книги из ГПНТБ / Хренов, Л. С. Четырехзначные математические таблицы пособие для учителей

На стр. 27 и табличке

P .p .,

в

столбике

пропорциональных частей для таб­

личной

разности

12 ищем

число

4 или ближайшее к нему. Таким числом

будет

3,6. На

одной с

ним строке с левой

стороны

находится

цифра 3. Приписав ее

справа к ранее найденному числу 0,375, получим искомое число 0,3753.

схеме:

При отыскании числа

по заданному логарифму запись

ведут по такой

мантисса.

т,

!:'

П р и м е р

1. Найти число, логарифм которого 2,966.

оответствующее

На стр. 35

в колонке, озаглавленной

находим число 96,

цифрой 6, читаем

число 9247

(цифру 9 прочитываем в колонке 0 против числа 96).

Итак, с учетом характеристики

0,09247.

П р и м е р 2.

anti lg 2.966 =

Найти число,

логарифм

которого 0.9348.

На пересечении строки

93

(колонка

т)

и колонки 4 находим число 8590

лонке 5, будет 8610.

разность:

Следовательно, табличная

8610— 8590 = 20.

На этой же странице в колонке

Р. р.

находим столбец, озаглавленный

20, и

из него выписываем

число 16,

соответствующее

пропорциональной части 8 (послед­

ней цифре заданной

мантиссы).

Прибавляя

число 16 к 8590, получим 8606.

Итак,

с учетом характеристики заданному логарифму

соответствует

число 8606,

т. е.

Т а б л и ц а

III.

anti lg 0.9348 = 8,606.

Первая часть этих

Логарифмы тригонометрических функций.

таблиц (стр. 36—37) содержит четырехзначные десятичные логарифмы sin

и tg

малых углов от 0°00' до 0°ЗГ

и соответственно

cos и ctg от

89°29' до 90°

через

каждые 10“ дуги

первой четверти.

растая

снизу

вверх, помещены в правых крайних вертикальных

столбцах, а

секунды — в нижних

горизонтальных

строках, возрастая справа палево. В этой

части

таблицы

III

минуты аргумента

имеют шаг в одну единицу,

а секунды —

Открываем

стр. 36 и

в

левой

крайней

колонке

отыскиваем

17',

и

против

них в колонке,

помеченной

сверху 40", читаем: 7,7109.

Это и есть

искомая вели­

чина, т. е.

2. Найти

lg sin 0°17'40" =

7,7109.

П р и м е р

lg ctg 89°31 '20".

находим 31' и против них

в колонке,

На стр.

37

в правой

крайней

колонке

помеченной

снизу 20“, читаем: 7,9211. Это и есть искомая величина, т.

е.'

’ '

Вторая часть этой таблицы (стр. ЗВ—64), составленная с диѵмя входами,

содержит четырехзначные логарифмы

sin,

tg, ctg

и cos для углов іервой четверти;

она

составлена

с шагом в Г для

углов

от 0 до

10° и соответственно от 80 до 90°

и с шагом в 10' для углов от 10 до 80°.

Наверху

каждой

страницы указаны це-

лые градусы от 0 до 45°, а минуты,

к ним относящиеся, помещены в левых край­

них

колонках.

Внизу

страницы

указаны

целые

градусы

от 45 до 89°,

а минуты

для них— в правых крайних

колонках.

В вертикальных

колонках, озаглавленных

названиями тригонометрических функций, находятся их логарифмы.

Если градусы указаны вверху страницы, то пользуются верхними названиями

тригонометрических функций, а если внизу, то нижними.

и

cos и обозначенных

В столбцах,

расположенных

правее

логарифмов

sin

буквой

d

(differentia — разность),

даны

п е р в ы е т а б л и ч н ы е

р а з н о с т и

двух

соседних логарифмов каждой

из

этих

функций. П е р в ы е т а б л

и и н ы е

р а з н о с т и

логарифмов

tg

и

ctg

(одинаковые

для

них)

находятся

в колонке,

названной

d.c.

(differentia communis— общая разность), которая расположена между

колонками с логарифмами tg и ctg.

И

наконец,

на

каждой

странице для углов

от 0 до

10° (стр. 38—57) справа или слева помещены таблички пропорциональных

частей (Р.р.) для

1, 2, 3,

4,

5,

6,

7,

8,

9, 10,

20,

30, 40 и 50 секунд аргумента,

а для углов

от

10 до 45°

таблички

Р.р.

даны для

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 минут

аргумента.

Причем для любой табличной разности,

находящейся на данной странице,

можно найти соответствующую табличку

пропорциональных частей на этой же

или соседней странице (на развороте). В

этом отношении

исключение

составляют

лишь стр. 38—39,

где таблички

пропорциональных частей даны не для

всех

таб­

личных

разностей, встречающихся

на

развороте

этих

страниц.

sin

При

пользовании таблицами

III

следует

помнить,

что

значения функций

и сод для всех углов первого квадранта;

а также

tg

для

углов в пределах

от 0

до 45° и ctg от 45 до 90“ всегда <

1;

поэтому

их логарифмы

будут либо отрица­

тельными,

либо равными

нулю.

Во избежание отрицательных характеристик в таб­

лице

III

к

каждой

характеристике

логарифмов

этих

функций для

аргументов

в указанных

пределах

прибавлено

по

10;

это следует учитывать при вычислениях.

По таблицам III можно, как и по таблице

I,

решать и

прямые

и

обратные

задачи.

1.

Найти

lg sin 3°12'.

П р и м е р

Открываем стр. 44, где находится 3°, и в левой крайней колонке, помеченной

сверху и снизу знаком минут ('),

отыскиваем 12'.

Рядом с ней в колонке,

озаглав­

ленной сверху sin, читаем 8,7468.

Это и есть искомый логарифм, т. е.

П р и м е р

2.

Найти

lg sin 3°12' =

8.7468.

lglg85°14'.

в

правой

крайней

колонке,

содержащей

На стр. 47 внизу напечатано

85°;

минуты аргумента, отыскиваем 14

и против

них

в колонке,

помеченной

с н и з у

tg, читаем

1.0789.

Это и есть искомая

величина,

т. е.

Итак, если в пределах

0°— 10° и

соответственно 80°—90° угол задан

с точ­

ностью до Г , а в пределах

10°—80°— с

точностью до 10',

то логарифм sin,

tg,

ctg и cos этого угла находят по таблице III

н е п о с р е д с т в е н н о .

Если же в указанныхР. р.

пределах угол задан

с точностью соответственно Гили

Г , то для отыскания логарйфма тригонометрической функции такого угла

поль­

зуются табличками

П р и м е р 4. Найти lg ctg 6°33'28".

в

левом столбце

минут находим

33

и

На стр. 51, помеченной сверху

6°,

против них в колонке, озаглавленной сверху

ctg, читаем 0,9400.

Здесь же+левсе

этого числа, в колонке

d .c .

находим

первую

табличную разность 11, соответст­

вующую изменению угла на Г , и замечаем,

что с возрастанием

аргумента

лога­

рифм ctg уменьшается. На

этой же странице слева в столбце (Р .р.) для разности И

находим пропорциональную часть для 20" и 8", равную 5,2 =

3,7 +

1,5 (в единицах

4-го десятичного знака), и,

округляя, вычитаем ее из числа 0,9400. Итак, id

!g ctg 6°33'

=0.9400

'

поправка на

28"=

•—5,

2)

Найти l gt g = 57°47'.

На

стр. 62 находим:

lg tg57°40' =

0.1986

поправка на 7 '=

+ 2 0

П р и м е р

6.

Найти

lg tg57°47' =

0.2006.

cos 143°14'.

По формулам

приведения находим:

На стр. 63

cos 143°14' = cos (180°— 36°46') = — cos 36°46'.

находим:

lg cos 36°40'= 9.9042.

lg cos 36°40' =

9.9042

поправка на 6 '=

— 5

-.-.цьл'

lg cos 3ö°46' =

9.9037.

например, стр. 38), .следует пользоваться

таблицами

1. В

этих таблицах внизу

(стр. 25—32) помещены таблички

перевода

секунд

дуги

в минуты и секунды,

а также даны значения величин:

sin

X

и

T =

lg

t g x

S = t g

lg sin <х =

Ig arc а " + 5 ,

П р и м е р

7.

lg tg а =

lg arc

Найти lg sin 3'20,7'\

этой

дуге

соответствует

5 =

Внизу таблицы 1

(стр.

26) находим: 3'20,7" = 200,7";

4,6856.

I

(стр. 32)

находим:

lg 200,7 = 2.3025. Следовательно,

По таблице

+

200,7 =

2.3025

=4.6856

Этой же величине

lg sin 3'20,7" =

6.9881.

равняется и lg cos 89°56'39,3".

•

П р и м е р

8.

Найти lg tg 32'53,4''.

дуге

соответствует зна­

На стр. 32

внизу

(находим): 32'53,4"= 1973,4"; этой

чение-Г =4,6856,

а lg 1973,4 =

3.2952. Следовательно,

1973,4 =

3.2952

+ =4.6856

I

по таблице

lg tg 32'53,4" =

7.9808,

с о о т в е т ­

При решении

III обратных

задач— о п р е д е л е н и е

значение заданного логарифма функции■ будет т о ч н о

н а й д е н о в таблице

111,

то искомый угол прочитывают н е п о с р е д с т в е н н о .

При

решении обратной задачи с помощью таблицы III следует иметь в виду,

что одному и

тому же логарифму каждой

функции

соответствуют

ч е т ы р е

значения угла, если не учитывать знаки этих функций;,

или д в а значения угла,

если учитывать эти знаки (см. таблицу

приведения, стр. 19). Поэтому

при

ре­

шении

таких

задач необходимо знать,

в

какой четверти находится

искомый

П р и м е р

9. Дан lg sin а =

9.5052. Найти в пределах первой четверти угол а .

На стр. 59 в вертикальной

колонке,

озаглавленной сверху sin,

находим

за­

данный логарифм 9.5052; ему соответствует угол

~~

_

Следовательно,

а = 1 8 °4 0 '.

9.5052 =

lg sin 18°40'.

а.

П р и м е р

10.

Дан lg tg а =

9.5467;

найти в пределах первой четверти угол

На стр. 59 в вертикальной колонке, озаглавленной сверху tg, находим

ближайшее меньшее значение логарифма

по отношению к заданному 9.5451;

ему

соответствует

угол

І9°20'.

между двумя табличными

логарифмами

,

Заданный

логарифм 9.5467 находится

9.5451 =

lg tg

19°20'

для разности

16=

lg tg

4'

Итак,

9.5467 =

19°24\

11. Дан

а = 1 9 °2 4 '.

а.

П р и м е р

lg ctg ct = 0.8296;

найти в пределах первой четверти угол

На стр. 54 в вертикальной колонке, озаглавленной сверху ctg, находим

ближайшее меньшее значение логарифма

но

отношению к заданному

0.8290;

ему

соответствует

угол 8°26'.

-

Заданный логарифм 0.8296 находится между двумя табличными логарифмами

0.8290 и 0.8298, табличная

разность которых равна 8, а разность между заданным

логарифмом и ближайшим

меньшим к нему

равняется

В столбце

0.8296 — 0.8290 =

6.

54) для первой табличной ■

пропорциональной части

(справа

на стр.

разности 8 находим число 5,3, наиболее близкое к разности 6; этому

числу

про­

соответствует

40". Затем берем разность 6 — 5,3 =

0,7 и в этой же табличке

порциональных частей находим, что ей соответствует 5".

уменьшается,

то имеем:

Так как

логарифм

котангенса с увеличением угла

для

0.8290= lg ctg 8°26'

разности

5,3

50"

для

разности

0,7

5"

0.8296= lg ctg 8°26'55''.

чения 2 = lg ^ 1

=

lg

для аргумента

В =

lg

а

— lg 6, с шагом в 0,001.

П р и м е р 1.

Пусть

lg а =

0.3701, a lg

b —

0.1963,

требуется найти логарифм

суммы этих чисел,

т. е. lg(a-)-ö). Разность

На

стр. 65

в левом

крайнем

столбце,

озаглавленном

буквой

В,

находим

число 0,17 (первые три цифры

разности

В).

В

пересечении

соответствующей

ему

строки и столбца, озаглавленного

цифрой

3 (предпоследняя цифра разности

В),

прочитываем число 0,2231

и соседнее с ним справа число

0,2227.

.Пользуясь

столбцом

Р . р . ,

озаглавленным 4 (разность

чисел 0,2231

н 0,2227),

находим,

что

цифре

8

(последняя

цифра

разности

В)

соответствует число

3,2.

I Следовательно,

для

В =

0,1730

2 =

0,2231

поправка

на

7

2 =

—3

1

Далее находим:

для

0 =

0,1737

0,2228.

'

lg а =

0.3701

2 = 4 - 0.2228

Т а б л и ц а

V .

lg (а + і) =0.5929.

служит для

отыскания

Логарифмы

разностей.

Таблица

логарифмов разности

положительных

чисел

а

и

Ь,

если

а

>

Ь,

заданных только

их

логарифмами.

Так как

—

а

Ь) — а

то

(і

lg (о — b) =

\ga— lg-

а

Если

принять

1 b

1---- -

то

lg

A,

а

lg (а—

b)

= lg а — A.

входами, содержит зна­

Таблица V , построенная, как таблица

IV ,

с двумя

чения A = lg ------- g -

для

аргумента

A =

\gb

— lg а с шагом

в 0,001.

для

/1 =

0,6760

Д =0,1028

поправка

на

2

—0

Далее

находим:

для

А

=

0,6762

Д = 0,1028

'

lg Л =2.8145

lg

(а

Д =

0,1028

Т а б л и ц а VI.

— 6) =

2.7117.

(стр.

71—73,

Натуральные

логарифмы чисел. Таблица

с двумя

входами)

содержит

значения

натуральных

логарифмов

чисел.

Здесь

в отличие от таблиц десятичных логарифмов (табл. I)

даны не только мантиссы,

Из этой таблицы

натуральные логарифмы чисел, заключенных между 1 и 10,

можно с точностью

0,001 выбрать н(еРп.

орс.)р. е д с т в е н н о , а с точностью до

0,0001— п р и

п о м о щ и л и н е й н о г о

и н т е р п о л и р о в а н и я , пользуясь

табличками пропорциональных частей

N,

П р и м е р

1. Найти In 2,76.

озаглавленном сверху и снизу буквой

На стр. 71

в левом крайнем столбце,

против него в колонке 6

читаем

мантиссу

0152.

Характеристику читаем в ко­

лонке 0, но строкой ниже, так как перед 0152 стоит точка.

Итак,

П р и м е р 2. Найти

1п 2 ,7 6 = 1.0152.

1п 3,849.

находим

число 3,8

и против него в ко­

На стр. 71 в левом крайнем

столбце

табличная разность

между этими мантиссами

3481 — 3455 = 26.

На этой же странице из таблички

Р.

р.

в столбце для разности 20

находим

слева

цифру 9

(четвертую

цифру

заданного

числа), ей

соответствует

число 18;

а в столбце 6 для

цифры 9 находим

число 5,4.

Полная

поправка

для

разности

26 будет:

прибавляем

18+ 5,4 « 23.

23 = 3478

Это число

к первоначальной найденной мантиссе 3455 +

(так как большему числу соответствует и больший натуральный логарифмі.

Итак,

3.

Найти

1п 3,849= 1.3478.

П р и м е р

In 9,2647.

2.2257

и

1п 9,27 =

2.2268;

р.,

разность

На стр. 73

находим

1п 9,26 =

табличная

равна

11. Пользуясь

соответствующим столбцом

в

табличке

Р .

находим по­

правки

на 0,004 и 0,0007,

соответственно равные

4,4 и 0,77. Итак,

поправка

1п

9,26

=2.2257

на 0,004

=

+

4,4

поправка

на 0 ,0 0 0 7 = +

0,77

In 9,2647 =

2.2262.

Для определения

натурального логарифма

числа, большего 10 и меньшего I,

следует пользоваться

табличкой,

содержащей

значения натуральных логарифмоп

степеней числа

10. Такая табличка имеется внизу

на каждой странице (71—73).

В этом случае заданное число /V

следует представить п виде произведения двух

сомножителей:

один

сомножитель — степень

10,

а другой — число, лежащео

между 1 и 10.

4.

Найти In 9648.

П р и м е р

Так как 9648

= 9,648-ІО3, то

Г Л _ г

, ln 9,648 =

2.2668

M n 103 =6.9078

П р и м е р 5. Найти

ln 9 648 =

9.1746.

ln 0,0003257.

Так как 0,0003257 =

3,257-10~4, то

ln 3,257=

1.1808

— ln IO3

=

9.2103

Т а б л и ц а

Vl l .

in 0,0003257 = — 8.0295.

функций.

Натуральные

значения

тригонометрических

Таблица V II,

содержащая

натуральные

значения тригонометрических

функций

для

аргументов

в угловой мере, состоит

из двух

частей.

ctg

н

cosec,

tg

и sec

для

П е р в а я

ч а с т ь

(стр. 74—77) содержит

значения

аргументов

в

пределах 0— 10°

и

соответственно

от

80

до

90°

при

шаге

аргумента в

1'.

страницы

указаны названия функций

(котангенс или косе­

Наверху

каждой

канс) и градусы

0°,

1°, . . . , 9°,

минуты

аргумента помещены в левой крайней

колонке. Внизу

каждой страницы указаны названия функций (тангенс или секанс)

и градусы 80°,

81°, . . . , 89°, минуты, относящиеся

к ним,

размещены

в правой

крайней колонке, возрастая снизу вверх.

значения

всех

шести

к

В т о р а я

ч а с т ь

(стр. 78—89) содержит

тригоно­

метрических функций для углов от 0 до 90° через каждые

10 минут дуги. В эти

таблицах значения

cosec находятся

рядом с колонкой,

содержащей sin, a

sec —

с колонкой,

содержащей

cos.

Работая

на

малых

вычислительных

машинах1

(арифмометрах и др.),

предназначенных

главным образом

для умножения,

проще

функции, и отделены от них

вертикальными линейками. Исключения составляют

лишь функции cosec и ctg

для аргументов от 0 до

10°

и соответственно sec и tg

в пределах от 80 до 90°, для

которых табличные разности не даны. В

этих слу­

чаях следует

пользоваться страницами (74—77) первой

части таблиц.

И наконец, в

столбцах,

озаглавленных

сверху

Р . р. ,

помещены

таблички

пропорциональных

частей,

расположенные

на

этой

же или

соседней странице.

! Л. С.

Х р е н о в . Малые

вычислительные

машины,

нзд.

4.

М ., „Н аука",

1966.

Здесь читатель наіідет подробное

описание работы па арифмометре

и других малых

вычи­

слительных машинах.

В таблицах

V II

натуральные значения всех функций д а н ы

с ч е т ы р ь м я

з н а ч а щ и м и

ц и ф р а м и ,

а в тех случаях, когда первой значащей цифрой

является 1 (единица),

дается

один лишний

знак. II наконец, пятый, добавочный

знак дан для отдельных функций в пределах

одного столбца на

данной странице

случаях облегчает линейное интерполирование.

Следовательно,

в таблице

V II, составленной с одинаковым числом значащих

цифр, абсолютная

погрешность

приведенных значений тригонометрических функ­

на протяжении всех таблиц. В этих таблицах, составленных, как

правило, с

четырьмя значащими цифрами, относительная погрешность находится

в пределах:

0 ,5 -1 0 -‘] < е < 0 ,5 - 1 0 - 3,

II

сительную погрешность 0 ,5 -ІО-4 , а число

1,0000 с тем же

числом значащих цифр

имеет относительную погрешность,

равную 0,5-10-3 . Поэтому таблицы, содержа­

щие натуральные значения тригонометрических функций с

постоянным

числом

значащих цифр,

будут близки

к

соответствующим

таблицам

логарифмов;

в этом

их преимущество

по сравнению

с таблицами,

в которых

содержатся значения с

постоянным числом десятичных знаков.

тригонометрических

Порядок

отыскания

по уаблицам натурального значения

функций заданных

углов ( п р я м а я

з а д а ч а )

или

определение значений углов

по заданным

значениям функций

( о б р а т н а я

з а д а ч а )

показан на следующих

примерах.

I .

Найти ctg 4°17'.

П р и м е р

«котангенс», находим в левой крайней

На

стр.

74,

где

наверху

напечатано

колонке

17'

и против

нее в колонке,

озаглавленной

сверху 4°,

прочитываем 13,35.

Этому числу

равняется

и tg 85°43', но в этом случае

градусы

прочитываем внизу,

а минуты — в правой

крайней

вертикальной колонке.

Итак,

П р и м е р

2. Найти угол а , если

sec а =

8,034.

В таблице,

содержащей

значения

секанса (sec), в нижней строке ищем бли­

жайшее

число,

меньшее заданного. На стр.

76 в

колонке,

озаглавленной снизу

82°,

находим

число 7,661. Поднимаясь от него вверх,

находим

заданное

число 8,034.

Оно

находится

на пересечении

столбца

82°

и

строки, отмеченной

справа 51

(правый

крайний

столбец). Итак,

Если

сс=

82°51'.

в точности

равного

заданному, то

в таблице V I 1 не окажется

числа,

в этом случае берут число, ближайшее к нему.

П р и м е р

3. Найти ctg 43°50'.

89).

В

крайней левой

Открываем

страницу с записью наверху 40°—45° (стр.

колонке, где помещены градусы и минуты аргумента,

находим

43°50'

и против

пего

в колонке,

озаглавленной сверху

ctg, читаем

1,0416.

Это

и

будет искомая

величина. Этой

же

величине

равняется

и tg46°10'.

Итак,

sin а

Таблица

приведения

sec а

cosec а

а =

90°— ß

cos а

+

tgcc

ctg а

-(-cos ß

-{-sin ß

ctgß

-[-tgß

-|- cosec ß

-{-sec ß

a = 90°-j-ß

-f-cosß

— sin ß

— ctgß

— t gß

— cosec ß

-{-sec ß

а =

180°— ß

+ sin ß

— cos ß

— t gß

— Ctgß

— sec ß

-{-cosec ß

а =

180° + ß

— sin ß

— cos ß

+

tgß

-bctgß

— sec ß

— cosec ß

а = 270°— ß

— cos ß

— sin ß

+ ctg ß

+ t g ß

— cosec ß

— sec ß

a = 270° + ß

— cos ß

-f-sin ß

— ctgß

— tgß

-{-cosec ß

— sec ß

а = 360° — ß

— sin ß

-j-COS ß

- t g ß

— ctgß

-j-sec ß

— cosec ß

П р и м е р

4. Найти

sin 73°40'.

крайней колонке находим

На

стр. 82,

отмеченной снизу

75°—70°, в правой

73°40'

и против

него в

колонке,

озаглавленной снизу

sin, читаем 0,9596. Это и

таблицу приведения)

равняется

sin 10б°20',

sin

253°40',

sin 286°20' и cos 16°20',

cos І63°40', cos 196°20'

и cos343°40'.

Таким образом, если угол задан с точностью до 10', то значение любой

тригонометрической

функции

этого

угла

можно найти во второй части таблицы

V II н е п о с р е д с т в е н н о .

П р и м е р

5.

Найти tg 22°18'.

равное 0,4074; здесь же, правее, находим

На стр. 83 находим значение tg 22°10',

первую табличную

разность,

равную 34,

и

замечаем, что с

возрастанием аргу­

мента tg возрастает.

В

столице

Р . р.

на этой

же странице справа для разности

34 находим пропорциональную часть для 8',

равную. 27,2,

и

прибавляем ее к

табличному значению 0,4074.

Итак,

0,4074

tg22°10' =

поправка

на 8 '=

27,2

П р и м е р

6.

В

пределах

tg22°18' =

0,4101.

а ,

если cos а = 0,5640.

первой

четверти

найти угол

На стр. 86 в вертикальной

колонке,

озаглавленной

снизу

cos, находим за­

данное число 0,5640; ему соответствует угол

55°40' (крайняя левая колонка).

П р и м е р

7. В

пределах

первой

четверти найти угол а , если cosec а = 1,204G.