книги из ГПНТБ / Сонин, А. С. Беседы о кристаллофизике

Рядом с внушительным богатством явлений бросается в глаза еще и теоретическая сторона

дела, придающая кристаллофизике особенную пре­ лесть: кристаллизованное вещество является нор­ мальным состоянием твердой материи, аморфное же — нарушенным ее состоянием. Поэтому в кри­ сталлическом состоянии оно обнаруживает свои физические свойства в самом чистом и самом со­ вершенном виде, в аморфном же — в мутном и

затуманенном.

В. Фойгт

Тензорами второго ранга описываются многие свойства кристаллов. Мы не имеем возможности рас­ смотреть их здесь все, поэтому назовем лишь неко­ торые. Полярными тензорами описываются диэлект­ рическая проницаемость (восприимчивость), связы­ вающая между собой линейной зависимостью два по­ лярных вектора — электрическое поле и индукцию; магнитная проницаемость (восприимчивость), связы­ вающая между собой два аксиальных вектора — маг­ нитное поле и намагничепность; электропроводность, связывающая два полярных вектора — ток и электри­ ческое поле; механическая деформация, связывающая между собой два полярных вектора — силу и смеще­ ние; термическое расширение, связывающее между

собой полярный тензор второго ранга — деформацию и скаляр — температуру.

Аксиальным тензором второго ранга описывается, как уже упоминалось выше, оптическая активность.

Как пам уже известно, существует шесть различ­ ных по симметрии классов полярных тензоров второ­ го ранга (см. с. 185). Однако если рассматривать только симметричные тензоры, для которых

aij = aji »

то число различных по симметрии классов сокращает­ ся на один.

К счастью, почти все свойства кристаллов описы­ ваются именно симметричными тензорами второго ранга. Это следует из энергетических соображений, которые выходят за рамки этой книги. Таким обра­ зом, рассматриваемые нами свойства описываются по­ лярными тензорами пяти классов, различными по своей симметрии (табл. 6 ).

В табл. 6 наряду с видами тензоров приведены их симметрия, подчиненные группы и кристаллографи­ ческие системы. Это очень важная для кристаллофи­ зики таблица. Она показывает, что если физическое свойство описывается полярным тензором второго ранга, то зависимость его от направления в кристал­ ле для каждой кристаллографической системы имеет свой вид. Каждый тензор имеет свою симметрию и описывает физические свойства кристаллов, принадле­ жащие к точечной группе симметрии тензора и к ее подгруппам.

Если предмет нашего изучения — некая физиче­ ская величина, например известная нам диэлектриче­ ская проницаемость (e,j), то, зная точечпую симмет­ рию кристалла из приведенной таблицы, легко най­ ти, какое число независимых компонент гц необходи-

192 мо измерить для того, чтобы получить полное пред-

с0 —s

О 1 О

s 0 с

Применяя формулы преобразования компонент по­ лярного тензора второго ранга, получаем

(37)

Из первого уравнения системы (37):

еи — (1 — ®2) eu + 2css13 + з2г33;

s ( е ц — £зз) = 2 c s £i 3 ;

(38)

Еи —£зз

Из третьего уравнения системы (37) получим тот же результат. Таким образом, мы можем описать за­ висимость диэлектрической проницаемости моноклин­ ного кристалла от направления полярным тензором второго ранга двух видов: или же вида (35), или же вида (36), но тогда придется задать и угол а, опреде­ ляемый выражением (38). Если говорить вообще о моноклинных и триклшшых кристаллах (а только для них, как мы видели, тензоры обычно записываются не в диагональном виде), то эта двойственность в записи полярных тензоров второго ранга обусловле­ на тем обстоятельством, что не все оси главной кри­ сталлофизической системы координат для этих кри­ сталлов связаны с элементами симметрии.

Рассмотрим теперь подробнее геометрические об­ разы тензоров диэлектрической проницаемости, при­ веденных к диагональному виду. Мы уже знакомы с эллипсоидами — поверхностями второго порядка, опи- 195

соида до плоскости, касательной к эллипсоиду в точ­ ке М.

Совершенно аналогично можно построить поверх­ ность, где независимыми переменными будут не ком­ поненты электрического поля Ei, а компоненты ди­ электрической индукции Di. Тогда уравнение таких поверхностей в координатной форме будет иметь сле­ дующий вид:

При этом полуоси нового эллипсоида равны вели­

чинам фец, ф8 2 2 и У8 3 3 . Эллипсоид такого вида назы­ вают эллипсоидом показателей, так как он использу­ ется для описания анизотропии показателей прелом­ ления в кристаллах.

Эллипсоиды, определяемые уравнениями (40) и (41), будем называть обратными, так как они опреде­ ляются обратными тензорами: эллипсоид Френеля оп­ ределяется тензором (36), а эллипсоид показателей — обратным тензором:

стью характеризуют электрические свойства любого 197

диэлектрического кристалла. Используя необходимые сечения этих эллипсоидов, мы можем, откладывая по заданному направлению в определепиом масштабе од­ ну из величии (электрическую индукцию D, поляри­ зацию Р или напряженность поля Е), определить

паправление и абсолютное значение двух других ве­ личин, как это показано на рис. 43. Для этого необ­ ходимы лишь элементар­ ные геометрические по­ строения.

Хотя мы достаточно подробно разобрались с описанием диэлектриче­ ской проницаемости (и других свойств, выражае­ мых полярными симмет­ ричными тензорами второ­ го ранга) эллипсоидами, однако следует честно при­ знать, что они не совсем удобны. Дело в том, что для построения эллипсои­ дов необходимо отклады­

вать из некоторого геометрического центра не сами диэлектрические проницаемости, измеренные в дан­

ном направлении, а величины, равные 1 Уегj (см. с. 196). Если же строить поверхности диэлектриче­ ских проницаемостей, откладывая из цептра значе­ ния последних в данном направлении, то получатся другие поверхности — овалоиды. Для их рассмотре­ ния необходимо перейти к полярным координатам.

В полярной системе координат вместо трех коор­ динат, необходимых для задания точки в кристалло- 198 физической системе, используются четыре — радиус-

вектор г и углы сц, образуемые им с осями прямо­ угольной системы координат (рис. 44). Последние задаются направляющими косинусами. Так как на­ правляющие косинусы не являются независимыми, то фактически эта полярная система координат являет­ ся тоже «трехмерной», а не «четырехмерной», как кажется с первого взгляда.

В полярной системе координат интересующая пас поверхность — овалоид — задается уравнением

коэффициент термического расширения, удельпое со­ противление (электропроводность) и т. п.

Для чего используют в кристаллофизике такой овалоид? Для того, чтобы по трем главным значениям тензора в любом направлении в кристалле найти зна­ чение исследуемой физической величины, определяе­ мое направляющими косинусами щ, сг, с3.

Теперь исследуем формы полученных овалоидов. Для кубических кристаллов, как мы уже знаем, все компоненты полярного тензора равны: щi= «2 2 = ^ 3 3 -

Если все я « > 0, что и наблюдается эксперименталь- 199

но, то уравнение (43) описывает сферическую поверх­ ность, имеющую симметрию оооот, и принимает вид

аг —°11 ( е 1 + с2 + 4) = Й11 •

Условились изображать овалоиды белыми, если компоненты тензора, ее описывающие, имеют положи­ тельный знак, и черными, если они имеют отрицатель­ ный знак.

Для кристаллов тетрагональной и гексагональной систем а.11—а.2 2 ¥=азд- Тогда уравнение (43), естест­ венно, будет записываться как

аг = (’ll ( 4 + 4) + а ззсз -

Посмотрим, какие же овалоиды описывают тензо­ ры этих кристаллов. Если й з з > й и , то получается вы­ тянутый положительный (белый) овалоид вращения (рис. 45, а). Если же «зз<ац, то получается сплюс­ нутый вдоль оси Z овалоид вращения (см. рис. 45, б). В обоих случаях эти овалоиды имеют симметрию

оо/тт.

Интересен случай, когда йзз> 0 , а й ц < 0 . При этом уравнение (43) имеет вид