книги из ГПНТБ / Сонин, А. С. Беседы о кристаллофизике

Описываемая этим уравнением поверхность вра­ щения состоит из двух яйцевидных положительных (белых) областей и одной торообразной отрицатель­ ной (черной) области (см. рис. 45, е). Симметрия этого овалоида та же — оо/тт.

Рассмотрим теперь низкоснмметрнчные кристал­ лы. В этом случае ап^фацфа^ъ- Если теперь все главные компоненты положительны, то этот наиболее общий случай описывается овалоидом, показапным на рис. 45, г. Пусть теперь одип из компонентов, на­ пример, азз<0. Уравнение (43) тогда преобразуется в

ность, состоящую из двух отрицательных (черных) яйцеобразных областей и одной вытянутой положи­ тельной (белой) области, имеющей форму продолго­ ватого бублика (см. рис. 45, д). Симметрия послед­ них двух овалопдов ттт. Заметим, что симметрия овалоидов по системам совершенно идептпчна сим­ метрии эллипсоидов. Иначе и не могло быть, ведь они описывают ту Hie характеристическую симметрию физических явлений, представляемых полярными тен­ зорами второго ранга, что и эллипсоиды. Только глав­ ные оси у овалоидов имеют другие значения — они пропорциональны самим компонентам тензоров.

Возвращаясь к описанию диэлектрической прони­ цаемости кристаллов, из семейства овалоидов необхо­ димо отобрать только такие, у которых главные значения компонент тензора положительны. Это обу­ словлено существенной положительностью диэлектри­ ческой проницаемости. Тогда для описания диэлект­ рической проницаемости кристаллов будут удобны

кристаллы) и овалоид общего вида (см. рис. 45, г) (ромбические, моноклинные и триклинные кристал­ лы).

Другие овалоиды рассмотрим позже (см. с. 216). Вернемся еще раз к эллипсоидам, которые весьма удобны для описания анизотропии показателей пре­ ломления кристаллов, на что указывают приведенные выше их названия — эллипсоид Френеля и эллипсоид

показателей.

Как мы выяснили, эллипсоиды — геометрические образы полярных симметричных тензоров второго ранга, а показатели преломления кристаллов не яв­ ляются тензорами.

Хорошо известно, что в кристалле показатели пре­ ломления имеют различные зпачепия по различным направлениям. Кроме того, и это самое главное, но теории Максвелла

п = Уе ,

т. е. все свойства анизотропии диэлектрической про­ ницаемости кристаллов должны автоматически пере­ носиться и на показатели преломления. Но в матема­ тике корень квадратный из тензора второго ранга, ка­ ковым является диэлектрическая проницаемость, не определяется как тензор. Поэтому показатель прелом­ ления рассматривается в кристаллофизике как тен­ зороподобная величина. Но для того чтобы сохранить строгость при ее анализе, вводится (эта заслуга при­ надлежит выдающемуся немецкому физику-онтику конца XIX — начала XX века ученику В. Фойгта Ф. Поккельсу) новый тензор так называемых поля­ ризационных констант, являющийся ничем иным, как полярным симметричным тензором второго ранга ди­ электрических непроницаемостей

202 Этот тензор нам уже знаком [см. матрицу (42)]. Он

был рассмотреп нами при изучении эллипсоида пока­ зателей.

Теперь понятно, почему для описания анизотро­ пии преломляющих свойств кристаллов удобны имен­ но эллипсоиды показателей: их радиусы-векторы рав­ ны показателям преломления для тех волн, колеба­ ния которых соверша­ ются в направлении этих векторов. Но по­ скольку колебания элек­ трического вектора со­ вершаются перпендику­ лярно к направлению распространения волны, то сечения эллипсоида показателей, перпенди­ кулярные к лучу, дадут направления колебаний волн, распространяю­ щихся в кристалле. Та­ ким образом, зная эл­ липсоид показателей данного кристалла, или,

как его называют в кристаллооптике, оптическую индикатрису, мы знаем все о его преломляющих свойствах.

Посмотрим, как с помощью оптических ипдикатрпс описывается распространение света в кристаллах. Для этого возьмем кристалл одной из средних сис­ тем — тетрагональной или гексагональной, оптиче­ ская индикатриса которого описывается эллипсоидом вращения. Пусть в произвольном направлении рас­ пространяется луч света (рис. 46). Построим эллип­ тическое сечение оптической индикатрисы, перпенди­ кулярное к лучу. Оси полученного эллипса являются

векторами, указывающими направления колебания и 203

одной его гранью на рисунок или подпись, то вслед­ ствие эффекта двупреломленпя они раздвоятся

(рис. 47).

Теперь легко понять, что все кристаллы, оптиче­ ские индикатрисы которых описываются эллипсоидом общего вида или вращения, являются оптически ани­ зотропными и обладают эффектом двупреломления. Кубические же кристаллы оптически изотропны (оп­ тическая индикатриса — сфера) и не обладают двупреломлением.

Однако и в анизотропных кристаллах, оказывает­ ся, есть отдельные направления, в которых луч не испытывает двупреломления. Это следует из геомет­ рических свойств эллипсоидов — оптических инди­ катрис.

Как мы уже говорили, поляризация и значения показателей преломления падающего на кристалл лу­ ча света определяются главными осями сечения опти­ ческой индикатрисы, перпендикулярного к лучу. По­ этому если сечение оптической индикатрисы пред­ ставляет собой окружность, то, естественно, перпендикулярно к этому сечению луч света распро­ страняется без преломления и без изменения поляри­ зации. Эти направления в кристаллах называют оп­ тическими осями.

В эллипсоиде вращения всего одна оптическая ось, совпадающая с осью симметрии бесконечного порядка (рис. 48, а). Такие кристаллы называют оптически одноосными. Напомним, что это кристаллы средних систем: тетрагональной и гексагопалыюй. В эллипсои­ де общего вида, которьщ описываются преломляющие свойства кристаллов низших систем: ромбической, моноклинной и триклинпой, два круговых сечения и перпендикулярные к ним две оптические оси (см. рис. 48, б). Эти кристаллы называют оптически дву­

осными. Кубические же кристаллы, оптические инди- 205

катрисы которых являются сферами, с этой точки зре­ ния следует отнести к оптически многоосным: у них бесконечное множество круговых сечений и бесконеч­ ное множество оптических осей.

Представим теперь себе мысленно следующий экспе­ римент. Пусть внутри куби­ ческого кристалла помещен источник света. Включим его и будем следить за поверхно­ стями распространяющейся во все стороны световой вол­ ны. Поскольку выбранный нами кристалл является оп­ тически изотропным, то ско­ рости лучей света по всем направлениям будут равны и поверхность, радиусы-векто­

Оптическая Оптическая ры которой пропорциональны ось ось этим лучевым скоростям, бу­ дет сферой. Эту новую по­ верхность, до которой свет доходит за данный отрезок времени из нашего вообра­ жаемого точечного источни­ ка, называют поверхностью

волны.

Вроде бы ничего нового и интересного для описания оптических свойств кристал­ лов эта поверхность волны пока не дает. Но это только пока мы рассматривали куби­ ческие кристаллы. Если те­

перь наш воображаемый источник света поместить 206 внутри тетрагонального или гексагонального кристал-

ла, то все будет по-другому. В кристалле с различ­ ными скоростями начнут распространяться две вол­ ны — обыкновенная и необыкновенная. Обыкновен­ ная волна распространяется в кристалле без прелом­ ления — для нее кристалл является оптически изо­ тропным. Поэтому поверхность волны обыкповен-

Р и с 49. Поверхности волны в оптически анизотропных кристал­ лах: одноосные положительные кристаллы (а); одноосные отри­ цательные кристаллы (б); двуосные кристаллы (в)

пого луча будет, как и для кубических кристаллов, сферой. А вот скорость необыкновенной волны уже существенно зависит от направления: поверхность волны для нее но своей геометрической форме пичем не будет отличаться от оптической ипдикатрисы. Та­ ким образом, поверхность волны оптически одноос­ ных кристаллов является двойной поверхностью — сферой и эллипсоидом вращения. При этом если ско­ рость обыкновенного луча больше скорости необык­ новенного луча (такие кристаллы называют оптиче­ ски положительными), то поверхность волны пред­ ставляет собой сферу с вписанным в нее эллипсои­ дом (рис. 49,а). Касание сферы и эллипсоида проис­ ходит в двух точках, дающих выход оптической оси. Оптическая индикатриса таких кристаллов представ­ ляет собой вытянутый эллипсоид вращения (п0< пе,

где индекс «о» относится к обыкновенному лучу, а 207

оси — пе.

Если же скорость обыкновенного луча меньше ско­ рости необыкновенного (п0> пе), то такие кристаллы называют оптически отрицательными. Их поверх­ ность волны описывается сплюснутым эллипсоидом со вписанной в него сферой (см. рис. 49, б) . Сплюс­ нутой сферой описывается и их оптическая индикат­ риса. В этом случае также радиус-вектор кругового сечения пропорционален п„, а радиус-вектор по на­ правлению оптической оси — пе.

В случае оптически двуосных кристаллов все ока­ зывается гораздо сложнее. Оптическая индикатриса теперь представляет собой эллипсоид общего вида, полуоси которого пропорциональны трем главным показателям преломления п\, щ, щ. Поэтому оба лу­ ча, распространяющиеся в двуосных кристаллах, яв­ ляются необыкновенными. Поверхность волны таких кристаллов очень сложная, образованная двумя обо­ лочками, пересекающимися между собой в четырех точках, лежащих в воронкообразных углублениях (см. рис. 49, в). Через эти точки и центр проходят две оптические оси, распространяясь вдоль которых, луч света не испытывает преломления.

До сих пор мы рассматривали тензорные свойства кристаллов в статических внешних условиях. Естест­ венно, что при изменении давления и температуры физические свойства кристаллов будут изменяться. Однако степень этих изменений существенно различ­ на. Особенно резко изменяются физические свойства в окрестности фазовых превращений в сегнетоэлектрических и ферромагнитных кристаллах. В обычных кристаллах физические свойства с изменением тем-

208 нературы и давления изменяются монотонно.

В связи с этим большое значение имеет тензорное описание теплового расширения кристаллов. Но тепловая деформация — это только частный случай деформации кристалла вообще. Сама деформация описывается полярным тензором второго ранга. При

z. После деформации ее координаты станут х', у', г'. Но положение точки А до деформации и после можно характеризовать и радиусами-векторами ОА и ОА' Если деформация является однородной, то между

Уравнение (44) показывает, что величина (ац), ха­ рактеризующая деформацию,— полярный тензор вто­ рого ранга.

Деформацию можно характеризовать немного ина­ че. Назовем смещением точки А вектор АА' = щ 209

8 - 3 0 4