книги из ГПНТБ / Сонин, А. С. Беседы о кристаллофизике
.pdfДалее, братья Кюри, по-видимому, рассуждали пршшрпо так: пусть дан кристалл, имеющий более высокую, чем полярная, симметрию. Какую диссимметрию нужно в нем вызвать, чтобы его симметрия понизилась бы до полярной. При этом можно ожи дать, что у такого кристалла возникшая поляризация макроскопически проявится, как и в обычных пиро электриках,— на противоположных концах полярной оси появятся заряды противоположного знака. Но по явиться они теперь должны не в результате нагрева ния, а в результате вызванной диссимметрии.
Перебрав различные физические воздействия, ко торые могут вызвать нужную диссимметрию, братья Кюри остановились на механической деформации. Механическая деформация описывается полярным тензором второго ранга (см. с. 209), его характеристи ческая симметрия — оо/тт. (Заметим, что хотя мак симальная симметрия полярного тензора второго ран га оооот, в нашем случае он описывает симметрию гидростатического давления, а оно, как и температу ра, не вносит ппкакой диссимметрии.)
Теперь можно взять каждый из 32 кристаллогра фических классов и наложить по различным направ лениям предельную группу оо/тт: тем самым мы как бы подвергаем кристаллы механической деформации. Пользуясь принципом симметрии Кюри, посмотрим, в каких случаях возникает полярная симметрия. Так, по-видимому, и поступали братья Кюри. Они сразу же, конечно, нашли, что из цептросимметричных классов невозможно механической деформацией полу чить полярные классы: в исходных классах и в груп пе оо/тт присутствуют центры симметрии и они всегда должны отбираться как общие и присутство вать в общей высшей подгруппе. Ну, а в нецентро симметричных классах?
222 Здесь П. Кюри уже все ясно:
«Кварц обладает симметрией 32, т. е. имеет тройную... главную ось и три двойные... оси, пер пендикулярных первой. При сжатии, папрнмер, вдоль двойной оси к диссимметрии кварца добав ляется цилиндрическая диссимметрпя оо/тт; из элемептов симметрии остаются только двойная...
ось 2, которая может принять направление элект рической полярности».
Вот, по-видимому, какие «размышления о симмет рии кристаллического вещества» привели братьев Кюри к открытию пьезоэлектрического эффекта.
Аналитический аппарат для описания пьезоэлект рического эффекта разработал несколько позже В. Фойгт. Для этого он установил связь между по лярным вектором (поляризацией) и полярным тензо ром второго ранга (деформацией). При этом было принято, что между компонентами полярного векто ра Pi и компонентами полярного тензора второго ран га r-jh существуют линейные зависимости:
Р 1 |
= « I l l s ' l l |
+ |
«1 2 2 Г22+ |
е 1 3 '3Г 3 3 + • |
• ■ + «1 2 1 Г2 Ь |
|
|||
Р2 |
= «2 1 1 г 11 |
+ |
«2 2 2 Г22+ «2 3 3 ^ 33 + |
• |
• • |
+ |
«2 2 1 Г2 Ь |
(52) |
|
Р3 ~ е 3 1 1 г 11 + |
е 3 2 2 Г 2 2 + |
в З З З Г 33 |
• • • |
+ |
«3 2 1 г 21 • |
|
|||
Коэффициенты пропорциональности ецъ. называют
пьезоэлектрическими константами. Как видно из сис темы уравнений (52), первый ипдекс у пьезоэлектри ческой константы указывает па соответствующую компоненту поляризации, а два последних — па ком поненту полярного тензора деформации.
Систему уравнений (52) удобно записать в виде следующей таблицы:
|
|
Гхх |
Т 22 |
г 33 |
г 23 |
г 32 |
«31 |
Рх |
«111 |
«122 |
«1 3 3 |
«1 2 3 |
«132 |
«131 |
|
Р |
2 |
«211 |
«222 |
«2 3 3 |
«2 2 3 |
«232 |
«231 |
Р3 |
«311 |
«3 2 2 |
«3 3 3 |
«323 |
«3 3 2 |
е 3 3 1 |
|
Г1 3
е1 1 3
со
«3 1 3
«12 |
Г 21 |
(53) |
е 1 1 2 |
«121 |
|
е 2 1 2 |
«221 |
223 |
«312 |
«321 |
Эта таблица может быть записана и в другой форме:
Рi —eijkrjh• |
(54) |
В уравнении (54) 27 пьезоэлектрических констант образуют полярный тензор третьего ранга.
Мы уже привыкли при введении математических величин, описывающих физические свойства кристал лов, прежде всего искать их геометрический образ: скаляр — шар, вектор — стрелки, тензор второго ран га — эллипсоид или овалоид. А что представляет со бой геометрический образ тензора третьего ранга?
Здесь такой наглядности уже нет. Дело в том, что полярный тензор третьего ранга невозможно предста вить себе в виде единственной геометрической фигу ры. Поскольку аналитически его можно описать урав нениями третьей, второй и первой степени, то и гео метрически он представляется сразу несколькими поверхностями. Обычно их представляют графически в виде сечений тремя координатными плоскостями. Но такие геометрические образы уже не могут дать цельного представления об изучаемой величине и по этому нам в дальнейшем придется пользоваться ана литическим его описанием.
Хотя уравнение (54) можно считать определением полярного тензора третьего ранга, тем не менее точ ное и формальное определение, как мы видели в слу чае тензоров второго ранга, должно основываться на закопе преобразования компонент при преобразова нии системы координат. Эта формула имеет следую щий вид:
(55)
Как и в случае преобразования компонент тензо ра второго ранга, в формулах (55) индексы у направ-
ляющих косинусов ставятся в следующем порядке: на первом месте — индекс компоненты тензора в ста рой системе координат, на втором — ипдекс компо ненты тензора в повои системе координат.
Теперь уравнения (55) могут стать определением тензора третьего ранга:
Совокупность 27 величин, которые записываются в виде таблицы (53) и преобразуются при переходе от одной системы координат к другой в соответствии с формулой (55), называются полярным тензором третьего ранга.
Слово полярный означает, что компоненты тен зора третьего ранга связывают линейной зависимо стью компоненты полярных вектора и тензора второ го ранга.
Поскольку полярный тензор второго ранга, описы вающий механическую деформацию, симметричен (см. с. 210), то пьезоэлектрические константы с дву мя симметричными последними индексами равны между собой:
е 123 = е 132> |
е 223 = е 232> е 323 = |
е 332 П Т - Д- |
|||
Поэтому таблицу |
(53) теперь можно переписать так: |
||||
е 1 П |
е 1 2 2 |
е 133 |
е 123 |
е 1 3 1 |
е Ш |
е г и |
е222 |
е 233 |
е 223 |
е 2 3 1 |
e 2i2 |
е 3 1 1 |
е 322 |
е 333 |
е 3 2 3 |
е 3 3 1 |
е 312 |
Теперь, зная определение тензора третьего ранга и формулы преобразования его компонент при изме нении системы координат, уместно поставить вопрос о его симметрии.
Поскольку упрощенные методы, которые мы ис пользовали при рассмотрении тензоров второго ран га, здесь не применимы из-за отсутствия единого гео метрического образа, то вопрос о симметрии тензоров
третьего ранга и, следовательно, о влиянии снимет- 225
рип кристалла на вид тензора может быть решен только аналитически с помощью уравнения (5 5 ). Д ля этой цели существует хорошо разработанный метод
прямой проверки, созданный |
итальянским физиком |
Ф . Ф ум и. Он основан на том, |
что компоненты тензо |
ров преобразуются при изменении системы координат аналогично произведениям соответствующих коор динат.
М ы уж е обращали внимание (см. с. 1 2 1 ), что ком поненты вектора (тензора первого ранга) преобразу ются, как компоненты координат точки. Тензор вто рого ранга преобразуется, как произведение коорди нат точки. Аналогично компоненты тензора третьего ранга преобразуются, как тройное произведение ко ординат точки.
Покажем , |
как работает метод |
Ф ум и па примере |
|
влияния оси |
симметрии второго |
порядка, |
располо |
женной вдоль |
оси Z кристаллофизической |
системы |
|
координат, на компоненту пьезоэлектрического тензо
ра 6122. |
|
|
|
|
П ри |
преобразовании |
системы |
координат |
оси ко |
ординат |
преобразуются |
осью |
2 следующим |
обра |
зом: X преобразуется в — X', Y преобразуется в — Y' |
||||
и Z преобразуется в Z '. Знаки « — » перед осями ко |
||||
ординат показывают, что повые оси направлены в сторону, противоположную старым, так как cos 180° = = — 1. Е сл и старые и новые оси координат совпадают,
то перед новыми осями |
ставится знак « + », |
так как |
||
cos 0° = 1. |
|
|
|
|
Теперь компонента |
пьезоэлектрического |
тензора |
||
6\ 2 2 преобразуется как XYY. Это преобразование при |
||||
наличии |
оси 2 |
будет |
выраж аться следующим об |
|
разом: |
X Y Y |
преобразуется в — X ' Y ' Y ' t |
|
|
|
|
|||
т. е. ei22 |
преобразуется в — е'122. Однако при |
любых |
||
226 операциях симметрии пьезоэлектрические константы
Т а б л и ц а 7
Т е н з о р ы т р е т ь е г о р а н г а п ь е з о э л е к т р и ч е с к о г о э ф ф е к т а
Симметрия Подчинен
тензора ные
группы
1—
т—
2—
3 —
т т 2 |
— |
оо6
4
т—
3т —
|
|
Вид тензора |
|
|
|
|
||
«111 |
«122 |
«133 |
«123 |
|
«131 |
|
«112 |
|
«211 |
«222 |
«233 |
«223 |
|
«231 |
|
«212 |
|
«311 |
«322 |
«333 |
«323 |
|
«331 |
|
«312 |
|
«111 |
«122 |
«133 |
0 |
|
0 |
|
«Ц2 |
|
«211 |
«222 |
«233 |
0 |
|
0 |
|
«212 |
|
0 |
0 |
0 |
«323 |
|
«331 |
|
0 |
|
О |
О |
О |
«12з «131 0 |
|
||||
О |
О |
О |
«223 |
|
«231 |
0 |
|
|
«311 |
«322 |
«333 |
0 |
|
0 |
|
«312 |
|
«111 — «111 |
0 |
«123 |
|
«131 |
— 2<?222 |
|||
— «222 |
«222 |
0 |
«223 |
'—«123 |
— «111 |
|||
«311 |
«311 |
« з з з |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
e i31 |
0 |
|
|
О |
О |
О |
« 2 2 3 |
|
0 |
|
0 |
|
«311 |
«322 |
«333 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
О |
О |
О |
«12з |
«131 |
0 |
|||
О |
О |
О |
«131 |
—«123 |
0 |
|||
«эн |
«эн |
«ззз |
0 |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
е12з |
^i3i |
0 |
|
||
0 |
0 |
0 |
— ^131 |
^123 |
0 |
|
||
е3ц —fan |
0 |
0 |
|
0 |
|
ез12 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
«131 |
—'2«222 |
|||
—«222 |
«222 |
0 |
«131 |
0 |
|
|
0 |
227 |
«811 |
«311 |
«ззз |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
П р о д о л ж е н и е |
табл. 7 |
||||||
Симметрия |
Подчинен |
|
|
Вид тензора |
|
|
||||
тензора |
ные |
|
|
|
|
|||||
|
группы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
222 |
|
0 |
0 |
0 |
е12з |
0 |
О |
|||
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
е231 |
О |
|||
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
«312 |
|||
3/т |
|
«111 |
— |
«111 |
|
0 |
0 |
0 |
— |
2 г>222 |
|
|
'«222 |
|
«222 |
0 |
0 |
0 |
— |
2(5j I l |
|
|
|
О |
|
о |
о |
о |
о |
о |
|
|
32 |
|
«111 — |
«111 |
0 |
|
«123 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
— «123 |
'- 2 . |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
«123 |
0 |
0 |
|
||
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
«123 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
«312 |
||
|
|
0 |
0 |
0 |
«123 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
— |
«123 |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
6 т 2 |
|
« ш |
—«in |
О О О |
|
о |
||||
|
|
О |
О |
О О О |
—2еп1 |
|||||
|
|
О |
О |
О О О |
|
О |
||||
4 3 m |
23 |
О О О |
ei23 |
|
О |
О |
||||
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
е123 |
О |
||
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
«123 |
||
долж ны оставаться теми же, т. е. ej22 = |
e/ i22. |
Одновре |
||||||||
менно эти соотношения будут выполняться только в |
||||||||||
том случае, когда |
6 1 2 2 —е ' 122 = |
0 . |
Следовательно, если |
|||||||
228 в кристалле присутствует |
ось симметрии второго но- |
|||||||||
рядка вдоль оси Z, то пьезоэлектрическая константа ei22= 0.
То же самое можно проделать со всеми 18 незави симыми пьезоэлектрическими константами и устано вить разные по симметрии матрицы тензоров пьезо электрического эффекта (табл. 7).
Как мы уже говорили, пьезоэлектрическим эффек том могут обладать только кристаллы без центра сим метрии. Но среди приведенных выше тензоров нет имеющего симметрию 432, хотя эта кубическая группа не имеет центра симметрии. В чем же дело? В этом случае мы снова сталкиваемся с отсутствием доста точности основных законов кристаллофизики: отсут ствие центра симметрии является только необходи мым условием существования пьезоэлектрического эффекта. Но конкретный анализ влияния симметрии на вид матрицы тензора третьего ранга показывает, что все компоненты этого тензора для класса 432 рав ны нулю.
Для того чтобы показать, как работают тензоры третьего рапга, рассмотрим пьезоэлектрический эф фект в конкретном кристалле— в классическом пьезо электрике кварце. Именно па кристаллах кварца братья Кюри экспериментально открыли пьезоэлект рический эффект.
Кварц принадлежит к гексагональной системе, класс 32. Следовательно, пьезоэлектрический эффект в этом кристалле описывается тензором третьего рап га (см. табл. 7), который имеет следующий вид:
|
|
' l l |
г 2 2 |
г з з |
Г 23 |
г 31 |
г 1 2 |
|
P |
i |
е 1 1 1 |
— е |
111 |
0 |
е 1 2 3 |
0 |
0 |
Р |
2 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
е 1 2 3 |
— 2 е т |
|
|
|
|
|
|
|||
Р з |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
229 |
|
|
|
|
|
|
|
или в развернутом виде:
Р 1 = |
е 1 1 1 г И — е 111г 22 ~Ь е 323г 23> |
| |
|
Т2 = |
— е12зг31 — 2еш г12; |
| |
(57) |
Р3=0 . |
j |
|
|
Из уравнений (57) сразу видно, что как кристалл кварца ни сжимай и ни растягивай, по оси 3 никогда не вызовешь поляризацию. Если же кристалл квар ца растягивать вдоль осп X , т. е. если на него дейст вует деформация ni, то
Pi = ешги -
Таким образом, поляризация возникает вдоль той же оси X (рис. 53, а).
А если теперь кристалл деформировать вдоль оси У? Тогда
P i— е111г22 ■
Опять поляризация возникает вдоль оси X, но с об ратным знаком (см. рис. 53, б). Поэтому ось X (она же ось 2) в кварце называют электрической осью.
Как же можно вызвать поляризацию вдоль оси У? Очень просто [см. уравнение (57)]: или сдвиговой де формацией Гз1 в плоскости, перпендикулярной к оси У (см. рис. 53, в), или сдвиговой деформацией г^ в плоскости, перпендикулярной к оси Z (см. рис. 53, г).
Интересно посмотреть теперь на пьезоэлектриче ский эффект в кварце с точки зрения симметрии.
Характеристическая симметрия деформации в анизотропных средах описывается предельной груп пой oo/mm. Наложим эту группу на группу симмет рии кварца 32 так, чтобы ось оо совпала с осью 2 (рис. 54). Тем самым мы па языке симметрии описа ли деформацию кварца вдоль оси X. В соответствии с принципом Кюри симметрия кристалла кварца по-
230 низится до группы 2, причем эта ось будет направ-
лена вдоль кристаллофизической оси X. Полученная полярная группа допускает возникновение поляриза ции вдоль этой оси.
Р и с. 53. Прямой пьезоэлектрический эффект в кристаллах кварца
Теперь попытаемся деформировать кварц вдоль оси Y. Опять наложим в этом направлении группу оо/тт, чтобы ось оо совпала с осью Y. Снова полу чим группу 2 и ось второго порядка, направленную вдоль оси X, так как у группы оо/тт бесконечное множество осей второго порядка, одна из которых и совпала с осью 2, перпендикулярной к оси Y.