книги из ГПНТБ / Сонин, А. С. Беседы о кристаллофизике

Коэффициент теплового расширения в произволь­ ном направлении, определяемом направляющими ко­ синусами Ci и Сг, тогда равен

Если радиус окружности принять за единицу, то уравнение полученного из него деформацией эллип­ са запишется следующим образом:

Из рис. 52, б можно видеть, что

x = OF cos ^ FOB = (1 + а,) сх; |

Подставив уравнение (47) в уравнение (46) и пре­ небрегая квадратами и произведениями коэффициен­ тов теплового расширения, приведем уравнение эл­ липса к виду

«Г = «11С?+ а22с2•

Для трехмерного случая мы получим уже знако­ мое уравнение овалоида (43):

аг = ап с^ + «2 2 е! + “ззсз •

Однако, если теперь выполнить геометрические по­ строения, ничего похожего на овалоид не получится. Действительно, если взять квадрат, описать его ок­ ружностью и начать его мысленно деформировать в соответствии с определением, удлиняя радиусы-век­ торы, то квадрат не превратится в параллелограмм, а будет представлять собой довольно сложную фигуру.

Этот парадокс блестяще разрешил академик 212 А. В. Шубников. Вот, что он писал по этому поводу:

«Рассмотрим процесс тепловой деформации, описываемый уравнениями (44), более подробно по плоской схеме (см. рис. 52, в. — А. С.) Возьмем окружность с радиусом, равным единице. Разделим ее на 4п равных частей (на чертеже — на 24 час­ ти). Точки деления соединим с центром окружнос­ ти; получим систему радиусов окружности до ее преобразования в эллипс. Теперь применим к каж­ дой точке деления окружпости и соответственно к каждому радиусу последней преобразование (44), полагая z = 0. Возьмем сначала точку К с координа­ тами ж=1, у = 0. Помножив их соответственно на «и и «2 2 , получим х'= ац, у'=0. Этот результат по­ казывает, что точка К после деформации должна, оставаясь на оси X, переместиться вправо, если Яц>1, или влево, если яц < 1. При составлении чертежа мы приняли йц = 1,25; а2 2 = 2,00. Соответ­ ственно этому наша точка переместилась в поло­ жение Е справа от К. Из изложенного следует, что а\\ = ОЕ. Аналогично можно показать, что 0 . 2 2 = OF. Как видим, постоянные «ц, агг с геометрической точки зрения являются полуосями того эллипса, в который преобразуется окружность в результате деформации. Если мы применим наше преобразо­ вание в точке А, то обнаружим, что после деформа­ ции она переместится в точку В вдоль вектора сме­ щения АВ. В соответствии с этим и радиус окруж­ ности ОА преобразуется в радиус-вектор эллипса

ОВ.

Если мы повторим это построение для всех то­ чек деления окружности, не изображая простоты ради радиусов-векторов эллипса, то получим пол­ ную картину деформации, изображенную на рис. 52, в. Как видим, эта картина существенно от­ личается от ранее рассмотренной (см. рис. 52, а. —

А. С.)

Пользуясь формулами (44), легко рассчитать и построить диаграмму преобразования квадрата в параллелограмм (см. рис. 52, в. — А. С.).

Вернемся к рис. 52, в. Мы видим на нем точку D, совпадающую с точкой пересечения эллипса и продолжением прямой ОА, и точку С, которая ле­ жит в пересечении той же прямой с нормалью ВС, опущенной из точки В па эту прямую. Перенесем эти и другие точки рассматриваемой диаграммы на особый чертеж (см. рис. 52, б. — А. С.). Обозначим углы, образованные прямой ОС с осями координат, через фь фг, а их косинусы, которые являются на­ правляющими косинусами этой прямой, через с\, с2. Очевидно, коордипаты точки А при ОА = 1 рав­ ны Ci, С2 , а коордипаты точки В в соответствии с формулами (44) равны auCi, а2С2. Обозначим еще длину отрезка прямой ОС через аг.

Из чертежа видно, что пормальпое уравпепие прямой GII при этих обозначениях может быть паписанов форме

аг = хсг + ус2.

Так как эта прямая проходит через точку В, то приведенное равенство не нарушится, если в него будут подставлены вместо х и у координаты этой точки ацС] и а2С2. После этой подстановки приве­ денное уравнение преобразуется в равенство

параллелограмм (г)

чины ап, й2 2 как постоянные, а величины ar, сi, С2 как переменные, учитывая, конечно, что сумма квадратов направляющих косинусов всегда равна единице,

то это равенство (49) определит собой в декарто­ вой системе координат некоторую кривую, которая

гими своими точками вне последнего. Возвращаясь к нашей теме, вычтем равенство

(49) из (48)

аг ~ 1 = («п—l)ci + (а22 — 1)<|-

Величины ап—1 и ачг—1, как мы уже знаем, представляют собой главные коэффициенты рас­ ширения ссц и СС2 2 - Если обозначим в соответствии с этим величину ат—1 через аг, то последнее ра­ венство примет форму

Формула (50) описывает тепловое расширение плоских фигур. Если бы мы повторили наши рас­ суждения, имея в виду трехмерные фигуры, то по­ лучили бы уравнение

мы пренебрегали квадратами и произведениями ве­

рис. 50, в. — А. С.), который этой формулой дей­ ствительно определяется приближенно, в формуле же (51) под величиной аг мы разумели отрезок АС, этой формулой определяемый совершенно точно.

Учитывая это и принимая во внимание то, что формула (51) выведена на основе более правиль­ ных воззрений па тепловую деформацию, мы под коэффициентом расширения аг будем разуметь в дальнейшем величину, пропорциональную отрезку АС, а не отрезку AD.

С первого взгляда такое определение коэффици­ ента расширения — по сути дела не новое — мо­ жет показаться слишком искусственным, посколь­ ку точка С находится вне эллипса (т. е. впе крис­ талла, если до деформации ему придается форма шара). Следует учесть, однако, что реальное пре­ образование вектора ОА (см. рис. 52, б и в.— А. С.)

в векторе ОВ при помощи вектора смещения АВ

производится не только за счет растяжения векто­ ра ОА на величину отрезка АС, но и за счет сдви­ га СВ, в результате которого точка С попадает в точку В на эллипсе, где ей и надлежит быть».

Таким образом, уравнения (43) и (51) прибли­ женно описывают эллипсоид теплового расширения и точно описывают овалоид. Для нас такая трактовка не явилась неожиданной, так как мы уже знаем, что коэффициент теплового расширения является поляр­ ным тензором второго ранга и описывается овалоидами. Возникшее недоразумение очень наглядно пока­ зывает важную роль, которую играет тензорная ал­ гебра и, в частности, геометрическая интерпретация тензоров.

метр Томсона... Не приступая еще к изучению за­ конов, управляющих этим явлением, мы можем утверждать, что его характер такой же, как и ха­ рактер явления пироэлектричества...

2. Мы провели сравнительное изучение обоих видов образования полярного электричества на ря­ де непроводящих... веществ...

...Наши опыты были проведены с цинковой об­ манкой, хлорноватокислым патрием, борацитом, турмалином, кварцем, каламином, топазом, правой виннокаменной кислотой, сахаром и сегнетовой солью.

У всех этих кристаллов вызванные сжатием яв­ ления по направлению такие же, как при охлажде­ нии: при снятии сжатия явления имеют такое же направление, как и при нагревании.

Тут имеется очевидная связь, которая позволя­ ет в обоих случаях отнести явления к одной и той же причине и объединить их следующим утверж­ дением:

Какова бы ни была причина, всякий раз, ког­ да... непроводящий кристалл с косыми гранями сжимается, возникает электрическая поляризация определенного направления; всякий раз, когда этот кристалл растягивается, выделение электричества происходит в противоположном направлении.»

Сразу же рассеем недоумения, возникшие у вни­ мательного читателя в связи с тем, что братья Кюри относят к пироэлектрикам такие кристаллы, как цин­ ковая обманка, сахар и кварц. Эти кристаллы не при­ надлежат к полярным классам и поэтому не могут иметь спонтанную поляризацию (см. с. 146). Возник­ новение же в них зарядов при нагревании, в то время трактуемое как пироэффект, обусловлено в действи­ тельности тем же пьезоэлектрическим эффектом, вы-

220 •званным неравномерной деформацией образцов в ре-

зультате теплового расширения. Однако все ска­ занное не дискредитирует основную идею братьев Кюри о глубокой аналогии между явлениями пиро­ электричества и пьезоэлектричества. Обратите внима­ ние па фразу в заметке:

«...Не приступая еще к изучению законов, управ­ ляющих этим явлением, мы можем утверждать, что его характер такой же, как и характер явления пи­ роэлектричества».

Совершенно очевидно, что братья Кюри пришли к открытию явления пьезоэлектричества пе случайно, а в результате глубокого понимания связи между сим­ метрией кристаллов и физических явлений. Это под­ тверждает и Мария Кюри, которая пишет в своих воспоминаниях: «Это открытие пе было случайным; к нему привели размышления о симметрии кристалли­ ческого вещества, позволившие братьям предвидеть возможность такой поляризации». Исходпым пунктом таких размышлений был, по-видимому, пироэлектри­ ческий эффект.

Действительно, мы помним, что характеристиче­ ская симметрия спонтанной поляризации описывается точечной группой оопг. Поэтому-то кристаллы, обла­ дающие спонтанной поляризацией, по своей точечной симметрии могут принадлежать только к десяти по­ лярным кристаллографическим классам.. Далее, П. Кюри уже было известно, что «...нагревание, пред­ полагаемое однородным, само по себе не вносит ника­ кой диссимметрии». Оно является скаляром с точечной симметрией оооотп. При наложении этой группы на точечные группы полярных классов их симметрия не понижается (что можно проверить с помощью принципа Кюри). Поэтому пироэлектриче­