книги из ГПНТБ / Сонин, А. С. Беседы о кристаллофизике

ментов симметрии. В первую группу включены точеч­ ные группы только с одной осью симметрии. Причем по мере уменьшения угла поворота порядок оси по­ вышается, стремясь к бесконечности. В пределе по­ лучаем ось бесконечного порядка. Поэтому эту груп­ пу из одного элемента оо называют предельной точеч­ ной группой. К таким же предельным группам, содержащим ось симметрии бесконечного порядка, стремятся и другие точечные группы остальных шес­ ти типов. Элементы симметрии всех групп данного типа содержатся в своей предельной группе, и поэто­ му эти группы называют подгруппами данной пре­ дельной группы. Конечно, не только предельные груп­ пы имеют подгруппы — любая точечная группа, кро­ ме первой, также имеет свои подгруппы. Например, подгруппами группы 422 будут следующие точечные группы: 1, 2, 222 и 4.

Предельные точечные группы тоже взаимно под­ чинены друг другу. Из схемы их соподчинения (рис. 14) видно, что самой «низшей», самой подчи­ ненной точечпой группой является группа °о. Она же является подгруппой всех предельных групп. Далее идут группы ос2, оот, и оо/т. Опи выше, чем оо, но в свою очередь являются подгруппами групп оооо и оо/тт. И, паконец, группа оооот, которой подчине­ ны все предельные группы,— самая высшая из пре­ дельных точечных групп.

Предельпые точечные группы * особенно важны для кристаллофизики, поэтому надо остановиться на них подробнее. Геометрическая интерпретация пре­ дельных групп может быть получена из рассмотре-

* Отметим, что семь предельных групп симметрии впервые ввел в учение о симметрии П. Кюри — основоположник кристаллофизики, к трудам которого еще придется не раз вернуться.

ния простейших материальных фигур с осями беско­ нечного порядка (рис. 15). Группа симметрии с одной осью бесконечного порядка представлена здесь вра­

па, как иолярны и ее под­ группы.

Далее, группа сю/т представлена вращающимся цилиндром. У него вдоль оси вращения ироходит ось бесконечного порядка, а перпендикулярно к ней — плоскость симметрии. Кроме того, эта группа облада­ ет и центром симметрии. Группа сю/т неполярна, так как концы оси сю могут быть совмещены отражением в перпендикулярной плоскости. Однако концы оси сю все же неодинаковы: они различаются по характеру вращения. Если смотреть на вращающийся цилиндр

сверху, то тот конец, вращение на котором соверша­ ется по часовой стрелке, будем называть южным кон­ цом, а противоположный — северным. Такие оси, где можно различить северный и южный концы, называ­ ют вращательными. Легко видеть, что полярная ось оо группы вращающегося конуса также является вра­ щательной.

Следующая группа оо2. Ее геометрический об­ раз — закрученный вдоль геометрической оси ци­ линдр. Ось симметрии оо в этом случае неполярпа и невращательна. Ее часто называют крутильной. Фи­ гуры с крутильными осями могут иметь две энантиоморфные модификации.

Покоящийся цилиндр имеет симметрию оо/mm. В этой группе следующий набор элементов симмет­ рии: ось оо; бесконечное число плоскостей иг, пересе­ кающихся вдоль оо; плоскость симметрии, перпенди­ кулярная оси оо; бесконечное количество осей 2 , воз­ никающих на пересечениях продольных и попереч­ ных плоскостей; центр симметрии.

Далее, два шара, являющихся геометрическими образами групп оооо ц оооопг. Первый шар изготов­ лен из изотропного вещества, вращающего плоскость поляризации. Он имеет бесконечное число осей оо, но пе имеет плоскостей симметрии. Это можно предста­ вить себе, если все радиусы шара вращаются в одну сторону, что показано на рис. 15 стрелками. Такая группа допускает две энаптиоморфиые модификации. Второй шар обыкновенный из вещества, не вращаю­ щего плоскость поляризации света, содержит беско­ нечное количество осей сю, бескопечпое количество плоскостей /п и имеет центр симметрии С.

Почему же для физики особое зпачепие пмеют пре­ дельные группы симметрии? Оказывается, что именно они чаще всего описывают то илп иное физическое явление в кристаллах. Например, скорость — век­

тор — описывает перемещение тела в пространстве и напряженность электрического поля, шар без плос­ костей симметрии — вращение плоскости поляриза­ ции... Однако, прежде чем подробно говорить об этом, закончим наше обсуждение симметрии в природе рас­ смотрением основных закономерностей симметрии кристаллов как однородных непрерывных и анизо­ тропных сред.

Надо пройти пустыню кристаллографии, чтобы вступить в обетованную землю кристаллофизики.

В. Ф о й г т

Если вы помните, мы начали разговор о симмет­ рии с правильной внешней формы кристаллов и вы­ яснили, что она является отражением правильного пространственного расположения структурных эле­ ментов: атомов или ионов. С микроскопической точки зрения кристалл представляет собой пространствен­ ную решетку (см. рис. 3).

Пространственная решетка накладывает опреде­ ленные ограничения на возможность существования в кристаллах тех или иных элементов симметрии и, следовательно, на реализацию определенных точечных^групп.

Прежде всего «среди наиболее совершенных по своей симметрии творепий неорганической природы, среди кристаллов» (по образному выражению Г. Вей­

ля) не может быть осей пятого порядка. Более того, в кристаллах невозможны оси симметрии седьмого и более высокого порядка. Эти элементы симметрии не­ совместимы с существованием пространственной ре­ шетки.

Для простоты рассмотрим ось пятого порядка. До­

ранственной решетки, занятой атомом (или ионом). Тогда, действуя на

атом А\ осью 5, размножим его еще четыре раза, и всего вокруг точки 0 на равных расстояниях размес­ тится пять атомов. Эти пять атомов, лежащие в од­ ной плоскости, должны образовывать плоскую сетку. Что это значит? Это значит, что все атомы могут быть получены из одного (например, А \) смещением его вдоль двух прямых на величины трансляции. Как найти эти трансляции в нашей готовой сетке? Возь­ мем атом А\ и соединим его прямыми с двумя наи­ ближайшими— А 2 и Л5 . Расстояния А\Ач п AiAs и будут трансляциями. Теперь, чтобы получить всю плоскую сетку, достаточно перенести все атомы вдоль этих направлений на величину трансляции. После перенесения получим много новых атомов, но

в нашем пятиугольнике появится один «чужой» атом А*. Этот атом ближе к оси 5, чем выбранный нами атом А\, что противоречит начальному условию, так как мы вначале взяли наиближайший к оси 5 атом. Пришли к противоречию и тем самым доказа­ ли, что оси пятого порядка в кристаллах не может быть. Так же легко доказать, что не может быть осей седьмого и высшего порядка. Эти элементы симмет­ рии не совместимы с существованием пространствен­ ной решетки.

Таким образом, в кристаллах могут встречаться только следующие элементы симметрии: оси 1, 2, 3, 4, 6 (простые и инверсионные), плоскость т п центр симметрии С. Поэтому число точечных групп симмет­ рии кристаллов ограничено. Их можно выбрать из табл. 2 (см. 08), в которой мы классифицировали все возможные (всего из 32) точечные группы симметрии.

Исторически же все происходило наоборот. Внача­ ле были выведены группы симметрии кристаллов, а потом снмметрпйньтй подход был распространен на все возможные материальные фигуры.

История вывода групп симметрии кристаллов но­ сит драматическую окраску. В литературе она навсег­ да связана с именем академика, генерала, профессора Артиллерийской академии кристаллографа-люби- теля Акселя Вильгельмовича Гадолина. Он опубли­ ковал свой вывод 32 точечных групп симметрии крис­ таллов в 1867 году. Вот как пророчески писал о нем великий русский кристаллограф Е. С. Федоров: «А. В. Гадолип приобрел бессмертное имя: выведен­ ные им 32 вида симметрии в кристаллах легли в ос­ нову всего современного учения по теоретической кристаллографии, их будут учить наши правнуки и праправнуки».

Одпако еще в 1820 году в пемецком «Физическом 76 словаре» появилась статья «Кристалл», припадле-

А. В. ГАДОЛИН

(1828—1892)

жавшая тихому, скромному, несколько старомодному в жизни, но далеко опередившему свое время в науч­ ном творчестве марбургскому профессору минерало­ гии и технологии И. Гесселю. В ней, правда доволь­ но тяжеловато, громоздко, с использованием своеоб­ разной немецкой номенклатуры, И. Гессель вывел законы симметрии, относящиеся к конечным фигу­ рам и, следовательно, к кристаллам. Но судьба от­ крытия И. Гесселя была трагична. Лишь через восем­ надцать лет после смерти ученого, в 1890 году его ра­ боты получили признание. В противоположность этому, работа А. В. Гадолина, который ничего не знал о своем предшественнике, быстро обратила па себя внимание специалистов. И до настоящего времени простой и изящный вывод 32 точечных групп сим­ метрии кристаллов А. В. Гадолина занимает почетное место в учебниках кристаллографии.

Понятие о принципах вывода всех возможных групп симметрии кристаллов можно получить, введя