книги из ГПНТБ / Чугаевский, Ю. В. Элементы теории нелинейных и быстропеременных волновых процессов

- - J h г

- ^ i I j 1

Э К

ч П л ч

му может служить значительное число опубликованных только

за

последнее десятилетие монографий, сборников и обзоров [I -

20J,

касающихся как вопросов теории нелинейных волн в отдельных

об­

ластях физики, так и методов и проблем нелинейной волновой

ди­

намики в целом.

Одним из интенсивно развивающихся направлений

нелинейной

волновой динамики являются нелинейные волны в средах

с

диспер­

сией. Известно, что нелинейные тенденции имеют свойство

накап­

ливаться. Плоская интенсивная волна,

в частности, с

течением

времени укручивает передний или задний фронт,

т.е.делается

бы-'

строп временной. Когда ширина фронта

становится

соизмеримой

с ха

рактерным геометрическим параметром

системы, начинают проявлять­

ся дисперсионные эффекты и волновой процесс на

этом

этапе-

сле­

персии, как известно, могут быть не только

геометрические

раз­

меры проводящей волну системы,

но и ее молекулярная структура,

регулярные неоднородности среды

(дисперсность), я также диоои-

пация,

которую можно рассматривать как мнимую дисперсию.

Следует заметить, что"дисперсия" как

зависимость

скорости

волш

от частоты или волнового

числа является частным

проявле­

нием "памяти" среды, состояние

и свойства

которой в данный

мо­

мент зависят от предыстории. Уже простое.введение понятия

ча­

стоты

означает использование информации о

поведении возмущения

Котя в 50-60-х годах были достигнуты определенные успехи

в статистическом

описании жидких сред

(например, [3 4 -4 1 ]) .урав­

нение состояния

жидкости остается, тем

не менее,по-прежнему од­

промежуточный

случай,

вызывает при описании наибольшие

трудно­

сти . Дело еще

и в том,

что структура любой сплошной среды

су­

щественно определяется

динамическими процессами,

происходящими

в ней. Одна и

та же среда может проявить себя как

газ,

жидкость

стях, например, теория кумулятивного эффекта

[4 2 ] , достаточно

убедительно строится на основе парадоксальной

на первый взгляд

газо,динамической модели.

как некоторое частное, модельное уравнение,

ориентированное на

.определенный круг процессов, может оказаться

не

каком-то

этапе

'"проходной пешкой", чему нетрудно найти прецеденты.

§ I . Уравнение состояния

Акустическое возмущение в жидкости можно

определить

как

ределягащим область

ближнего порядка” .

Квазикристаллическая

структура

этой области позволяет

рассматривать

каждую части­

цу

как элементарный осциллятор

с

некоторой

усредненной

соб­

ственной

частотой

ш , положение

которого

за время

прохождения

возмущения

не

успевает

за­

метно

измениться

("временный

порядок").

Рассмотрим быстроперемен­

ную плоскую волну

давления р =

-

р ( х , t

)

в

мономолекуляр-

ной жидкости,

выделив

для про­

стоты

одну

цепочку

частиц

(р и с .1 ).

При

разности

давле­

ния р„т

между

соседними

частицами

п

и

т

уравне­

ние

их

движения

можно записать

в

виде

где

иПг7) - расстояние,

на которое

сблизятся

или

удалятся эти

частицы под действием вариации давления

p nm , ju

и

& -

масса

и эффективное

сечение

частиц,

ы.

-

упругая

константа

(в нелинейном случае -

функция

смещения

ипт ),

/) -

констан­

та

релаксационной диссипации.

Усредняя

уравнение

(I)

по

числу

частиц

на единицу

длины

и

вводя средние функции

й „т = и ( £ )

и

Р „ т = Р ( t )

в урав­

нение

(I)

индексы п, m

можно опустить:

-f-сСы = —/зб".

(2)

В случае

трехмерной

волеш

р =. р ( 7 г )

усреднение,

очевидно,

проводится по единичному объему. Следующие

ниже

рассуждения

и

выкладки справедливы после этого и в общем случае.

Число частиц в

единице

объема

N

и среднее

межмолекуляр-

hoe расстояние

t

связаны

соотношением

г~3=

(

t0 + и ) ' 3 ,

(з)

Su*\

( 4)

■

? г )

Дня плотности

р

отсюда

вытекает

Р '

\р = Nop ~3pN0 ^ PL'j +ftpN0 ^-jf-j2~Ро~3ft> (~^)*6я (^ ) ’ (Ь '

где

ро = pN0

=

.

-

равновесное

значение плотности,В квдд

ратичном приближении вариацию плотности

р

можно,следователь­

но,

записать

в виде

? - Р - Л - з * х + * Р - Ш

( 6)

Разрешая это

уравнение

относительно

Р-

, получим

10

(7)

Перед радикалом взят знак минус, поскольку

и — «-

О при Д — ft

Первые

два

члена в степенном разложении функции (7)

даю?5

и _______ J L .

2 Р *

(В)

lo

tyo

Я р*

Умножив теперь все

члены уравнения (2)

на

Ьо

и переписав

его

в терминах функций

^

^

состояния

р

и

р ,

получим уравнение

в виде

4-РРг

4 £

РР

+ шор

3Ро

Зро

оС

/ =

зл/пб-

f i

= р

(9j

Р

Нелинейные члены этого

уравнения

носят

соответственно

инерционный (второй и третий члены),

диссипативный (пятый член)

и неупругий (седьмой член) характер.

Следует, кроме того,иметь

в вида', что при значительных' вариациях

плотностц

появляетоя

энгармонизм в виде функции с<= с((р ).

•

Хотя использование

уравнения

(9)

в полной форме,разумеет­

ся ,

математически

затруднительно,

тем

не менее,

в

усеченном

Зак.240

9