книги из ГПНТБ / Сонин, А. С. Беседы о кристаллофизике

Всамом начале этого раздела мы упоминали, что

удревних греков понятие симметрии ассоциирова­ лось с прекрасным, совершенным. Вспомним величе­ ственные храмы, поражающие своими пропорциями и строгой симметричностью, совершенной формы вазы, орнаменты и, наконец, статуи... Греческие статуи дав­ но уже стали эталонами красоты и совершенных про­

порций человеческого тела. Но если здания, орнамен­ ты и вазы в большинстве случаев обладают строгой симметрией и эта симметрия уместна и красива, то при изображении человека древние скульпторы стре­ мились, наоборот, подчеркнуть отступления от сим­ метрии. В чем же эстетическое значение симметрии и почему в одних предметах она приемлема, в других — неуместна?

Эта проблема интересовала многих искусствове­ дов, математиков, философов и художников. Выска­ зывалась точка зрения, что при созерцании симмет­ ричных объектов возникает сложный психический процесс, в котором восприятие скрытых от нас зако­ нов симметрии связано, по-видимому, с определенным движением в анализаторах, при котором сохранение или закономерная повторяемость элементов восприни­ маемого объекта создает эффект благоприятной эмо­ ции. Если эти благоприятные эмоции можно расшиф­ ровать как ощущение покоя, порядка, стабильности, то становится понятным эстетическое восприятие та­ ких симметричных неодушевленных предметов, как здания и посуда. Отступления от симметрии, асим­ метрия изображений человека создают ощущение сво­ боды и движения. Кроме того, нам кажется, что не­ большая асимметрия человеческого тела помогала скульпторам выразить индивидуальные черты моде­ ли, придать нм печто сугубо личное, создать образ.

Этот небольшой экскурс в область гуманитарную позволит нам острее почувствовать, что учение о сим-

метрпп больше нуждается не в туманных и общих рассуждениях о гармонии и совершенстве, а в кон­ кретных и точных математических определениях. Од­ нако эта сторона учения о симметрии, как ни стран­ но, обязана трудам не математиков, а кристаллогра­ фов. Болыпой вклад в теорию симметрии внесли А. Бравэ, Л. Пастер, А. В. Гадолин, Л. Зонке, П. Кю­ ри, Е. С. Федоров, А. Шёнфлис, Ю. В. Вульф, А. В. Шубников, Н. В. Белов. Им, кристаллографам, симметрия обязапа ясностью своих исходных посту­ латов, логичностью и стройностью доказательств и многогранностью применений.

...Строгое определение симметрии... По-видимому, наиболее точное определение принадлежит академику А. В. Шубникову:

«Учепие о симметрии занимается исследовани­ ем законов правильного расположения фигур или частей фигуры в пространстве... В самом широком смысле под симметричпой фигурой мы разумеем фигуру, состоящую из равных и однообразно рас­ положенных частей».

Из этого классического определения следует, что в учении о симметрии кардинальными являются сле­ дующие вопросы:

1.Что такое фигура?

2.Что такое равенство фигур?

3.Что такое однообразное расположение фигур или их частей?

Рассмотрим первый вопрос. Обычно под фигурой

понимают множество точек па плоскости или в про­ странстве, т. е. геометрическую фигуру. Может быть, симметричными могут быть только геометрические фигуры? Академик А. В. Шубников пишет:

«Конечно, нет, по это, очевидно, должно озна­ чать, что наблюдаемая в природе и в изделиях че­ 40 ловека симметрия может быть сведена к симмет-

рии геометрических фигур, с успехом заменена симметрией геометрических фигур.

Всем хорошо известно, что действительно это так, но с одной поправкой: указанная замена воз­ можна не во всех случаях.

Можно заменить квадратные пластинки карто­ на, стекла, жести квадратным куском плоскости, поскольку симметрия их одинакова, но нельзя за­ менить квадратную грань кристалла каменной со­ ли тем же квадратным куском плоскости, так как грапь кристалла не имеет совпадающей с ней плос­ кости симметрии, поскольку одна сторона грани смотрит внутрь кристалла, а другая — наружу. Для этого иужеп кусок плоскости с разными сторо­ нами. Можно представить напряжение растянуто­ го резинового шпура отрезком геометрической прямой расположенным вдоль оси шнура и имею­ щим длину, пропорциональную напряжению, пото­ му что и рассматриваемое напряжение и отрезок прямой имеют одинаковую симметрию, но нельзя заменить таким же отрезком скорость равномерно­ го движения. Для этого необходим отрезок со стрелкой, указывающей направление движения. Неподвижный латунный или стальной диск может быть представлен геометрическим кругом, имею­ щим ту же симметрию, по вращающийся диск име­ ет совершенно ипую симметрию и пе может быть представлен никакой геометрической фигурой, так как таких геометрических фигур вообще не суще­ ствует. Для этого нужен либо вращающийся круг либо нечто, эквивалентное ему в отношении сим­ метрии, но никак не круг, известный в геометрии. Можно заменить куб камеппой соли геометриче­ ским кубом, поскольку оба куба имеют одну и ту же симметрию, но нельзя заменить тем же геомет­ рическим кубом куб кристалла пирита, имеющего

совершенно иную симметрию. Кристаллографы знают, что для этой цели подходит куб с определен­ ным образом заштрихованными гранями.

Из изложенного видно, что реализуемая на практике и доступная прямому наблюдению на природных объектах симметрия действительно не может быть сведена целиком к симметрии только геометрических фигур. Для этого нужны фигуры более широкого класса и, в частности, такие, кото­ рые в одной из наших работ были, удачно или не­ удачно, названы материальными. К ним относятся и приведенные выше не геометрические фигуры: направленные в одну сторону отрезки прямых (прямолинейные стрелки), плоскости с неодинако­ выми сторонами, вращающиеся фигуры и т. д.»

Материальные фигуры нельзя отождествлять с физи­ ческими телами, они столь же абстрактны, как и гео­ метрические фигуры, но во многих случаях они с большим успехом изображают реальные тела, напри­ мер кристаллы, чем чисто геометрические тела. Каж­ дое новое свойство, отличающее материальную фигу­ ру от соответствующей геометрической фигуры (на­ пример, направленность в случае прямой со стрелкой и простой прямой), характеризует некое физическое свойство.

Введение в учение о симметрии материальных фи­ гур, сделанное в основном в соответствии с требова­ нием кристаллофизики, — заслуга академика А. В. Шубникова.

Теперь мы можем ответить на первый вопрос: что такое фигура? Под фигурой в симметрии подразуме­ вается любая геометрическая или материальная фи­ гура.

Для ответа на два последних вопроса будем рас­ сматривать для простоты только изображенные нами геометрические фигуры (рис. 7).

Что такое равные фигуры? Еще из школьного кур­ са геометрии известно, что равными фигурами назы­ ваются такие фигуры, которые совмещаются всеми своими точками при наложении *. Но в этом смысле взятые по отдельности тетраэдры совместимо не рав­ ны (рис. 7, а). Аналогичная ситуация с правой и ле­ вой руками. Естественно, они тоже совместимо не равны, ведь их никаким способом не наложишь друг на друга. Но так же как два тетраэдра (см. рис. 7, б), левая рука может совместиться с правой не простым наложением, а зеркальным отражением.

Определение равенства фигур, включающее в се­ бя как равенство совместимое, так и равенство зер­ кальное, дал в начале XIX века крупный немецкий математик А. Мёбиус: «Две фигуры называются вза­ имно равными, если для каждой точки одной фигуры имеется соответственная точка другой фигуры, при­ чем расстояние между любыми двумя точками одной фигуры равно расстоянию между двумя соответствен­ ными точками другой». В этом смысле все тетраэдры, взятые по отдельности вне их взаимного расположе­ ния, равны. Надо заметить, что если две фигуры рав­ ны зеркально, как наши тетраэдры, то их называют энантиоморфными по отношению друг к другу. Одна из таких фигур тогда называется правой, другая — левой. В данном случае совершенно безразлично, ка­ кой тетраэдр назвать правым, а какой — левым.

Теперь поясним, что такое однообразное располо­ жение равных частей фигуры. Сравним четыре произ­ вольным образом расположенных на плоскости тет­ раэдра и четыре таких же тетраэдра, уложенных в розетку (см. рис. 7, а и б). В первом случае в распо­ ложении тетраэдров — равных фигур — нет законо-

*Сейчас в школе такие фигуры называют еще и конгруэнт­ ными.

Р и с 7. Геометрические фигуры, составленные из тетраэдров, ил­ люстрирующие законы симметричного расположения фигур

(1)*, второго (2), третьего (3), четвертого (4), пято­ го (5), шестого (6) ... бесконечного (сю). Фигуры с осями 2, 3 и 4 приведены на рис. 7&г н д.

В случае осп бесконечного порядка угол наимень­ шего поворота, как нетрудно видеть, бесконечно мал. Поскольку этот случай является предельным, к нему придется вернуться еще раз позже.

Элементы симметрии не исчерпываются только плоскостью и поворотными осями симметрии. Пред­ ставим себе, что два тетраэдра связаны как бы осью симметрии второго порядка, но прп этом их вершины направлены в противоположные стороны (см. рис. 7, е) . Как понять такую операцию? В принципе очень просто. Имеется особая точка (ее называют

центр инверсии, или центр симметрии) — общая вер­ шина двух тетраэдров,— отражением в которой фигу­ ра совмещается сама с собой.

Что значит отражение в точке? Это значит, что фигура совместится сама с собой, если каждую ее точку перенести па равное расстояние за центр ин­ версии по прямой, проведенной через эти две точки. Формально фигура, изображенная на рис. 7, е, имеет два элемента симметрии — ось первого порядка (1) и цептр инверсии (С). Применяя эти операции вместе к рассматриваемой фигуре, можно сказать, что она об­ ладает особой осью — инверсионной осью первого по­

рядка (1). Иногда, впрочем, удобнее не учитывать операцию отождествления и считать, что здесь име­ ется просто цептр симметрии.

Однако продолжая теперь рассмотрение по анало­ гии с простыми осями симметрии, можно ввести и ин­ версионные оси симметрии любого порядка вплоть до

*Еслп имеется ось первого порядка, то фигура совмещается сама с собой прп повороте па 360°. Обычпо эту операцию называют отождествление. Естественно, что отождествле­

ние возможпо для любой фигуры.

бесконечного (<х>). Действительно, инверсионная ось

симметрии второго порядка (2) означает, что фигура совместится сама с собой при повороте на 180° и от­ ражении в центре симметрии (см. рис. 7, б). Однако, как и в случае инверсионной оси первого порядка,

операция 2 сводится, как легко видеть, к отражению в известной нам плоскости симметрии т. Инверсион­

ная ось третьего порядка 3 также не представляет собой самостоятельного элемента симметрии (см. рис. 7, ж), а соответствует совокупности центра сим­ метрии и поворотной оси третьего порядка. Однако

уже оси 4 и 6 являются самостоятельными, хотя, как нетрудно видеть (см. рис. 7, з), ось 4 всегда одновре­

менно является и осью 2, а ось 6 всегда равна оси 3 и перпендикулярной этой оси плоскости симметрии т.

Введение инверсионных осей — не единственный способ описания таких сложных фигур. Комбинацию «вращение — инверсия» можно с успехом заменить комбинацией «вращение — отражение». При этом совмещение происходит посредством одновременного поворота вокруг некоторой оси и отражения в плос­ кости, перпендикулярной к этой оси.

Вернемся к рис. 7, е—ж и рассмотрим изобра­ женные на них фигуры с точки зрения комбинации «вращение — отражение». Центр симметрии (инвер­

сионная ось 1) тогда эквивалентен следующей опера­ ции симметрии: простому повороту на 180° и отраже­ нию в перпендикулярной плоскости. Поэтому можно говорить, что в данном случае два тетраэдра связаны между собой новой операцией симметрии зеркальной

Инверсионные оси чаще используются в кристал­ лографии и узаконены международной номенклату­ рой. Однако по мнению академика Н. В. Белова, эти «надуманные и ненаглядные» инверсионные оси в