книги из ГПНТБ / Чугаевский, Ю. В. Элементы теории нелинейных и быстропеременных волновых процессов

f>= 4 w l £ } S(R1ooLz + Rz co Lf ) ■

(161)

ц ( ' - К х - %

* ) У + Ж

М

'

■ % *)*

"

(162)

8 бездиссипативном приближении это уравнение

переходит

в

где

к + w~x т<- oCxz =

£?,

(163)

?£ 03£L2

О

F *

/ / (о)£ *

Ы —

^г ^/г ^

> О.

(164)

г.о„ -

¥ « ? < &

Таким образом, как видно

из

(16 3),

нелинейные

колебания

капли будут носить кноидальный характер,

т .е . их

период

будет

расти о увеличением амплитуда, обращаясь

в

с-=>

в

точке x ^ J ^

,

где колебания вырождаются в моноэкстремальную траекторию

X =

2<А

(

-L

- t h

z

*i

)

(165)

у

3

J

шения и в него следует вводить, вообще говоря,нелинейные

члены

<4олее

высокого порядка. Ясно, однако, что,

если центр

тяжести

капли

опускается в область х < х 2 , система

определенно

теряет

устойчивость и

капля проваливается

в отверстие индуктора,

как

бильярдный шар в лузу.

Поскольку

в

нулевом (линейном) приближении

уравнение (162)

дает

классический

вибратор

х0

=

/Ve

sin(u>* t + <f) ,

(166)

Xt(t) = e [fL fe * * Ш )

co*(t-$)ct$.

(1681

о

Поскольку функция

&№) имеет

структуру

H t ) = e

hai2 (си Ч + ?)),

S

' - * * * » *

(1 6 9 )

Пользуясь

полученным разложением, нетрудно убедиться,

что

первый обертон

X, ( t )

состоит из гармоник,

затухающих о дек­

рементами

а *

и 2 А* Специально следует подчеркнуть,

что

вви­

ду четного

(квадратичного) характера нелинейности

уравнения

(162) используемый метод.исчисления первого обертона

не

выбра­

сывает секулярных членов.

Аналогичный подход может быть использован

й

при

анализе

вынужденных колебаний гравиотора. В решении в

этом

случае,кроме

гармоник со спектром сол =

ttto* г появляются

члены с частотами

соп = п и ) где

со - частота

вынуждающего воздействия, а так­

же комбинационные

обертоны

&

~ Ц, —

•

пичной кривой разброса толщины микропровода

(р и с.3 4 ). Кривая по­

строена в схеме спектрально-гармонического

анализа. По оси ор~

Зак.240

121

Оценим прежде всего частоту

собственных колебаний

грави-

стора, пользуясь формулой (134),

в которой пренебрежем диссипа­

тивным членом,

В условиях литья микропровода для

с

и

LfZ

можно принять

€ -v I0-6 + I0 "7 Тн/м, ~ ^

°

2

8»Ю -9 Гн,что определит поло­

су собственных или резонансных частот

как

^ - ^ 2

+

8 Гц.

Первая

заметная тенденция

-

это

общее

спадение

амплитуд

гармоник с

ростом частоты,

носящее явно пострезонансиый

харак­

тер . Наибольший пик лежит в области резонансной полосы

вибрато­

р а . Пик на

частоте 30 Гц обусловлен биениями

бобины

приемного

намоточного механизма. Максимумы на частотах 50, 100 и

150 Гц

вызваны модуляциями амплитуды или фазы напряжения,

подаваемого

д ги

с г д ги

■<°Kz

(0%l t/z £-- ~>0 (I70J

tz

~ со

z +Jtu+<Aug= 0 , a( =

dxz

u 4 (t% z + Lf l , f

d t‘

и = ис sech2

J , uc =

>

hc = 2 \ J - c i - c z

(173)

x

Таким образом, в отличие от солифона иди обычного гравита­

ционного солитона на мелкой

воде [16,

18], амплитуда

солигмона

от скорости не зависит, точнее,

она меняется

скачком

от - и с до

ис

в

точке

с

= с 0 . Ширина

солигмона уменьшается от

^ ~ 2 Со^ _

при

с

= 0 до

h = 0 при

с

= с

и

затем начинает

расти

о

увеличением

скорости.

Для амплитуд

и

и

и

-=-т

решение представ-

О

,■

fc Л

ляется

кновдальными

волнами

U = U0 ( f -

(си в ,р j j

= Uf +(ио - Ц )

с л г( ш в , р ) }

(174)

В случае

0 > и0 >

-Z\J>

u0 < .u ^ c< t ^ u z

(175)

- § it>

ото

будут медленные

волны,

а в случае

0 <ио ^

4 ё '

ио > и

и7 ^ иг

(176)

v -

ду _

диг

z

dz

dt

получим для потенциала на поверхности

(ij +p<f+x<f)/

= О.

(187)

/ г = о

Частным решением уравнений (181) и (187) при

j3 = 0 f как

нетрудно проверить,

является монохроматическая волна, експонен-

циально убывающая от поверхности в глубь

слоя

/

(о)

A zJ(k*-'fxt)

U88)

= / е

е

d t

+

дхг

y = y W - £ ,

(191)

дк

*0

V=A + VB

1 + С exp

(X - ct ))

-1

(192)

V0 =■ 2 ( с + А ) ,

где А и

С - константы интегрирования.

При вещественном значении у

} т .е .

в отсутствии .дисперсии

(^ = ^ ) , решение

(192) дает ударную волну

о амплитудой

VD и

шириной

скачка h — £=- (рис.35,

кривая

а

) .

В случае

иочезакь

ще малой

вязкости

( У —*~0) комплексная

функция

(192)

будет

представлять

незатухающие осцилляции, аналогичные

кноидальным

колебаниям,

не вырождающиеся, однако, в

отличие

от

последних,

в уединенное

решение.

При наличии вязкости интеграл (192) дает затухающие осцил­

ляции о расщепленной асимптотикой

ReV( £

—«— « ) Л

г

£

= х

- c t

f

( I )

( 2 )

где для электронного типа

поляризации е

и т -

заряд и мас­

са t электрона, А/0 - число

частиц в единице

объема,

и>0- собст­

на модели электронного

осциллятора

Лоренца - Друде

(например,

[95,

96] ) .

В линейной теории поляризации и диспероии

использу­

ется

частное решение системы ( I ) , (2 )

- монохроматическая волна

£ ( x , t ) ^ Q ( x ) e iajt,

(3)

дающая для’диэлектрической проницаемости выражение

(4)

Переписывая

уравнение (2)

в интегральной форме

Зак.240

129