книги из ГПНТБ / Сонин, А. С. Беседы о кристаллофизике

гогранников, известных из элементарной геометрии: тетраэдра, куба, октаэдра. Вначале рассмотрим тет­ раэдр. Его элементы симметрии 3333 и 222. Это пер­ вая из групп симметрии без единичных направлений, ее международное обозначение 23 (см. рис. 17). Если теперь прибавить к этой группе центр симмет­ рии, то перпендикулярно к осп 2 появится плоскость симметрии. Это вторая из групп без единичного на­ правления, ее элементы симметрии 3333, 222, ттт

и С (см. рис. 17), а международное обозначение m3. Прибавив к элементам симметрии тетраэдра плос­ кость симметрии вдоль четырех осей третьего поряд­ ка, получим третью группу со следующими элемента­ ми симметрии: 3333, 222 и тттттпг. Здесь осп симметрии второго порядка одновременно являются инверсионными осями четвертого порядка. Поэтому

международное обозначение этой группы 4 Зт. Следующей будет группа симметрии октаэдра или

куба: 444, 3333 и 222222 (см. рис. 17), международ­ ное обозначение 432. И, наконец, присоединив к этой группе центр симметрии, получим последнюю группу, имеющую следующие элементы симметрии: 444, 3333, 222222, ттттттттт, С (см. рис. 17).

Международное обозначение последней группы тот. Мы вывели все точечные группы симметрии крис­ таллов. И хотя их всего 32, пам нелегко будет в них разобраться, если мы не займемся их классифика­

цией.

Кристаллографы делят все группы симметрии кристаллов на шесть больших классов, называемых

системами. Система — это совокупность групп сим­ метрий, которые обладают одним или несколькими сходными элементами симметрии. В триклинную сис­ тему объединены кристаллы, в которых пет ни осей (выше 1), ни плоскостей симметрии. Термин «триклинная» означает, что у этих кристаллов «три косых

угла» — кристаллографическая система координат (см. с. 88) является косоугольной. Моноклинные кристаллы (один косой угол) обладают либо плоско­ стью симметрии, либо осью 2, либо тем и другим вмес­ те. В ромбической системе те же элементы симмет­

имеют четыре оси 3. Название происходит от наибо­ лее часто встречающейся формы кристаллов этой сис­ темы — куба.

Теперь, имея в руках некоторую классификацию, можно составить полный список точечных групп сим­ метрии кристаллов (см. табл. 3). В первой графе таб­ лицы мы выпишем полный набор элементов симмет­ рии. Здесь показатель степени — число данных эле­ ментов симметрии. Например, З4 означает четыре осп 3, пгв — шесть плоскостей симметрии и т. д. Во второй графе (приведено сокращенное международ­ ное обозначение) даны порождающие элементы сим­ метрии. И в третьей — название системы.

Однако для физика, изучающего связь между свой­ ствами и симметрией кристалла, не достаточно знать только симметрию кристалла. Ведь для этой цели из монокристалла придется вырезать удобные для изме­ рения пластинки, бруски или диски и каким-то обра­ зом соотносить их ориентацию с элементами симмет­ рии кристалла. Когда элементов симметрии много, то любой произвольный срез в кристалле можно за­ дать углами между, например, нормалями к граням

86 образца и осями симметрии. Ну, а если элементов сим-

П р о д о л ж е н и е табл. 3

метрпп мало или кристалл принадлежит к триклиннон системе? Вот тогда вступает в силу правильная установка кристалла.

Существование правильной установки имеет глу­ бокий практический смысл: ведь все измерения для их воспроизведения необходимо привязывать к опре­ деленной, выбранной системе координат. Таким об­ разом, правильная установка кристаллов — это раз и навсегда установленные правила выбора системы ко­ ординат по отиошепию к элементам симметрии крис­ таллов.

Чаще всего используют две установки (и обе пра­ вильные) — кристаллографическую и кристаллофизи­ ческую. В кристаллографической установке оси коор­ динат выбирают параллельно направлениям трансля­ ций пространственной решетки. Поэтому в кристаллах триклинной, моноклинной и гексагональной систем оси кристаллографической системы координат не вза­ имно перпендикулярны — кристаллы описываются в косоугольной системе координат (это не очень удобно).

В кристаллофизнческой установке для кристаллов всех систем используется прямоугольная система ко- 88 ординат. При этом за координатные оси всегда выби-

рают или осп симметрии, или нормали к плоскостям симметрии. Там, где их ист (трнклшшая система), оси привязывают к постоянно встречающимся ребрам или граням кристалла.

В моноклинной системе за ось Y выбирают или единственную ось 2, или же перпендикуляр к единст­ венной плоскости симметрии (см. рис. 17). Осталь­ ные две осп X и Z выбирают произвольно, привязыва­ ясь к наиболее развитым граням пли ребрам крис­ талла.

Ромбическая система допускает одпозначпую ус­ тановку: крпсталлофизпческио оси направляются по осям 2 или перпендикулярно к т. Причем в классе mm2 ось симметрии выбирается всегда за ось Z.

В тетрагональной системе за ось Z всегда выби­ рается ось четвертого порядка (см. рис. 17). Две

другие оси во всех классах, за исключением 4, 4 и 4/тга, где они выбираются произвольно, располагают вдоль осей 2 или перпендикулярно к т.

Аналогично в гексагональной системе за ось Z вы­ бирают ось симметрии __паиболынего порядка (см. рис. 17). В классах 3, 3, 6, 6 и 6/т две другие осп

выбирают произвольно. В классах 3т и 6/п2 ось X на­ правляют перпендикулярно к плоскости симметрии, а ось Y — вдоль плоскости т. В остальных классах кристаллофизические оси X и Y выбирают вдоль осей второго порядка, за исключением класса 32, где ось F паправляют перпендпкулярпо к т (см.

рис. 17).

В кубических кристаллах все оси однозначно опре­ делены. За ось Z выбирают илп ось 2 (классы 23 и

m3), илп оси 4 и 4 (остальные классы). Оси X и Y направляют вдоль осей симметрии. Важпо запомнить, что во всех случаях осп Z и Г выбирают так, чтобы образовывалась правая система координат.

Если задана установка кристалла, то теперь мож­ но однозначно определить в ней любое направление. Для этого на осях координат выбирают единичные отрезки (масштаб). Уже хорошо известно, что в бес­ конечной пространственной решетке можно выбрать элементарную ячейку, размножая которую вдоль трех

z

X

Р и с. 18. Определение направлений и симво­ лов граней в кристаллах

кристаллографических осей, можно получить задан­ ную решетку. Для пространственной решетки любой симметрии в качестве масштаба выбирают целые чис­ ла, кратные размерам элементарной ячейки. Если, папример, размеры элементарной ячейки вдоль осей X, Y и Z соответственно равны aot &о и Со, то за еди­ ничные отрезки можно выбрать любые величины, на­ пример: я = 153яо, Ь = 153Ьо и с= 153с0.

Соотношения между единичными отрезками для кристаллов разных систем определяются симметрией пространственной решетки: