книги из ГПНТБ / Сонин, А. С. Беседы о кристаллофизике

или в новых обозначениях

Из уравнений (31) п (32) следует, что компонен­ ты антисимметричного полярного тензора второго рапга преобразуются как компоненты аксиального вектора. Это несколько неожиданно, по очепь важно: аксиальпый вектор можно одновременно рассматри­ вать как полярный тензор специального вида, назы­ ваемый антисимметричным тензором. Эти тензоры исследовал академик А. В. Шубников:

«Докажем, что антисимметричный тензор всег­ да может быть приведен к простейшей форме

путем надлежащего преобразования координат. Если такое преобразование осуществимо, то с по­ мощью обратпой операции должно быть осуществи­ мо и обратпое преобразование последнего тензора [(33). — А. С.] в первый. Очевидно, наше положе­ ние будет доказано, если будет доказана осущест­ вимость этого обратного процесса, что сейчас и бу­ дет сделано.

Применяя к тензору [(33). — А. С.] формулы преобразования [(20). — А. С.], будем иметь

Из этих формул видно, что в преобразованном тен­ зоре все компоненты главной диагонали равны пу­ лю (а'ц = а,2 2 = а /зз=0 ), а компоненты, располо­ женные симметрично относительно главной диаго­ нали, равны друг другу с обратным знаком (а'з2 = = —а'гз; a'i3 = —я'з1 ; a'2i = —a '1 2 ), а это и означает,

что тензор вида [(33). — Л. С.] и исходный тензор могут быть всегда преобразованы друг в друга.

Если антисимметричный тепзор является одно­ временно аксиальным вектором, то он, тепзор, дол­ жен обладать и всеми свойствами аксиального век­ тора и, в частности, его симметрией оо/т».

Теперь мы можем получить группы симметрии и виды матриц полярных тензоров второго ранга.

Итак, любой полярный тензор второго ранга мож­ но представить как сумму симметричного и антисим­ метричного тензоров. Симметричный тензор второго ранга соответствующими преобразованиями системы координат можно привести к диагональному виду, а антисимметричный — к простейшей форме. Симмет­ рия этих составляющих тензора общего вида извест­ на. Теперь с помощью принципа симметрии Кюри можно найти точечную симметрию полярных тензо­ ров второго ранга как общую высшую подгруппу то­ чечных групп симметрии геометрических образов симметричпого и антисимметричного тензоров при за­ данной ориентации их элементов симметрии.

182 Итак, имеем:

z

z

X

©о 171

Если наложить на группу ттт группу оо/т та­ ким образом, что ось оо будет располагаться по на­ правлениям [1 0 0 ], [0 1 0 ] или [0 0 1 ], то общей высшей подгруппой этих групп будет группа 2/т. Аналогич­ но если

Далее, если

антисимметричный тензор второго ранга (аксиальный вектор) равен нулю. Тогда получим все возможные точечные группы симметрии полярных тензоров вто­ рого ранга;

1, 2 / т , т т т , о о / т , о о / т т и оо оо т .

Приведенным способом можно получить и вид мат­ рицы тензоров второго ранга в частных системах ко­ ординат, связанных с элементами симметрии склады­ ваемых тепзоров (табл. 4).

Из рассмотрения групп симметрии полярных теп­ зоров второго ранга следует очень важный вывод: все они содержат в качестве элемента симметрии центр симметрии. Таким образом, если физическое свойст­ во описывается полярным тензором второго ранга, то это свойство цеитроспмметричио. Что это означает? То, что, изучая это свойство, нельзя сделать вывод, обладает кристалл центром симметрии или нет. Дру-

184 гие выводы из этого факта будут ясны позже.

намагниченности на 90° — от [110] к [110]. И наобо­ рот, изменение направления магнитного поля от [1 1 0 ]

к [1 1 0 ] приводит к переноляризации от направления

[001] к [001]. Этот эффект носит название магнито­ электрического и описывается новым тензором вто­ рого ранга — аксиальным тензором.

Мы помним, что полярный тензор второго ранга устанавливает линейную связь между двумя поляр­ ными или двумя аксиальными векторами. А аксиаль­ ный тензор устанавливает связь между полярным и аксиальным векторами. В нашем случае электриче­ ское ноле (поляризация) — полярный вектор, а маг­ нитное поле (намагниченность) — аксиальный век­ тор. Точное определение аксиального тензора второ­ го ранга дает академик А. В. Шубников:

«...Под аксиальными тензорами второго ранга мы будем разуметь тензор (ац), отличающийся от соответствующего полярного тензора только тем, что в формулах преобразования компонент тензора

после ипверсии, характеризуемой схемой коси­ нусов

0 0 — 1

каждая компонента тензора преобразовалась бы в себя, т. е.

аЧ = аЧ •

В действительности же в результате применения формулы преобразования [(34). — А. С.] со знаком минус (при инверсии правая система переходит в левую) обнаруживается, что каждая новая компо­ нента равна соответствующей старой с обратным знаком

«п = — cn cii°n —— «и.

«12 = — « 11« 22«12 = — «12 >

а это н означает, что инверсия в данном случае не является симметрической операцией или формаль­ но она является таковой только для тензора, каж­ дая компонента которого равна нулю. Следовательno, в отличие от полярных тензоров, для которых центр симметрии является обязательным, аксиаль­ ные тензоры пе могут обладать им вовсе».

Академик А. В. Шубников впервые показал ана­ литически, что существует девять разных по своей точечной симметрии аксиальных тензоров второго ранга (табл. 5).

Интересно заметить, что в эту таблицу попал и псевдоскаляр (симметрия оо/оо). Это не удивительно, если вспомнить, что скаляр тоже является частным случаем полярных тензоров — тензором первого pan-

га. Аналогично среди аксиальных тензоров аксиаль­ ный вектор тоже тензор нулевого ранга.

Т а б л и ц а 5

Аксиальные тензоры второго ранга

ооац Ui2 О Ось оо совпадает с осью Z

Теперь остается ответить па главный вопрос: что дает кристаллофизике введение попятил о симметрии полярных и аксиальных тензоров. На этот вопрос от­ вечает академик А. В. Шубников:

«Полученные нами результаты в переводе на язык физической кристаллографии означают сле­ дующее. ...Любое однородное тело в отношении свойств, описываемых полярным тензором общего вида, например в отношении пластической дефор­ мации, должно было причислено к одной из сле­ дующих шести групп симметрии:

ОООО/Я

сю/mm

2/m

1

Они представлены здесь так, что всякая распо­

ложенная ниже группа является подгруппой, рас­ положенной выше.

По этим группам симметрии полярных тензо­ ров все царство анизотропных однородных сред разбивается на шесть классов симметрии полярно­ го тензора...

Однородные анизотропные тела в отношении свойств, описываемых аксиальным тензором обще- 189

го вида, разделяются на девять классов симметрии аксиального тензора согласно схеме

оссо

®о 2

42/77

mm2 222

/77

Обладать этими свойствами могут не все одно­ родные тела, а лишь те, группы минимальной сим­ метрии которых являются подгруппами указанных девяти групп».

Другими словами, существует шесть различных по характеристической симметрии полярных тензоров второго ранга и девять различных по характеристиче­ ской симметрии аксиальных тензоров второго ранга. Они могут описывать любое физическое свойство, в основе которого лежит линейная связь двух векторов. И в соответствии с основным законом кристаллофизи­ ки это физическое явление может иметь место или в среде, обладающей точечной симметрией одной из этих групп, или их подгрупп. При этом и вид тензо­ ра, естественно, для данной характеристической груп­ пы симметрии тензора и его подгрупп минимальной

190 симметрии будет одинаковым.