книги из ГПНТБ / Сонин, А. С. Беседы о кристаллофизике

облечь истину, то это значит, что мы еще не по­ стигли самой истины. С другой стороны, если исти­ на имеет для себя несколько выражений, то мы только тогда почувствуем удовлетворение, когда ус­ тановим внутреннюю связь этих выражений, сведя их к одному, более простому. В силу этих сообра­ жений мне всегда казалось, что в определении сим­ метрии кроется какая-то недоговоренность, нару­ шающая впечатление единства в этом простом по­ нятии, столь легко нами воспринимаемом чисто интуитивно. Поясню это таким примером. Из поня­ тия об оси симметрии никак нельзя составить себе понятия о плоскости или о центре симметрии. Точ­ но так же из понятия о центре симметрии никоим образом нельзя подойти к понятию об оси и о плос­ кости симметрии. Но стоит только принять за ис­ ходный элемент плоскость симметрии, как мы сей­ час же придем и к оси, и к центру симметрии. Пе­ ресечение двух плоскостей симметрии дает всегда ось симметрии, а пересечение трех взаимно перпен­ дикулярных плоскостей дает центр симметрии...

Значит, плоскость симметрии есть несомненно пер­ воначальный элемент, от которого можно уже по­ дойти к другим».

Ю. В. Вульф описывает ось третьего порядка (рис. 8, а) как результат действия трех плоскостей симметрии, пересекающихся по одной прямой:

«На рисунке эти плоскости изображены в виде линий симметрии, а ось — в виде центра вращения. Мы видим, что треугольник 1, отражаясь во всех плоскостях симметрии, дает начало пяти своим изображениям, из которых 2 п 3 с ним совместимы, а 1', 2' и 3' ему симметрично равны и совместимо равны друг другу. Мы видим, что в нашей системе фигур равным образом присутствуют и три плос­ кости симметрии, и ось симметрии третьего поряд­

ка, как результат присутствия плоскостей, и нель­ зя отделить оси от плоскостей. Если мы разделим обе серии фигур, оставя вместе лишь совместиморавные фигуры, то получим две системы, в которых будет лишь но осп симметрии третьего порядка, плоскостей же не будет (рис. 8, б. —А. С.)...

Таким образом, введя понятие о плоскостях симметрии нереальных, действующих по две вмес­ те и дающих лишь окончательный результат сов­ местного действия, мы превратим систему плоскос­ тей, пересекающихся по прямой, в ось симметрии».

Т а б л и ц а 1

Элементы симметрии

При таком подходе к элементам симметрии, есте­ ственно, необходимы зеркальные оси симметрии. Они будут представляться как результат совместного дей­ ствия плоскостей симметрии в пространстве: двух или нескольких, дающих простую ось симметрии, и пер­ пендикулярной — для получения зеркального отобра­ жения.

Исторически концепция 10. В. Вульфа не приви­ лась в кристаллографической литературе из-за слож­ ности при рассмотрении сочетания нескольких эле­ ментов симметрии в кристаллах. Появляется столько плоскостей симметрии в пространстве, что легко в них запутаться. Но методологическая ценность такого подхода Ю. В. Вульфа несомненна, и он оказал боль­ шое влияние па его ученика академика А. В. Б1убникова. Может быть, поэтому-то А. В. Шубников пред­ почитал пользоваться зеркальными осями вместо рас­ пространенных инверсионных.

В заключение в табл. 1 приведем перечень эле­ ментов симметрии однородных, непрерывных, анизо­ тропных сред и их международные обозначения.

Оставим теперь искусство, биологию, крис­ таллографию, физику и обратимся, наконец, к ма­ тематике: этот переход тем более оправдан, что необходимые нам понятия, в особенности понятие группы, были впервые развиты в рамках их при­ ложений в математике.

Г. В е й л ь

Мы составили полный перечень элементов симмет­ рии конечных фигур. Эти и только эти элементы сим­ метрии являются теми воображаемыми геометриче­ скими образами, с помощью которых устанавливают­ ся пространственные отношения конечных фигур.

Однако очень редко материальные фигуры и тем более кристаллы обладают только одним элементом симметрии. Чаще дело обстоит гораздо сложнее. Вот, например, книга (рис. 9): у нее кроме оси второго порядка есть еще две плоскости симметрии, прохо­ дящие через эту ось. Кроме того, как и всякая фигу­ ра, книга преобразуется в себя при повороте на 360°, т. е. у нее присутствует ось первого порядка. Значит, полный набор операций симметрии этой материаль-

52 ной фигуры будет: 1, 2, т.

Как и у этой книги, у большинства материальных фигур можно найти несколько элементов симметрии. Поэтому сразу же возникает вопрос: являются ли эле­ менты симметрии материальной фигуры независимы­ ми или они связаны друг с другом?

Р и с. 9. Элементы симмет­ рии книги

Для ответа на этот вопрос рассмотрим несколько примеров.

П е р в ы й п р и м е р . Пусть дана материальная фигура с двумя пересекающимися под углом а плос­ костями симметрии пц и тц (рис. 10, а). Возьмем любую точку А фигуры и, действуя последовательно плоскостями ш\ и тц, переведем ее вначале в точку А\, а затем в точку Аг. А как непосредственно пере­ вести точку А в Аг? Конечно, поворотом вокруг оси, которой является линия пересечения плоскостей. Угол поворота легко иайтп следующим образом.

Так как А В —ВА\ (по построению) и ОВ — общий катет, то Л АОВ = & ВОА\. Следовательно, АО = ОА\. 53

менять последовательным отражением в двух взаим­ но перпендикулярных плоскостях т\ и тщ. А это, как мы показали на предыдущем примере, эквива­ лентно повороту вокруг оси, проходящей через линию

их пересечения на угол вдвое больший, чем угол меж­ ду плоскостями. Так как плоскости т\ и тщ взаимно перпендикулярны, то наряду с двумя осями симмет­ рии второго порядка 2i и 2ц возникает перпендику­

дикулярпа плоскости будет ось второго порядка (см. рис. 10, в). Тогда в результате действия на точку А оси второго порядка она повернется на 180° и совмес­ тится с точкой А\. Далее, плоскость симметрии пре­ вратит точку А\ в точку А 2 на равном расстоянии от плоскости по перпендикуляру к ней. Соединим на­ чальную точку А с конечной точкой А2. Тогда

Но и А С А В = АС А \В по аналогичным свойствам. Отсюда СА = СА\. Следовательно, АС = СА2. Это ра­ венство аналогично утверждению, что С — центр сим­ метрии для точек А и А 2. Действительно, центр сим­ метрии перепосит точку А по прямой, проходящей че­ рез эту точку и центр симметрии, па расстояние, равное АС.

Рассмотренные примеры показывают, что элемен­ ты симметрии материальных фигур могут, «склады­ ваясь», порождать новые элементы симметрии. До­ статочно найти первые два-три элемента симметрии, и можно, пользуясь приведенными выше правилами, найти полную совокупность всех присутствующих в материальной фигуре элементов симметрии.

Вот, например (рис. 11), заданы следующие эле­ менты симметрии: ось четвертого порядка (4), две па­ раллельные ей и взаимно перпендикулярные плоскос­ ти симметрии и одна плоскость, перпендикулярная оси 4. Тогда в соответствии с рассмотренными зако­ номерностями сложения элементов симметрии иа пе­ ресечении четной оси 4 и перпендикулярной плоскос­ ти возникает центр симметрии. Ось 4 размножит ко­ личество параллельных плоскостей симметрии до четырех, и на пересечениях плоскостей возникнут че­ тыре оси второго порядка. Полный набор элементов симметрии в этом случае будет: 4, четыре оси 2, пять плоскостей тшС.

Те элементы симметрии, которые необходимо за­ дать, чтобы потом получить все элементы симметрии материальной фигуры, называют порождающими эле­ менты симметрии. В рассмотренном нами примере порождающими элементами симметрии являются ось 4 и три плоскости симметрии.

Полный набор элементов симметрии какой-либо материальной фигуры называется группой (видом) симметрии этой фигуры.

Для того чтобы указать точечную группу симмет­ рии, не обязательно выписывать все ее элементы. Достаточно указать только порождающие элементы симметрии. Такой способ обозначения точечных групп симметрии получил название кристаллографической номенклатуры. Разными авторами были предложены различные кристаллографические номенклатуры — различные способы задания порождающих элемен­ тов симметрии.

Физики-теоретики (неизвестно по какой причине) предпочитают архаичную п неудобную номенклатуру А. Шёпфлиса. Группы, содержащие только одни оси, обозначают буквой С (от латинского слова circulus — круг) с нижним индексом, указывающим порядок оси, а в нижний цифровой индекс добавляется буква и {vertical). При наличии перпендикулярной к оси плоскости цифровой индекс дополняется буквой h {horizontal). Группа симметрии с одной плоскостью обозначается Cs. Если группа характеризуется ося­ ми симметрии, перпендикулярно к которым распола­ гаются оси 2, то опи обозначаются буквой D \dieder). При этом в нижний цифровой индекс выносится обо­ значение главной оси симметрии. Наличие горизон­ тальной плоскости добавляет индекс h, а диагональ­ ное положение плоскости по отношению к осям учитывается индексом d {diagonal). Группы, содер­ жащие инверсионные оси, обозначаются буквой S.

И, наконец, группы, содержащие элементы симметрии тетраэдра и октаэдра, обозначаются соответственно буквами Т и О.

В отличие от этой малоудобной номенклатуры, международная номенклатура более логична. С при­ нятыми в ней обозначениями элементов симметрии мы уже познакомились выше. Группы симметрии в международной номенклатуре обозначают различны­ ми сочетаниями цифр и буквы пг, обозначающей плоскость симметрии. Параллельность порождающих элементов не обозначается никакими специальными знаками, а перпендикулярные к осям симметрии плоскости отделяются от них косой чертой. Например, группа элементов симметрии книги (если отвлечься от картинки на обложке) (см. рис. 9) 1,2 m запишет­ ся как mm2, а пример на рис. 13 — как 4jmmm.

Если известна группа симметрии материальной фигуры, то с ее помощью можно проделать интерес­ ное геометрическое построение. Выбрав любую точку материальной фигуры, надо последовательно перено­ сить ее в пространстве в соответствии с требованиями элементов симметрии, входящих в группу. Если най­ денные элементы симметрии действительно образуют группу и мы ничего не забыли, то выбранная точка материальной фигуры верпется в первоначальное мес­ то. То же произойдет и с фигурой как целым при воздействии на нее последовательно всеми элемента­ ми симметрии: оиа совместится сама с собой — ее ко­ нечное положение ничем не будет отличаться от пер­

воначального.

Таким образом, создается впечатление, что все точ­ ки материальной фигуры, подчиняясь преобразовани­ ям симметрии, будут перемещаться в пространстве. Однако это не так. Если взять группы симметрии, имеющие только одну ось, то все точки, лежащие па

58 этой осп при преобразовании останутся на месте. То