вабора коэффициентов; V = Orf;

f = fi

0.4-

приведены на рио.7 . Кривые й ,Ь t C,

как видно,

пред­

уменьшением дисперсии принимают форму ударной волны

с

осцилли­

рующей структурой [16,44,46], вырождаясь

в пределе

V

О в

апериодический скачок. Между периодическим

с и неустойчивым d

решениями лежит другая предельная

апериодическая волна, пример­

ный профиль которой показан на р и с.8 (кривая а

) . Для сравне­

ния здесь же приведена уединенная

волна ( Ъ ),

соответствующая

Р и G. 7

vpr — o

o

Следует, однако, иметь в виду, что

чателя.

Б связи

с

этим в приложениях оказывается удобным

рас­

сматривать квазистационарную волну

б и с о л и т о н н о г о

типа -

спаренную комбинацию горба

и впадины

(р и с.8, кривая

с ,

фазовая

картина на р и с.9 ). Хотя

"бисолитон”

уже не является,

строго говоря, стационарной волной, однако его отклонение

от

стационарности

может

быть весьма

мало и сказываться поэтому

толь-

Р и с . 8

Р и с . 9

кс) аа очень больших расстояниях.

В гемо-

и нейродинамике

(гл.Ш

а У1), где проводящие системы не

являются

в этом смысле

без­

граничными, введение бисолитонов

вполне оправдано.

незамкнутых фазовых траекторий,

дающих неустойчивые решения

уравнения (68 ), сопровождается

нарушением стационарности уеди­

ненной волны из-за нарастания нелинейных тенденций,

что приво­

дит к деформации ее профиля.

Нелинейная деформация волновой геометрии была рассмотрена,

как известно, еще Риманом [ 4б]

на примере простой

волны - ин­

тенсивного возмущения в идеальной бездисперсионной

жидкости.

(92)

Умножив

первое уравнение

на

и вычтя иэ него вто­

рое, получим для местной скорости

волны с ( р ) :

(93)

Подставив это

значение скорости

в

(91),

найдем

(94)