книги из ГПНТБ / Сонин, А. С. Беседы о кристаллофизике

преобразованиях системы координат? Понятно, что сам вектор при этом не изменяется.

Мы уже познакомились с описанием симметриче­ ских преобразований (операций симметрии) с по­ мощью матриц направляющих косинусов (см. с. 61) и можем пользоваться этим аппаратом.

Вначале необходимо исследовать, что произойдет с компонентами вектора, если правая система коор­ динат повернется па некоторый угол. Для простоты рассмотрим плоский случай (рис. 31). Надо пайтп, как связапы компоненты вектора в новой системе координат Y'Z' (отмеченные штрихами) со старыми компонентами. Рассмотрим вначале р'з. Для этого сделаем вспомогательные построения: опустим из точ­ ки D перпендикуляр па продолжение компоненты р'з, который пересечет ее в точке Е. Теперь из рис. 31 видно, что

р2 = ОБ + ВС г:, OB + DE.

Но С ОДНОЙ стороны, OB = p2 COSd= C22P2 . С другой сто­ роны, в A ADE Z-.ADE=fi. Тогда DE — BC — рзcos р=

— Сз2 Рз- Таким образом,

Рз — С2 2 Ра Т с32 Рз'

т. е. компонента вектора в повой системе координат является суммой проекций компонепт в старой сис­ теме координат. Аналогично

Рз ~~ с2з Рг Т' сзз Рз-

Переходя к трехмерному случаю, получаем, что компоненты вектора в новой системе координат, по^

где сц — направляющие косинусы, задающие положе­ ние новых осей координат относительно старых

(см. с. 61).

Более кратко эту систему можно записать одной строчкой:

Р/ = 2 cj^ Pi •

/=1

Зпак суммирования принято опускать. Указанием же на проведение суммирования служат дважды по­ вторяющиеся индексы в одном члене. По этому ин­ дексу и будет подразумеваться суммирование. В фор­ муле преобразования компонент вектора таким индексом является /, по нему и проводится суммиро­ вание. Таким образом, в краткой записи новые компо­ ненты вектора запишутся через старые в следующем виде:

Наоборот, старые компоненты вектора через но­ вые выразятся таким образом:

Легко проверить, что если новая система коорди­ нат является левой, то полученные нами формулы преобразования компонент вектора также справед­

ливы.

Теперь необходимо вернуться к началу, чтобы вспомнить определение вектора как направленной ве- 122 личины. Главным признаком такой величины счита­

ется ее полярность, т. е. неэквивалентность ее кондов. Это учитывается в изображении полярного вектора одноконечпой стрелкой. Однако сразу видно, что та­ кое определение не является строгим. Зато теперь можно дать строгое определение полярного вектора, пользуясь выведенным законом преобразования его компонент при изменении системы координат.

Будем называть полярным вектором величину, компоненты которой в прямоугольной системе коор­ динат преобразуются в соответствии с формулами (1) и (2). При этом подчеркнем, что при переходе отправой системы координат к правой или к левой и наобо­ рот перед направляющими косинусами в формулах

(1) и (2) ставятся знаки «+».

После строгого определения полярного вектора можно перейти к дальнейшему изучению его свойств. Вот тут-то и пастало время ввести понятие о симмет­ рии математических величин. Тогда автоматически определяется симметрия тех физических явлений, ко­ торые эти математические величины описывают. Те­ перь не надо отдельно рассматривать симметрию по­ ляризации, индукции, силы тяжести и т. п. Достаточ­ но решить вопрос о симметрии полярного вектора.

Этот важный шаг в кристаллофизике — введение понятия о симметрии математических величин — сде­ лал в конце 40-х — начале 50-х годов академик А. В. Шубников.

Алексей Васильевич Шубников родился в 1887 году в Москве в многодетной семье бухгалтера «Даниловской ману­ фактуры». Он рано столкнулся с нуждой: его мать, потеряв мужа, осталась с шестью детьми на руках. Однако эта энер­

естественных наук. Кстати, это же училище окончили братья Сергей Иванович и Николай Иванович Вавиловы, будущие академики. Уже в училище А. В. Шубников заинтересовался 123

естественными науками, особенно геометрией п физикой, зачитывался научно-популярными книгами.

В 1908 году, после окончания училища, А. В. Шубников поступил на физико-математический факультет Московского университета с желанием специализироваться по кристалло­ графии «...к которой,— как он пишет в своих автобиографи­ ческих заметках,— меня привлекло гармоническое сочетание

ков вынужден был служить в армии вольноопределяющимся. После начала первой мировой войны А. В. Шубников был призван в действующую армию прапорщиком. Он воевал в

ситете им. А. Л. Шанявского. Однако вскоре его пригласили на работу в Уральский горный институт для преподавания кристаллографии и он переезжает в Екатеринбург (Сверд­ ловск). В 1925 году, по приглашению академика А. Е. Ферс­ мана, А. В. Шубников переезжает в Ленинград и организу­ ет лабораторию кристаллографии (пазваппую Кварцевой ла­ бораторией) при Минералогическом музее Академии Наук. Из нее впоследствии, после переезда Академии Наук в Моск­ ву в 1934 году, образовались вначале Кристаллографический сектор Ломоносовского института, а затем и Институт крис­ таллографии.

Вся последующая жизнь А. В. Шубникова связана с этими учреждениями и с физическим факультетом Москов­ ского университета, где в 1953 году он создал кафедру физи­ ки кристаллов.

В 1933 году А. В. Шубникова избирают член-корреспон­ дентом АН СССР, а в 1953 году академиком. Он был также

членом кристаллографических и минералогических обществ многих стран мира.

Говорят, что человек — это стиль. Стиль работы акаде­ мика А. В. Шубникова пельзя не пазвать классическим. Точ­

ность, предельная ясность, глубипа, основательность, широ125

та подхода характерны не только для всех научных работ А. В. Шубникова, но и для его подхода к любому вопросу. Под стать классическому стилю его работ был и весь облик А. В. Шубникова: подтянутая фигура, правильные черты спо­ койного лица, неспешность в поведении, негромкая речь, точ­ ность и краткость в выражениях. До конца жизни он любил работать своими руками, сам ставил эксперименты, и поэто­ му лишь немногие из 350 его работ написаны в соавторстве

с учениками.

Умер академик А. В. Шубников в 1970 году на 84-м году жизни, 60 из которых он отдал кристаллографии и кристал­ лофизике.

Диапазон творчества академика А. В. Шубникова огро­ мен: теория и практика выращивания кристаллов, их обра­ ботка и изготовление промышленных изделий, выяснение большого числа проблем, относящихся к различным физи­ ческим свойствам кристаллов, открытие пьезоэлектрических текстур, теоретическая симметрия и, как высшее достиже­ ние, открытие антисимметрии, приложение симметрии к фи­ зике и современные формулировки основных законов кри­ сталлофизики, введение в кристаллофизику понятия о сим­ метрии математических величин.

А. В. Шубников считал, что только после строгого определения полярного вектора, можно перейти к во­ просу о его симметрии:

«Если бы полярный вектор был просто прямо­ линейной стрелкой без всяких приписываемых ей дополнительных свойств, так или иначе вытекаю­ щих из формул преобразования, то поставленный вопрос просто свелся бы к непосредственному рас­ смотрению свойств стрелки как некоторой матери­ альной фигуры. Так как поворот стрелки на любой угол вокруг нее самой не может изменить ни ее величины, ни ее направления, а для вектора суще­ ственными являются только его величина и направ­ ление, то мы могли бы утверждать, что полярный вектор обладает осью симметрии бесконечного по­ рядка, совпадающей по направлению с вектором. Аналогично мы убедились бы в наличии у полярпого вектора бесконечного множества продольных

Подставляя их в формулы преобразования (1), действительно убеждаемся в том, что каждая ком­ понента преобразуется в себя:

Итак, мы доказали, что ось Z, совпадающая по направлению с самим вектором, является осью бес­ конечного порядка вектора.

Докажем теперь, что продольная по отношению к вектору плоскость XZ есть плоскость симметрии вектора. В самом деле, если мы произведем отра­ жение в этой плоскости, т. е. применим для фор­ мул преобразования схему косинусов

то будем опять иметь

р\ = 0 ;

Р2 = 0;

Рз = Рз-

Как видим, в этом случае опять каждая компо­ нента вектора преобразуется в себя. Значит, плос­ кость XZ есть действительно плоскость симметрии вектора. При наличии оси оо эта плоскость долж­ на быть повторена бесконечное множество раз.

Легко убедиться, что наш вектор не имеет ни­ 128 каких других элементов симметрии, и в частности,

что он не имеет поперечной плоскости симметрии. Действительно, если мы произведем отражение в поперечной плоскости XY, применив в формулах преобразования схему косинусов

то получим

P i =

р 2’ = 0;

р'з= — Рз-

Как видим, третья компонента в результате опи­ санной операции изменяет свой знак, т. е. не пре­ образуется в себя.

Итак, окончательно, полярный вектор облада­ ет симметрией оот, как и простая прямолинейная стрелка. Название полярный, как видим, для него вполне оправдывается, так как он не содержит эле­ ментов симметрии с операциями, совмещающими начало вектора с его концом.

Мы взяли для рассмотрения вектор в том его частном положении, когда он был направлен по оси Z, но распространили наш вывод о симметрии на полярный вектор любой ориентации по отноше­ нию к системе координат, поскольку свойства век­ тора, как было отмечено выше, не должны зави­ сеть от выбора системы координат. Легко показать, что это ограничение не является обязательным. Возьмем вектор р в его общем положении, как он, например, изображен па рис. 35. Если теперь по­ вернем систему координат на любой угол вокруг

!

оси, совпадающей по направлению с вектором, то увидим непосредственно, что в результате этого поворота все компоненты вектора, отложенные по координатным осям, изменят свою ориентацию в пространстве, но никоим образом не изменят своих численных значений, а это ведь и означает по при­ нятому выше, что компопепты вектора, а следова­ тельно, и сам вектор, этими поворотами преобразу­ ются в себя, т. е. ось поворота есть ось симметрии бесконечного порядка. Аналогично можно пока­ зать, что и продольные плоскости являются для вектора плоскостями симметрии и что в целом по­ лярный вектор обладает симметрией оотп».

Кроме полярного вектора, в математике использу­ ют и другой так называемый аксиальный вектор. Он описывает, в частности, такие величины, как напря­ женность магнитного поля, момент сил или угловую скорость. Академик А. В. Шубников пишет:

«К определению аксиального вектора и установ­ лению общих его свойств проще всего подойти, ис­ следуя свойства момента силы — величины, кото­ рая может служить конкретным примером аксиаль­ ного вектора.

Пусть мы имеем вал радиуса R, способный вра­ щаться вокруг своей оси (рис. 32. — А. С.). К валу приложена сила F, нормальная к радиусу R и к об­ разующей вала. Сила F является полярным векто­ ром: радиус R также рассматривается как поляр­ ный вектор с началом в центре кругового сечения вала. Моментом силы F называется величина М, численно равная произведению длины R на дли­ ну F и ориентированная в пространстве соответ­ ственно расположению осп вала...

Из определения величины момента силы, далее, следует, что она не меняется, если один из обра­ 130 зующих векторов R и F будет увеличен, а другой