книги из ГПНТБ / Сонин, А. С. Беседы о кристаллофизике

поскольку они имеют одпу (три в пулевой степени) компоненту.

Пользуясь формулами преобразования [(2 0 ).— А. С.], можно доказать, что при переходе к новой системе координат сам тензор не изменяется. Мы хотим этим сказать следующее. Если с помощью данного тензора (flij), отнесенного к некоторой пря­ моугольной системе координат XYZ, вектор q пре­ образуется в вектор р, а этот последний после пе­ рехода к новой системе координат X'Y'Z' преобра­ зуется в вектор р7, то тот же вектор р7 мы должны получить и другим путем, а именно: если сначала преобразуем тепзор ац и вектор q путем перехода к повой системе соответственно в тензор (ац)' и вектор q7, а затем этот последний преобразуем с по­ мощью тензора (ац)'».

Тензоры специально сконструированы для описа­ ния апизотропии физических свойств кристаллов. Их ввел в кристаллофизику выдающийся немецкий фи­ зик конца прошлого — начала нашего века В. Фойгт.

Вольдемар Фойгт родился в 1850 году в Лейпциге в семье, где, по его словам, «госпожа музыка являлась великой святой». В доме его родителей устраивались музыкальпыо вечера, на которых частыми гостями были великие музыкан­ ты Р. Шуман и Ф. Мендельсон. Сам В. Фойгт с детства про­ являл прекрасные музыкальные способности и все не сомне­ вались, что он посвятит свою жизнь музыке. Но вышло иначе.

После окончания школы в 1868 году В. Фойгт ноожидаппо поступил на естественное отделение университета. Позже он объяснял это свое решение так: «В музыке можно быть или только на вершине, или в самом низу, а в физике же можно придерживаться золотой середины». Однако, не­ смотря на неверие в свои музыкальные способности, увлече­ ние музыкой В. Фойгт пронес через всю свою жизпь.

В1870 году во время франко-прусской войны В. Фойгт

вдействующей армии участвовал во взятии Парижа. После войны В. Фойгт продолжил обучение уже в Кенигсбергском

университете под руководством Ф. Неймапа, где стал специа171

ВОЛЬДЕМАР ФОЙГТ

(1850-1919)

7. Тензор второго рапга, сопряжеппый с антисим­ метричным тензором, отличается от него только знаком:

Теперь можно показать еще одно очень важное свойство тензоров. Любой полярный тензор второго ранга можно разложить и притом единственным спо­ собом на сумму двух тензоров, из которых один бу­ дет симметричным, а другой — антисимметричным:

i f l i j ) = ( f l i j ) сим ( а ;у )ан т • (2 2 )

Возьмем от обеих частей равенства (2 2 ) сопряженные тензоры

Теперь, складывая уравнения (25) и (26), оконча­ тельно получаем:

( a i j ) = ( а гу)сим + ( а гу) ант>

главных осей рассечь эллипсоид плоскостями, то по­ лучим эллиптические сечения.

Пусть главные оси эллипсоида ориентированы про­ извольно относительно правой системы координат. Уравнение эллипсоида в этой системе координат име­ ет вид

В этом уравнении а'ц — постоянные коэффициенты, определенные в системе координат X'Y'Z'.

Введем еще одну систему координат XYZ, оси ко­ торой совпадают с главными осями эллипсоида. Эту систему называют главной системой координат. Мож­ но показать (это придется принять здесь на веру *), что при переходе от системы координат X'Y'Z' к главной XYZ коэффициенты уравнения преобразуют­ ся, как компоненты симметричного тензора второго ранга. И в главной системе координат уравнение эл­ липсоида принимает вид

Все это и дает право считать поверхность второго порядка (эллипсоид) в общем случае геометрическим образом симметричного тензора второго ранга.

Здесь уместно задать вопрос: значит ли это, что симметричпый тензор — это эллипсоид? Нет. Симмет­ ричный тензор — это математическая величина, ана­ литически описывающаяся матрицей из шести неза­ висимых коэффициентов или компонент тензора, а геометрически — поверхностью второго порядка, в данном случае эллипсоидом. Введение геометрическо­ го образа симметричного тензора второго ранга имеет фундаментальные значения для описания анизотро-

*Подробный вывод можно найти в любом учебнике анали­ тической геометрии.

7 -3 0 4

пии физических свойств кристаллов, так как радиусвектор, проведепный из центра эллипсоида в произ­ вольную точку его поверхности, связан с компонен­ той тензора:

Но об этом подробнее поговорим после. Сейчас же пас интересуют тензоры второго ранга сами по себе.

Из нашего экскурса в аналитическую геометрию поверхностей второго порядка следует, что любой симметричный тензор второго ранга можно привести к главной системе координат, при этом число его ком­ понент сократится с шести до трех:

Из уравнений (27) и (28) автоматически следует, что геометрическим образом симметричного тензора вто­ рого ранга будет эллипсоид вращения: два его глав­ ных сечения — эллипсы, а сечение, перпендикулярное оси Z, — круг (см. рис. 41, а).

Если же ciii = <г2 2 = «зз, то геометрическим образом тензора

ап О О

Оап О

О0 ап

является сфера (см. рис. 41, в). Свойство, которое описывает этот тензор, не зависит от направления и 178 характеризуется одпим числом. Это и есть тензор ну-

левого ранга — скаляр, о котором говорил А. В. Шуб­ ников (см. с. 170).

Теперь мы можем перечислить точечпые группы симметричных тензоров второго ранга, подразумевая под ними симметрию геометрических образов.

Эллипсоид общего вида — группа ттт, эллипсоид вращения — группа оо/тт, сфера — группа оооот.

Займемся теперь антисимметричным тензором вто­ рого ранга. Посмотрим, как с помощью формулы пре­ образования компонент тензора второго ранга [урав­ нение (2 0 )] преобразуются компоненты антисиммет­ ричного тензора.

Даны антисимметричный тензор

и формула преобразований компонент тензора второ­ го ранга

a i j — c m i c n j a m n •

Раскроем эту формулу преобразования:

7*