книги из ГПНТБ / Сонин, А. С. Беседы о кристаллофизике
.pdfже произойдет и с точками, лежащими на единствен ной плоскости симметрии. В общем же случае, когда группа симметрии материальной фигуры содержит не сколько элементов симметрии, неподвижной остается всего одна точка — точка пересечения всех элемен тов симметрии. Это свойство дало основание назвать такие группы точечными группами симметрии.
Операции, которые совмещают материальную фи гуру саму с собой, обычно называют операциями сим метрии, или симметрическими преобразованиями. Но поскольку эти операции симметрии совершаются в трехмерном пространстве, то для их описания необ ходимо задать систему координат.
В кристаллофизике для однозначного описания симметрических преобразований используют две пря моугольные системы координат. Они так и называют ся — кристаллофизические. Нарисуем правую прямо угольную систему координат (рис. 12). Почему она правая? Потому, что есть еще и левая система коор динат, которая отличается от правой тем, что если в ней расположить человека, причем вдоль его тела, снизу вверх направить положительный конец оси Z, то его левой руке будет соответствовать положитель ный конец оси X, а правой — положительный конец оси Y. В правой же системе координат, которой мы будем сейчас пользоваться, все наоборот: правой ру ке будет соответствовать положительный конец оси X, а левой — оси Y.
Операции симметрии аналитически описываются операциями преобразования кристаллофизической системы координат. Так удобнее и проще. Мы имеем как бы две системы координат: старую — неподвиж ную, и новую — жестко связанную с материальной фигурой. Эта последняя, в соответствии с требовани ем тех или иных элементов симметрии, поворачива ется в пространстве. Если начало координат остается
У |
X |
М а я система координат |
Правая система координат |
ZZ' |
z |
Отождествление группы mm2
z
Р и с. 12. Кристаллофнаическис системы координат и симметри ческие преобразования точечной группы mm2
на месте, то эти преобразования могут быть точно определены косинусами углов между старыми и но выми (измененными) осями. Они определяют направ ления новых осей по отношению к старым и поэтому называются направляющими косинусами.
Введем сокращенные обозначения:
Сц — cos (X X '); |
Си - cos (YX '); |
с31 — cos (ZX'); |
|
с12 — cos (X Y ')\ |
с22 — cos (YY'); |
c32 = |
cos (ZY'); |
c13 = cos (XZ'); |
c23 — cos (Y Z '); |
c33 = |
cos (ZZ'). |
Здесь первый индекс у сокращенного знака косинуса обозначает номер старой оси, а второй индекс — но мер новой оси *.
Удобно девять косинусов углов между старыми и новыми осями представить в виде специальной таб лички-матрицы, составленной но следующей схеме:
| X ’_ Y ' Z'
__
X С11 с12 с13
Y С21 С22 С23
Z С31 с32 с33
Вверху таблички записываются оси координат но вой системы, а слева — старой кристаллофизической системы координат *. Всегда их писать не имеет смыс ла и в дальнейшем мы будем записывать только
*Такой порядок записи был принят В. Фойгтом и А. В. Шуб никовым. Однако некоторые авторы используют другую форму записи: на первое место ставится номер новой оси,
ана второе место — старой. Но тогда при записи таблич- ки-матрицьх косинусов следует вверху писать обозначения старых осей координат, а слева — новых. Это формальное различие, естественно, не приводит к различным факти ческим результатам.
матрицу косинусов:
С11 |
с 12 |
С13 |
С21 |
С22 |
С23 |
С31 |
с 32 |
С33 |
Эти девять направляющих косинусов не являются независимыми, а связаны двумя группами соотно шений:
а) сумма квадратов строк или столбцов равна единице;
б) сумма произведений пары строк или столбцов равна нулю.
Кроме того, специальная величина, называемая
детерминант матрицы направляющих косинусов, ко торая равна
I c i j I — СП с 22 С33 + с 12 С23 С31 "Ь С13 С21 С32 — С13 с22 С31 —
—С11 с 23 с 32 — с 12 С21 С9 3 »
при переходе от правой к правой и от левой к левой системам координат равна +1, а при переходе от пра вой к левой и наоборот равна —1. Поэтому каждый элемент матрицы направляющих косинусов может быть вычислен через детерминант:
cij = ( - iy ^ A u | си | ,
где Aij — дополнительный минор элемента c,j, кото рый получается вычеркиванием г-й строки и /-го столбца *.
Почему же для описания симметрических преоб разований используют косинусы, а не синусы или тан-
* Например, минор элемента С22 |
равен |
||
С ц |
С 12 |
С 13 |
|
Л 2г — |
I |
— |
С ц Свз — С 31 С 1 3 . |
|
|||
С 3 | |
Саа |
Сзз |
|
62
генсы? Да потому, что значение проекции любого от резка, в том числе единичного (масштаба), старой оси на новую определяется косинусом угла между ними.
В качестве примера рассмотрим (см. рис. 12) опе рации симметрии группы тт 2. Зададим в правой кристаллофнзической системе координат элементы симметрии группы тт 2 : ось второго порядка напра вим вдоль положительного направления оси Y, плос кость mi совместим с координатной плоскостью XY, а плоскость тц — с плоскостью YZ.
Операция отождествления: новые оси координат совпадут со старыми, поэтому
Сц = |
cos 0° = |
1, |
с12 = |
cos 90° = |
0, |
с13 = |
cos 90° = |
0, |
с21 = |
cos 90° = |
0, |
с22 = |
cos 0° = |
1, |
с2з = |
cos 90° = |
0, |
с31 = |
cos 90° = |
0, |
е32 = |
cos 90° = |
0, |
с33 = |
cos 0° = |
1, |
и матрица косинусов будет иметь следующий вид:
1 0 0
0 1 0 .
0 0 1
Операция поворота вокруг оси на 180°: ось Y' сов падает с осью У и с направлением оси 2, ось Z' будет направлена по —Z, а X' — по I (см. рис. 12). Легко найти, что в этом случае симметрическое преобразова ние опишется следующей матрицей:
—1 0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 . |
0 |
0 |
1 |
Операция отражения в плоскости пц: ось Y' сов падает с осью Y', X' — с X, a Z' будет направлена 63
вдоль —Z. И матрица запишется: 1 О О
0 1 о •
0 0 —1
Легко проверить, что матрица направляющих ко синусов для симметричного преобразования —отраже ния в плоскости т п — запишется в следующем виде:
- 1 0 0
0 1 0 -
О 0 1
Совокупность всех симметрических преобразова ний материальной фигуры обладает очень важным математическим свойством — она образует группу.
Что такое группа в математическом смысле? Это множество любых элементов, удовлетворяющее сле дующим четырем свойствам:
1.Произведение двух элементов множества при надлежит тому же множеству: а-Ъ = с.
2.Справедлив сочетательный закон: а(Ь-с) —
=(а-Ь)с.
3.Существует так называемый единичный эле мент множества Е, такой, что аЕ=Еа = а для любого элемента.
4.Для каждого элемента существует обратный
элемент, принадлежащий тому же множеству:
а-а~] =Е.
Примеров множеств, образующих группы, можно привести сколь угодно много. Например, все целые числа образуют группу с операцией сложения в ка честве группового произведения; совокупность всех векторов трехмерного пространства является группой по отношению к сложению векторов. При этом роль единичного элемента играет нулевой вектор.
Так, совокупность симметрических преобразова ний (операций симметрии) конечных материальных фигур также образует группу с групповым произве дением — последовательным проведением двух сим метрических преобразований. Это можпо строго до казать, но мы поясним эту мысль только примером.
Рассмотрим группу mm2 опять. Пусть эта группа описывает элементы симметрии конкретной матери
ях |
тх |
Р и с. 13. Схема, иллюстрирующая применимость группового умно жения к симметрическим преобразованиям группы т т 2
3—304
альной фигуры — прямоугольной пирамиды (рис. 13). Для простоты не будем рассматривать симметриче ские преобразования с помощью матриц направляю щих косинусов, а проделаем все операции симмет рии чисто геометрически. Перечислим все операции симметрии, совмещающие прямоугольную пирамиду саму с собой. Это и будет паше множество элементов. Во-первых, прямоугольную пирамиду можно совмес тить саму с собой посредством операции отождест вления, а затем поворотом па 180° вокруг оси сим метрии 2 и двумя отражениями в плоскостях т. Всего у нас четыре элемента. Проверим первое свой ство группы. Для этого пронумеруем углы пирамиды (см. рис. 15). Возьмем две последовательные опера ции: поворот на 180° и отражение в плоскости т\ — это групповое произведение. Легко видеть, что оно эквивалентно симметрической операции — отраже нию в плоскости гпц. Также можно проверить и дру гие последовательности операции, и всегда получим, что групповое произведение равно какой-нибудь опе рации из нашего множества. Законы группового ум ножения можно представить теперь следующей таб лицей:
|
1 |
2 |
771j |
mu |
1 |
1 |
2 |
771j |
mn |
2 |
2 |
1 |
mu |
771j |
mj |
mj |
Ш.ц |
1 |
2 |
mll |
тап |
771j |
2 |
1 |
В вертикальной и горизонтальной строках вне таб лицы стоят сомножители группового произведения, а в соответствующей клеточке таблицы на пересече-
нип их строк — групповое произведение. За единич ный элемент такой группы можно выбрать любой из четырех симметрических преобразований, а обратная операция, очевидно, может быть описана как любая операция в обратном смысле. Проверить выполни мость сочетательного закона (свойство 2 ), мы дума ем, уже нетрудно.
Итак, элементы симметрии и симметрические пре образования. С помощью как тех, так и других гео метрических отношений проявляется одно и то же свойство материальной фигуры — правильное и зако номерное расположение ее частей в пространстве. Как же связаны между собой эти два понятия?
Для того чтобы ответить на этот вопрос, еще раз вернемся к подробно рассмотренному нами «очевид ному» понятию элемента симметрии. Вот что пишет по этому поводу академик А. В. Шубников:
«Кристаллографы предпочитают иметь дело не с элементами группы, а с элементами симметрии. Странно констатировать, что это столь привычное для кристаллографов понятие до сих пор пе полу чило точного определения, вследствие чего не представляется возможным даже перечислить все элементы симметрии какой-либо фигуры. Напри мер, пикто не знает, сколько элементов симметрии имеет обыкновенный куб. Чтобы устранить эту пу таницу, мы... предлагаем называть элементом сим
метрии группу, определяемую |
одной операцией, |
т. е. группу, содержащую все |
неэквивалентные |
между собой степени данной операции (произведе ния из двух, трех и т. д. одинаковых операций). Например, ось четвертого порядка есть группа, со держащая следующие четыре операции: поворот влево на 90°, поворот влево на 180°, поворот влево на 270° и поворот влево на 360° (идентичность). Все другие степени и обратные операции в счет не
3*
идут как операции, эквивалентные тому или иному из указанных четырех поворотов».
Имея теперь строгое определение элемента сим метрии, легко видеть, что это понятие является бо лее широким, чем симметрическое преобразование, ибо оно содержит в себе все степени данной операции симметрии, например: 4°=1, 4'= 4, 42 = 2; 43 =4-1.
Как уже говорилось, кристаллографы исторически предпочитают иметь дело с элементами симметрии, а не с операциями симметрии. Поскольку элементов симметрии бесконечное множество, то, комбинируя их в соответствии с правилами, рассмотренными нами выше, получаем бесконечное количество точечных групп симметрии. Для их классификации удобна табл. 2 .
Т а б л и ц а 2
|
К л а с с и ф и к а ц и я т о ч е ч н ы х г р у п п с и м м е т р и и |
|
|||||||
I |
II |
|
ш |
IV |
V |
|
VI |
VII |
|
1 |
т |
1 |
т |
2 |
m m 2 |
1 |
23 |
m 2 |
|
2 |
m m 2 |
3 |
|
2 / т |
222 |
т т т |
2/та |
432 |
4 3т |
3 |
3т |
4 |
|
3 / т |
32 |
3 / т т т |
3 т |
53 |
m ' i m |
4 |
4т т |
5 4 / т |
422 |
4 / т т т |
4 2 т |
|
|
||
5 |
5 т |
6 5 / т |
52 |
5 / т т т |
6 m 2 |
|
|
||
оо |
о с т |
о о /т |
оо 2 |
оо/ т т |
оо оо оо оо т |
В табл. 2 все точечные группы разделены на семь типов по признаку однотипности порождающих эле-