книги из ГПНТБ / Чугаевский, Ю. В. Элементы теории нелинейных и быстропеременных волновых процессов

формулу ( 8) можно переписать в виде

F(i/(X) ,р ) = cut ,

= \]%(хе-

*г) >

(9)

где

амплитуда <р(х)

и модуль р

имеют

значения

г м ’ в к , и , \ 1 Щ <

Р = ' 1 Щ '

,вд

Из

первого

соотношения (1 0 )

вытекает, согласно определению ам­

плитуда и

эллиптического синуса,

I

£ ___ ^

(/’= Ofс tin ■/ — ------=ат cut

7

V*o-Xf

или

l2ku!L

- tin am со t ~ sn(cut}p).

(II)

х= Хо-(к0 - X,) tnz(c u t,p j

=x1 ^(x0- x f)cr?z(cut7p ) .

(12)

Если

Xq

*- - j - , т 0

Ду-—

- ~^-ур

/,

$n(cottp }

и кноидальные

колебания

вырождаются в моноэкстремальную

кривую

Х = v ( j - - t h

Z- ^ ~ t

)

■

(13)

Решения уравнения

X - к * + <ХХг = О ,

М > 0

,

dC^O

(14)

связаны о

решениями уравнения

(I)

как

х = х + коС~г ,

в чем

нетрудно

убедиться непосредственной

подстановкой.

Уравнение

Х-кх~оСхг = О

к > 0 ,

o(d О

(15)

переходит в

(14) после

преобразования

х -— - г

э уравнение

Х + к х - о ( х г = 0

f

/-=-<?, ai^O

(18)

.переводится

в

(1 ) заменой

х

-

х .

б) Перейдем теперь к уединенным

и

кноидальнш л

решении*

ураниения

X - Ах-г/Зх3—о ,

к > 0

t р > 0 -

(17)

?рвдй интеграл

этого

уравнения имеет вид

кг= с +кх -

■ х ‘

( I 8 J

где

произвольная

постоянная

С

выражается через

начальное сме­

щение х0

как

'А „ г

(19)

С - х* (г х0 -ArJ .

Поскольку

корнями стоящего

справа

в

(18)

полинома

будут

*г,г= ± *о>

’

(2U)

уравнение

(.18)

можно переписать

в

виде

х

dx

Г

— t ,

(х у х >xs уО).

(21;

х,

(х,г - х г) ( х а - * 2 )

Ь терминах эллиптических интегралов это соотношение

записыва­

ется

следующим

образом:

F((f(xj ,р ) =<v£ ,

’

(22)

где

амплитуда

(f

и модуль

р

имеют

значения

(fix) = arc sin

X,2- *

2

(23)

Отсюда

агс sin

1

*,г- х г

-

am cot

или

^ 4

=

w ( c o t , p ) .

.(24)

После этого о очевидностью следует

х= .\/х/ ~(х* - x j )

snz(u>t, р )

•

(25)

При

х, —4 хс = у

имеет мео± - Лу-♦- 07 р

— /

sv(coi,p) -г

th Vk t

и формула

(25)

дает уединенное

решение

х = х с |//

-

th V h t - ± *csech H it .

(2 6 )

в)

Остановимся,

наконец, на интегро-дифференциальном урав­

нении

\PFJ iftrf

+ш*х =

%

-

+

г

со» 1) >

(27]

0

2

л=/

которое является,

по-видимому, наиболее

сложным из

уравнений

этого типа, встречающихся в книге.

При

однородных

начальных

условиях

уравнение

(27)

в изображениях $ (А) = ЛJ e ‘*'x(t)dt

при­

нимает вид i

о

(?+ <*гл+2/3А - & £ ) Х(Л)

“

- f - + Е

л

(*<*„+

% )

/1

или, если

положить

А

~

(/■2

и

избавиться тем

самым от

Д роб-

ных степеней,

*(</) =

а0

// СО„6 ц

(28)

* ?

(9*+ ш* ) \ ( р

" г-(</.4+u>Z)A0< p

где через

Л0 ((/.)

обозначен

полином

4 , ( р “

9

<*г9 2 +&/■

(

Х(Л)'= cfof f

4

я

_____

т г

(<**

■(30.)

+ Г

2 [А (О)

ы

9 < ( 9 с ) ( ^ - 9 с К

h s

K i b ^ ' b )

Здесь введен

полином

Ди ( р = (9*+ ь>1)Дв ( ? ) .

(31^

а ^

и (fs ~ корни полиномов Д0 ( у ) и

А „ ( р ) . Имея в ви­

ду ,

что

- Д

-

е аЧ E r f с (Е v T ) = e e\

f - 0 (в)/?)) >

(32)

\6Г>0

где

< P (t)~ интеграл

вероятности

ф (*} = w

J e ~*Z<**

•

9 Л '(%

у

с-

a?t

.

(33,

* ”

*

К

(? з )

Рассмотрим

асимптотическое поведение функции

X ( i )

. /д ер ­

жав

три первых члена

в асимптотическом

представлении

интеграла

вероятности

Ф( t ) ,

найдем для

больших значений

t:

E r f с ( t ) = f-< P (t)

7

Ы г

(2tz) z

Кто

даст

£ o \j _

~

_ 1

т

г

1

J F %

ft____,

з

2

$

tФ

x(t) ~

^

[cof

т

W

J к

1

(Ь,*Ъ + * « ? / )

(

1

_______3 \

,

(34)

V W

п

s

К

<9s>

\

* ? U * /

ра, разложим в ряды но

степеням <f

обе части

равенства

______________/.

£ ______L---------------£ -----

(35)

49) 4о)

7 W ( 9 s >

(?-?*)

: огда, вводя обозначения

А = А (о) г Д '= Д '( о ) г А"=Д"(о)я т , д , ,

подучим о

точностью

до

членов -порядка (ps :

А

’(</>-

+

+

г ? ? *

*

■■)

* £

* ’

+

£ ?

■

9 ‘

. /1/1

Л

9 *

2 £А

А'А

т

j

.ни

~/~

2 А

+

4 ± т а *

Г2 Аг “

ил т

А"А

/ -

6А:- 9 '

■ 1 - { Ю 39 ' ^ ( £

Ы 9 Н * Ш * 1'

(36)

О

другой стороны

-/

n ± + j £ + l L + .

(37)

- 9 9

9 9 s

9'-h

/ - 9 9 s

9s ? sz

9s

Сравнивая

коэффициенты при

одинаковых степенях ^

справа

И

слева в

(3 5 ),

подучим:

1-

U .А ,Аманов,

I,Б .хохл ов . Проблемы нелинейной

оптики,

М.,

ВИШНИ, 1964.

2,

С,А.Ахманов,

А.II.Сухоруков, Р.Б.Хохлов. УФН,

9 3 .вы л.1.196?.

3 ,

Н.Бломберген. Нелинейная оптика. М., "Мир",

1966.

'■г

Нелинейная оптика. Труда 2 -го Всесоюзного симпозиума

по

не­

линейной оптике. Новосибирск, "Наука", 1968.

5 .

Нелинейные процессы в оптике, Труды I -й Всесоюзной

конфе­

ренции по

нелинейной оптике. Новосибирск, "Наука",

1970,

6 ,

Я,Б.Зельдович, Ю.П.Райзер. Физика ударных волн и высокотем­

пературных гидродинамических явлений. М., "Наука", 1966,

7 ,

Л.К.Барембо,

В.А.Красильников. Введение в нелинейную

аку­

стику. М.,

"Наука", 1966,

8 .

Г.А.Остроумов. Основы нелинейной акустики. Л ., Изд-во

Ле-

нингр.ун-та, 1967.

9,

Р ,3„С агдеев.

Коллективные процессы и ударные волны в разре­

женной плазме. Вопросы теории плазмы, А, 20, М., Атомиздат

I96A-,

1 0 .

Б.Б.Кадомцев. Вопросы теории плазмы, 4 , 188, М., Атомиздат,

I96A,

Н .Б.Н .Цытович.

Нелинейные эффекты в плазме, М., "Наука", 1967

1 2 .

В,М.Файн, Я.И.Ханин. Квантовая радиофизика.

М.,

"Советское

радио", 1965,

1 3 .

Квантовая радиофизика. Труды ФИАН, 52. М,,

"Наука",

1970.

Р+.Н.Н,Боголюбов, Ю.А.Митропольский, А.М.Самойленко.

Метод ус­

коренной сходимости в нелинейной механике. Киев, "Наукова

думка", 1969.

1 5 ,

Нелинейная

теория распространения волн. М .,

"Мир", 1970.

1 6 .

Б.И.Карпман, Нелинейные волны в диспергирующих средах,

М.,

"Наука", 1973.

1 7 „А.В.Гапонов,

Л.А.Островский, М.И.Рабинович. И зв.вузов,

Ра­

диофизика,

13, Ik 2, 1970.

18,

Б,Б.Кадомцев,

В.И.Карпман. УФН, 103,

в ш .2 ,

1971.

1 9,

II,М.Колесников. Введение в нелинейную электродинамику,

Минск, "Наука и техника", 19?1,

20,

Труды

5-ой

международной

конференции по нелинейным колеба­

ниям.

Киев,

1969 (в 4~х

томах).

Институт

математики

АН

УССР, Киев, 1970,

21, Прочность и пластичность, М., "Наука", 1971,

22, Г.Ламб. Гидродинамика. М.,_ Гостехиздат, 1947.

23,

D.J.Korteweg,

G. de

V rj.es, Phil.M ag.,

'442,

1895.

24,

C.S.Gardner,

G.K.Morikawa. Courant In s t,

o f

M ath.Sci.Rept.

NJO,

9082, I960.

25,

B .K .Захаров. ПМТФ, № 3,

1964.

26,

К.W.Morton. Phys.F luids,

2> 1801, 1964-.

27,

H.Washimi,

T .'Ia n tiy ti.

P h y s.R ev .L ett., Д2» 966,

1966.

2 8,

R.iT„Zabusky,

N.D.Kruskal. P h ys.R ey .L ett.,

240,

1965,

29,

Ю.ВДудаевский. Уравнения нелинейных

и

быстропеременных

волновых процессов. Кишинев, "Штиинца", 1972.

30,

Ю.В.Чугаевский. Изв.

АН мОСР, Серия физ-тех.

и мат. наук,

№ 2,

1973.

31,

Л.А,Островский, В.В.Папко, В.Н.Пелиновский.Изв.вузов,

Ра­

диофизика, 15, №4 , 1972.

32,

Т.З.Сохов,

Л.Н.Гутман.

Изв.вузов,

Физика

атмосферы и океа­

на, 4 , №^ *

1968.

33,

Ю.П,Иваннлов.

ЖШ и МФ,

I , № 6, 1961.

34,

Я.И,Френкель.

Кинетическая теория жидкостей. М .-Л.,Изд-во

АН СССР,

1945.

35,

Н.Н.Боголюбов.Проблемы динамической теории

в

статистиче­

ской физике. М., Гостехиздат, 1946.

35,

И,Born, FI.S.Green. A general

k in e tic

theory

o f liq u id s,

London -

Nev; York,

1949.

37.

H.S.Green.

M olecular

theory

o f flu id s . Amsterdam,

195?-»

38 .

Да Бур И.. УФН, 51, 41,

1953.

39.

H .S .Фишер.

УФН, 76, 439,

1962.

4 0,

Д.Гиршфельдер, Ч.Кертис,.

Р.Берд. Молекулярная теория пазов

и жидкостей. М., ИЛ, 1961.

4 1 .

И.Г.Михайлов,

В.А.Соловьев, Ю.П.Сырников. Основы

молеку­

лярной акустики. М., "Наука", 1964.

'*2. М.А.Лаврентьев, Б.В.Шаоат.

Методы теории функций комплекс­

ного переменного. М., "Наука", изд.З, 1965.

м3.

А.И.Лурье. Операционное исчисление и его приложения к

за­

дачам механики. М .-Л ., Гоотеориздат, 1950.

4 4 .

Р.З.Сагдеев. ЖТФ, 31, 1955,

1961.

4 5 .

А.М.Белянцев, А.В,Гапонов,

Г.И.Фрейдман. ЖТФ, 35,

оУ7,1965;

4 6 .

Б.Риман. Соч. М., Гоотехиздат, 1946.

4 7 .

И. Г. Миханлов, В.А.Шутилов.

Акуст. журнал, 4, 174,

1958.

4 8 .

В.А.Буров, В.А.Красильников. ДнН СССР, 118, 920,

1958.

4 9 .

Ж-Л. Дионо. Некоторые метода решения нелинейных краевых за­

дач. М., "Мир",.1 9 7 2 ,

50 .

M .J .L igh thill. J .Inst.M ath .A ppl., д , 269, 1965.

51.

Дк.Фейр. В сб . Нелинейная теория распространения

волн.

М.,

"Мир", 1970,

53 , С.S.Gardner,

J.M.Green, M.D.Kruskal, R.M.Miura. Phys. Rev,

I /e tt ., .Д2,

1095, 1967.

54 . P.D.Lax.Comm. Pure Appl.Math., 21, 467, 1968.

55. Ю.А.Березин, В.И.Карпман. ЖЭТФ, 51, 1557, 1966.

56. H.H.Андреев,

И.Г.Русаков. Акустика движущейся среды. М.,

ГТТИ, 1934.

57. А.М.Обухов. ДАН СССР, 39, 40, 1943.

58. Л.А.Чернов.

Акуст. журнал,. 4, вып,4г 1958,

59. Д.И.Блохинцев. Акустика

неоднородной движущейся среды. М„,

Гоотехиздат, 1946,

60 .

Ю.В.Чугаевский. В о б .:

Волны в

неупругих средах. Кишинев,

РИО АН МССР, 1970. '

61 . Б.Максфилд. УФН, 103. вып.2, 1971.

62 .

Г.А.Аскарьян. Письма ЖЗТФ, 4 ,

вып.4, 1966.

1963.

66. У.Харрисон. Теория твердого

тела.

М.,

"Мир", i9 ?2 .

67. Ю.В.Чугаевский. Прикладная

математика

и программирование,

9, Кишинев, 'Читиинца", 1973.

6 8 . N.J.Zahusky. In;"Nonlinear

Partial

Aquations", edited by

W.r.Aines, Academic. New York, 19&7.

69, R.Hirota. J.Mafch.Pbyg.,

J;'i,

Ы 7 ,

1973,

7U. S,Sgnds. Aju.J,Ph y s io l,,

7J,

519,

1925,

71. H.S.Bazefct, P.S.Cottqn,

L.B,Lapins,

J ,C ,Scott.Am ,J . t'dypi-

o3..,

118,

512,

1932.

72. К.Уиггерс. Динамика кровообращения. М., ИЛ, 19Ь7.

73. Б.Байер. Биофизика. М,, ИД, 1962,

74. И.С.Громекд. Собр.соч, М., Изд-во АН СССР, 1952,

75. P.Lainbossy. HelM.Phys. Acta, 2%, 371, 1952.

76. G.W.Morgan, J .P .Kiely.J.Acoust.Soo,,

26,

.323, 1954.

7 7 . A .Noordergraaf. Biological

Engineering,

McGraw-Hill, Н Л .,

1970.

78 . D .H .Bergel,

,T),L.Schultz,

F rogr.

Biopbys.

and M o l.B io l.,gZ.

1-36,

1971.

'

7 9 . E .O .A ttinger. Adv. In

Biomedical

Eng. and Med.Fhys,, In ter

scien ce Fut)l.

N .T .,

1968.

8 0 . J,M.Burgers. Proc. Acad,

S c i.

Amsterdam, 4£, 2, 1940,

81. E.Hopf.Comro. Pure Appl.

Math., J , 201, 1950.

8 2 . M .Anliker,

II.L.Rockwell,

E. Ogden,

a)

Z,

ang.Math.Fhye, .22,

217,

197-1 {

b)

Z , ang.Ыаfch.Pbys. ,

22,

369, 1971.

83 . H.С.Коротков. Изв.Ймперат. воен .-мед академии,

П ,

№1 , 86

19U5.

8 9 ,

м.Энлайкер, К,Р.Раман.

В о б .: Гидродинамика

кровообращения

М,, "Мир11,

1971,

8 5 ,

6 , W.Wright;,

W .R.Hallaran, C .J.W iggers.

Am.J

P h y s io l..

126.

89,

1939.

8 6 ,

G.Segre, A.Silberberg.

J .Fluid.Mech.,

14, 1,

p.115

-

137,

1962.

87,

Ю.В.Чугаевский. Магнитогравитационные колебания

и

волны.

Кишинев, РИО АН МССР,

1971,

нениям. N1., ИЛ, 1951.

89,

М .Д .и.-Стретт. Функции Ламе, Матье и родственные им в

фи­

зике и технике. Харьков -

Киев, 1935.

90,

И.Айне. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков,

1941.

- '

91, Г.Каудерер. Нелинейная механика. М., ИЛ, 1961.

92,

Л.Г.Иановко, И.И.Губанова.

Устойчивость и колебания

упру­

гих систем. М., "Наука",

1964.