книги из ГПНТБ / Чугаевский, Ю. В. Элементы теории нелинейных и быстропеременных волновых процессов

§ 2,

Линейные возмущения

а) Дисперойй,

монохроматическая волна, "скинфон"

В линейном приближении без диссипации уравнение состояния

принимает вид

p + c o f p = [ p .

(10)

Имея в виду, что

начальным состоянием среды является

не­

ме

t

'

Р

.

(II)

о

.В совокупности с линейными одномерными уравнениями идеаль­

ной жидкости

Я

—

_ _ 2Ё.

с(р

п

&V

( 12)

-г ? + Я - j - = О

дг

дх

dt

дх

соотношение

(II)

образует

замкнутую группу.

Частным решением системы

(Ю ),

(12) является монохромати­

ческая волна

р

= Q (x )e ±iu)t,

Учет

в уравнении состояния инерции колеблющихся частиц приво­

дит,

таким образом, к

о т р и ц а т е л ь н о й

дисперсии

скорости.

В пределе медленных полей oj << toQ уравнение

состояния

принимает обычный линейный вид

d2v

/

d zv

.

(15)

~ '-■*

=** "

°-

шо

d t ‘

Быстрые поля

ш > coq

вырождают процесс

в эллиптический

д гу

= о ,

(16)

д к 2

со

-

со /

a t *

что дает затухающие стоячие

волны ("скивфон")

вида

у = vn ехр ± ш

Г

±Lojt

1

~ X

(17)

------2

ш

- OOZ

др

— с

о

,

(18)

¥

или, другими

словами, мнимой скорости распространения

С = С

f

(19)

Наконец,

сверхвысокие

частоты

си >>

и сверхкороткие

импульсы t~' » со0 дают в

качестве уравнения

состояния

Р

- $ Р -

, (20}

невзаимодействующих

частиц

("конденсированный"

г а з ).

Дифферен­

цируя

уравнение

непрерывности по t и х ,

получим

dp

3 3v

( 21)

IЭр

* ^ +Л JP d i = О.

j.

п

dv

и интегрирование по

,

-

Подстановка

= ~Р0 -щ-

«•

( произволь­

ную функщш интегрирования

С (к) можно, не

ограничивая общно­

сти,

опустить) дают

для v

обыкновенное .уравнение

а \

-arv

= о

422)

dx2

и предельную форму

"скинфона"

(23)

где Q ( t ) - произвольная

быстрой временная функция

времени.

Вариации плотнссти

и давления задаются уравнениями (1 2 ).

б) "Злостный"

эффект с

= с ( Т )

Полученное здесь выражение для скорости звука в

бездио-

персиояном приближении

содержит параметр

сг,'дающий извеотнуш возможность для

выхона

на эксперимент по

температурному эффекту в жидкостях с ~ с {

i у.

Как известно,

одним из наиболее жестких тестов,

ставшим

"камнем преткновения" для всех модельных теорий жидкости,

слу­

Зависимость эта в широком диапазоне температур

имеет падающий

характер, меняя знак только при весьма высоких

температурах -

точках инверсии (например,

[4 1 ] ) .

На основании рассмотренных

выше выкладок такая закономерность

(до точек

инверсии)

может

быть качественно объяснена ростом эффективного

сечения

частиц

б’ =<?( Ту о температурой,

обусловленным увеличением амплитуд

и ро , как видно из

(23 а ), приводит к падению с.

в) "Память",

"меморонная"

волна

Поскольку монохроматическая волна,

не будучи переносчиком

энергии или массы,

сигнало; не является,

возникает

необходи­

мость рассмотреть возмущения произвольной формы.

Исключив из сиотемы ( I I ) ,

(12) функции р и р

, нетрудно

ное уравнение

±

J

уг~ s in <o0( t - $ ) d %

•

(24)

О

Разделив переменные

в этом уравнении,

найдем

й \ х )

+ a 2 CU*) = 0 ,

(25)

>= о .

(26)

Пользуясь

обычными формулами

операционного

исчисления, в

частности

теоремой

свертывания

(

/ , * W * o

>

f

/> а - $ П г Ф < * ь *

(27)

ii.;jpj'4 H0 для изображения

_

г°°

—xt. ■

(28)

Т*(Х) = А f

е

T ( t ) d t

получить

Т* = % \ Т ( й) ( $%г +

.

(29)

Применение далее второй теоремы разложения Хевисайда для

ра~

циональной функции

(напрцмер, [4 3 ])

F(x)

= ~i

=

Ft (‘0) +

Y_

Fi ^ O

. __Д__ t

(30)

F2M

F2 (0)

л-t xkF2 (xk)

Д-Д*

где

xk

-

корни полинома

F2 (x ) ,

дает

для оригинала

777) = —-J T<'0 )i -

ехр

lacoQt

-ехр

- Lacog t

(3-С)

2 l/f +aza a>Q

у + а 2

После

чего

решение примет

вид "м е м о р о в н о й" волны

\'a ( . x , t ) = { C , e a\

С2e~ia* ) ----- L

-----■

Vf+az

(32)

\/$+аг аю0

Параметр разделения

а

имеет либо

сплошной спектр (безгранич­

ная

среда), либо дискретный (краевая задача). В первом

одучае

(3 2 ),

очевидно,

следует

проинтегрировать по a f

V(K , t ) = J ( С1 ( а ) е шх+ сг (а) e

iax)

sin- atcoj do, (32a)

\fpra r aui0

считая Cf и

C2 функциями

а,

значения

которых

находятся из

начальных условий. Во втором случае частное решение (32)

необ­

ходимо просуммировать по всем значениям параметра

а .

спектр

которого определится краевыми условиями.

Меморонная волна, как видно из формул (31) -

(3*■ !,

пред­

ставляет собой

суперпозицию двух

волновых пакетов

с дискретным

(краевая задача) или сплошным

(безграничная среда

)

спектром

скоростей с = uj0f V% +а 2 .

В последнем случае

скорость

рас­

пространения гармоник меняется

от

со =u)o/\fJ

до

нуля

при

изменении волнового числа а

от

О до

Поскольку

волновые

дый из них в отдельности решением

задачи

не является,

меморон­

ная

волна представляет

возмущение

биориентированного

характе­

ра.

Это специфическое

свойство является

общей

особенностью

возмущений меморонного

типа. В оптике в связи с этим возникают

весьма принципиальные

трудности (§

I , гл .У ).

dv

др

,

dzv

?

/

4.

к -

(33)

Ре н

л *

'

=

i

3S

h

(34)

."

/3^ *

= гр.

(35)

р + - f p + u > o P

П ервпишем уравнение

(35)

в интегральном виде

£

^

/ = Х JjS($)e

6

sLnb>f(t^)cf$ ,

со= у/а;ог - ^

(36)

1 о

Дифференцирование

соотношений

(34)

и (36)

по

х

дает

Л .

+ Ро

д \

= 0>

(37)

1 7 *

dt дх

О-

t

“

jt/7 W,(t~$) d%.

(38)

- Р . = ±

[■ i L e

дх

' lo1

J

дх

о

'Подставляя производную

&L

из

уравнения (33) в

(38) и полу­

ченное

выражение для

в уравнение

(3 7 ),

для

скорости

в

зязкой

жидкости получим уравнение

t

fi'(t-S)

1

J _

§1 L

- v J j L ) e

Г

sinajt d -t;)d $ = 0 , m

)

4

d

t j [

Ч

дхг /

О

* = ф о ■

Разделив переменные,

найдем для

v = Q(x)

Т( t )

:

Q"(x) + а г Q( x)=

о ,

(40)

t

p'(t-

I J

L

('

i L

e ~

6

sin

u>,(.t - $ )d$ + а г T +

Ш1 dt J

Ч

0

<хгГ м

t

S(t-S)

J T

e

&

s in

u)1( t - £ ) d $

= 0

(41)

%

I t

о

•Уравнение

для

изображения

т *

имеет

вид

т*= Т(0)

_________

Х(1 + а г \>)

2 f ( f + a 2V) а; + 2 а к{ \ 1■>' .Jf’ j

’

7 1

+__________ я

1

(42)

2$(1 +or2v7 Дг + 2 а г ^Лг + £ - ) ~

( Л

- Я 2 )

*

где я? t

я

-

корни

квадратного

уравнения

( / +fO(2v + аг )\2 + Р~~х

+ а2 (со* У-~

\ = о.

(43)

о

'

Переход к оригиналу

дает для

меморонной волны

выражение

ъ 1ах ^ г-

л, t

144)

( С, е

+ С.

H # ( x f) e ’ + Q(xz ) e

й ( \ г ) = }<* + а 'V) \2 } ( 1 + а г ' ) ) * 1 г + 2 п‘ <л

ж

■ (45)

1Г

рР

dv

= о,

(47)

д £

Ро дх

Р + шо Р = Г р ■

(48)

После дифференцирования по

t

и х

уравнение (47) при-

нимает форму

д 3р

д 3у

=

О

(49)

ду

J_

d3v

(56)

дх

If 9xzdt

Эт известно], б

уравнения Кортевега - д е Вриза

это уравнение

от-,

личается смешанностью третьей

производной,

что,

естественно,

приводит к некоторой разнице в физических последствиях.

Поиск решений уравнения (56) в виде стационарных

бегущих

волн v — v ( x - c t )

переводит

это уравнение

в обыкновенное

(57)

Уединенное решение (солифон) этого уравнения имеет

вид

(

см.

приложение, а)

)

(58)

где амплитуда

vc

и ширина

h

возмущения

имеют

значения

(59)

Как видно, амплитуда короткого

солифона пропорциональна

его

скорости,

ширина же определяется

молекулярными параметрами жид­

кости и от

скорости

не зависит.

Имея в виду

высокую плотность

Отсюда

ширина короткого

солифона

оценивается

как h**2.lQ.

Таким образом, короткий солифон представляет собой

элементар­

ное, распространяющееся с некоторой постоянной скоростью

воз­

мущение,

в котором в движении находится практически

всего

одна

частица

среды.

Заметим, что уравнением типа (56) описываются

также

вол­

ны плотности (так называемый

"дисперсный звук")

в

дисперсных

жидкостях, например, в крови

(гл.Ш ).

в)

Длинный солифон, уравнение Кортевега

-

де

Вриза

В случае длинных возмущений ( ш

сор )

удобно

перейти

с ~ с п

(61)

с о = - с 0 Ь3 /2 [ = - с о о к3/ 2 у / [ .

(62)

Отсюда следует, что уравнение,

содержащее низшие

производные,

должно иметь

вид

dv

£о_ £ v

= О■

(63)

dt

2f

дх3

Дополнив

его

нелинейным членом

получим уравнение Кор-

тевега -

де Вриза

& - + v

* L

=

О ,

6

= - ^ 2-' =

(64)

dt

дх

6 v " - c v + ^

= 0 .

(65)

Уединенное решение имеет вид .

V = v/C

sechZ ( Ji r ~ ) ’

. ( 66)

vc ~3 с

>

h —2 \J~^

\Jус

'

(67)

Ширина "длинного" солифона, таким образом,

зависит

от

скорости

и тем меньше,

чем больше

скорость.

Следует

иметь в

виду,

что

здесь

v -

скорость

в

системе

координат,

движущейся

оо

око-

ростью

с0 (

са - система).

г)

Быстрый и медленный солифоны

Интегрируя

уравнение (55) два раза, получим

v"+

v

= О .

(68)