книги из ГПНТБ / Сонин, А. С. Беседы о кристаллофизике

уменьшен в одно и то же число раз при сохранении их направлений. Значит, один и тот же аксиаль­ ный вектор М может быть изображен с помощью двух полярных векторов многими способами.

ны: левую, или север­ ную,—с вращением против часовой стрелки и пра­

вую, или южную, — с вращением по часовой стрел­ ке. На рис. 32 аксиальный вектор обращен к на­ блюдателю своей северной стороной.

То обстоятельство, что один и тот же аксиаль­ ный вектор может изображаться различно, являет­ ся известным недостатком описанного способа изображения аксиальных векторов. Этот недоста­ ток становится особенно ощутимым тогда, когда аксиальный вектор задан только своим численным значением и расположением оси вращения в про­ странстве, а образующие вектора R и F остаются нам неизвестными, или еще хуже, когда мы имеем основание один из векторов R и F считать равным нулю, а другой — бесконечности. Целесообразно поэтому ввести другое изображение аксиальных векторов — изображение отрезком прямой с окру-

циональна численному значению аксиального век­ тора; положение отрезка в пространстве соответст­ вует положению оси аксиального вектора, а ха­ рактер вращения задается направлением круговой стрелки.

Заметим, что предлагаемый здесь способ изоб­ ражения аксиальных векторов не является обще­ принятым. Обычно аксиальпый вектор изобража­ ют, как и полярный вектор, прямолинейной стрел­ кой, считая ее начало южным полюсом, а ее конец — северным полюсом. В большинстве случа­ ев это не приводит пи к каким недоразумениям, однако в вопросах, так или иначе связанных с сим­ метрией, такое отождествление полярного и акси­ ального векторов явно недопустимо и может при­ водить к серьезным ошибкам.

Аксиальный вектор имеет определенные черты сходства и различия с полярным вектором.

Сходство полярного и аксиального векторов со­ стоит в следующем: 1) оба вектора изображаются отрезками прямой; 2) в обоих случаях мы можем отличить начало вектора, имеиуемое у полярного вектора отрицательным, а у аксиального векто­ ра — южным полюсом, от его конца — положитель­ ного и соответственно северного нолюса; 3) в обо­ их случаях применимо разложение вектора на ком­ поненты по правилу параллелограмма (параллеле­ пипеда) ; 4) преобразование компонент обоих век­ торов при переходе к повой системе координат про­ изводится по одним и тем же формулам (1) и (2), если дело идет только об абсолютных значениях компонент, а не об их знаках».

Отличие в знаках перед направляющими косину­ сами в формулах (1) и (2) есть главное отличие ак-

с23 С31 — с33 С21 —С12>

С21 с32 — С31 с22 = СХЗ-

Подставляя полученные выражения в уравне­ ние для компоненты аксиального вектора git полу­ чаем

Аналогичные выражения можно найти и для двух других компонент аксиального вектора:

правую или из левой в левую компоненты аксиаль­ ного вектора точно подчиняются формуле преобразо­ вания компонент полярного вектора (перед направ­ ляющими косинусами ставится знак «+»).

Что же произойдет, если преобразование будет осуществляться из правой в левую систему координат и наоборот? Проведем те же операции с компонен­ той аксиального вектора gi:

оси на любой угол а. Используя матрицу направляю­ щих косинусов па с. 127, получаем

а' = р\ q\ + р'2Ь + РзЬ = («Pi + sPs) («9i + *9г) +

Следовательно, скаляр имеет ось бесконечного по­ рядка. Но так как скаляр — величина ненаправлен­ ная, то с таким же основанием можно предположить, что ось сю расположена вдоль любого направления. Таким образом, мы показали, что скаляр имеет бес­ конечное число осей бесконечного порядка.

Предположим теперь, что через ось сю проходит бесконечное число плоскостей симметрии. Пусть одна из плоскостей симметрии совпадает с координатной плоскостью XZ. Матрица направляющих косинусов для этого случая приведена на с. 128.

Используя формулы преобразования компонент полярного вектора (1), получаем

так как сумма квадратов строк или столбцов матрицы направляющих косинусов равна единице, а суммы пар столбцов или строк равны нулю (см. с. 62).

Аналогично плоскость симметрии может распола­ гаться и перпендикулярно оси оо, коль скоро их бес­ конечное число. Таким образом, скаляр обладает то­ чечной симметрией предельной группы оооотп и его геометрический образ — сфера (см. рис. 15).

А какая симметрия будет у скалярного произведе­ ния полярного и аксиального векторов? Так как ак­ сиальный вектор — такой же вектор, как и полярный, то его скалярное произведение должно дать скаляр­ ную величину

~ Л

а = Р ■g = P g C O S (p g ).

Отличается ли скалярная величина а от скаляра, может показать лишь исследование ее изменения при

Таким образом, эта ненаправленная величина, ха­ рактеризующаяся числом, обладает странпым свойст­ вом, которое она унаследовала от одного из «пред­ ков» — аксиального вектора: при изменении системы координат из правой в левую и наоборот изменять свой знак. Поэтому, чтобы отличить ее от обычного скаляра, будем называть ее псевдоскаляр. Свойство преобразования может быть положепо теперь в осно­ ву определения псевдоскаляра.

Псевдоскаляром называют ненаправленную вели­ чину, которая в прямоугольной системе координат преобразуется в соответствии с уравнением

а '= ± а

При этом при переходе из правой (левой) в правую (левую) систему координат псевдоскаляр не изменя­ ет своего знака, а при переходе из правой (левой) в левую ( правую) систему координат изменяет свой знак.

Что за удивительная величина? Если обычный скаляр — это хорошо знакомые всем температура, всестороннее давление, объем, площадь и т. п., то что в физике описывает псевдоскаляр? Может быть, его симметрия поможет ответить на этот вопрос?

Теперь мы уже достаточно опытны, чтобы, не про­ водя подробно всех вычислений, сразу же сказать, что псевдоскаляр имеет бесконечное число осей оо. Ведь при повороте на любой угол системы координат не

140 происходит изменений ее правизпы (левизны), и по-