книги из ГПНТБ / Погорелов, А. В. Элементарная геометрия

точке С2. По свойству углов при параллельных ВС и В2С2

Если взять отрезок A Pi достаточно малым, то число т будет как угодно велико, а 21т будет как угодно мало. По-

80

А это может быть только в том случае, если они равны. Итак,

АВ АС АВ. АС,

укоторого А 2В 2= А 1В 1, /_ А 2—/_А , / В 2= / В . По теореме

12.1треугольники АВС и А 2В 2С2 подобны. Следовательно,

и А 2В 2С2. У них А 1В 1—А 2В 2п о построению, i4iCi=A 2C2 по доказанному, £ А г= /_ А 2 по равенству углов А и А, и подобию треугольников АВС и А 2В 2С2.

Так как треугольники АВС и А 2В 2С2 подобны, а тре­ угольники А 2В 2С2и AiBiCx равны, то треугольники АВС и

81

Следовательно,

Так как треугольник АВС подобен треугольнику А 2В 2С2,

12.4. У прямоугольного треугольника высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее геометрическое между проекциями катетов на гипотенузу. Каждый катет есть среднее геометрическое между гипоте­ нузой и проекцией катета на гипо­

тенузу.

так каждый из них дополняет угол АВС до 90°. По теореме 12.1 прямоугольные треугольники CAD и BCD подобны. Из подобия треугольников следует

C D __AD

B D ~ CD’

делит сторону ВС на отрезки, пропорциональные сторонам АВ и АС,т. е.

угольник (рис. 92). AD — биссектриса, проведенная к сто­ роне ВС. Опустим перпендикуляры BE и CF на прямую AD.

82

Треугольники BED и CFD подобны. У них углы Е и F прямые, а углы при вершине D равны, как вертикальные.

Треугольники ВАЕ и CAF тоже подобны. У них углы Е и F прямые, а углы при вершине А равны, потому что AD — биссектриса.

Из подобия треугольников BED и CFD следует про­ порция:

B E _BD

C F ~ CD'

Из подобия треугольников ВАЕ и CAF следует пропорция

ВЕ__ АВ

C F ~ АС'

Сравнивая полученные пропорции, получим

BD _ А В

C D ~ А С

Теорема доказана.

Отсюда следует, что обе точки А и С принадлежат одной из дуг, на которые прямая BD разбивает окружность. А это значит, что вписанные углы DCB и DAB равны. Таким же способом заключаем о равенстве углов АВС и ADC. Те­ перь по теореме 12.1 треугольники ASD и CSB подобны. Из подобия этих треугольников следует пропорция

PS _ AS

BS ~ CS ’

83

т. е.

определенности точка В лежит между А и S, как изобра­

жено на рисунке.

Треугольники SAC и SCB подобны. У них угол S об­ щий, а углы САВ и BCS равны, так как измеряются поло­ виной одного и того же центрального угла. Из подобия треугольников следует пропорция

cs _SB

a s ~ sc •

стоянии, большем R, от центра окружности. Следовательно,

84

такая точка не может принадлежать окружности, т. е. прямая и окружность не пересекаются.

Если h—R, то основание перпендикуляра/ опущенного из центра окружности на прямую, лежит на окружности. В этой точке прямая касается окружности по определению касательной.

Рассмотрим случай h<.R (рис. 95). Проведем прямую ОА, перпендикулярную прямой а. Отложим от точки А на прямой а отрезки /Ш , и AD2, равные У R 2—/г2. Тогда OD1=ODa. Проведем окружность из центра О радиусом OD1=O D 2. Эта окружность пересекает прямую а в точках

D , и D п.

Вычислим радиус построенной окружности. Обозначим его через х. По теореме 12.6 AB-AC—A D f A D i —R2— /Р. Так как OA=h, то А В = х — /г, AC=x+h. Поэтому

(х— h) (x + h) = x2—h2 = R 2-—h2,

т. е.

x= R.

Таким образом, построенная окружность совпадает с дан­ ной, и, следовательно, данная окружность пересекает прямую а в двух точках, £>i и D2.

Прямая а не может иметь других точек пересечения с окружностью, кроме Dx и D 2. Действительно, если бы та­ кая точка была, обозначим ее Р и то симметричная ей точка Р« относительно диаметра ВС тоже была бы на окружности.

По теореме 12.6 A P 1-APZ= A D 1-AD2. Так как ADX=AD^,

А Р г= А Р г, то A P i—ADi. А это значит, что точка P t сов­

полупрямой р отложим отрезки ОА=а и ОВ=Ь. На полупрямой q отложим отрезок ОС—с. Соединим точки А а С прямой и проведем прямую, параллельную АС, через точку В. Она пересекает полупрямую q в некоторой точке D.

85

Из подобия треугольников ОАС и OBD следует, что

OD __ОВ

ОС ~ ОА *

Отсюда

З а д а ч а . Даяъг два отрезка а и Ь. Построить отрезок

x = Vab.

Р е ш е н и е . На произвольной прямой р отметим точку С, отложим от этой точки в разные стороны на прямой р отрезки СА=а и СВ=Ь (рис. 97).

Построим на отрезке АВ, как на диаметре, окружность. Перпенди­ куляр к АВ, проходящий через точку С, пересекает окружность в двух точках: D, и D 2. Отрезок

сывает фигуру F, соответствующая ей точка Х гописывает не­ которую фигуру Fx. Фигуры F и Е, называются подобными.

Пусть О — произвольная точка плоскости. Поставим в соответствие каждой точке X плоскости точку Х 1 по сле­ дующему правилу. Если точка X совпадает с О, то X, есть точка О. Если X отлична от О, то Xi лежит на полу­ прямой ОХ на расстоянии k-ОХ от точки О, т. е. OXx=k-OX. Отображение плоскости на себя, при котором точке X со­

вольные точки плоскости, не лежащие на одной прямой с точкой О (рис. 98). Треугольники OXY и OXiFi подобны,

86

точки О, X и Y лежат на одной прямой. Доказать это предостав­ ляется читателю. Теорема дока­ зана.

Точно так же, как и для движе­ ния в § 10, устанавливаются сле­ дующие свойства преобразования подобия.

1. Преобразование подобия пе­ реводит прямые в прямые, •полупрямые в полупрямые, от­ резки в отрезки.

2. Преобразование подобия сохраняет углы между по­ лупрямыми.

Вопросы для повторения

1.Какие треугольники называются подобными?

2.В чем состоит основной признак подобия треугольников? Докажите этот признак подобия.

то треугольники подобны.

4.Докажите, что если стороны одного треугольника пропорцио­ нальны сторонам другого, то треугольники подобны.

5.Сформулируйте и докажите теорему о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.

6.Докажите теорему о делении стороны треугольника основанием

биссектрисы на отрезки, пропорциональные другим сторонам.

7.Сформулируйте и докажите теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд.

8.Докажите, что произведение отрезков секущей равно квадрату

касательной.

9. Дана окружность с центром О, радиусом R и точка S, отстоящая от центра О на расстояние, меньшее R. Доказать, что любая прямая,

проходящая через точку S, пересекает данную окружность в двух точках. 10. Что такое преобразование подобия? Какие фигуры называются подобными. Докажите, что фигура, подобная окружности, есть окруж­

ность.

11. Что такое гомотетия? Что такое центр гомотетии, коэффнцнеот гомотетии?

.12. Докажите, что гомотетия есть преобразование подобия.

87

Уп раж нения

13.Чему равны углы треугольника АВС, если он подобен треуголь­ нику ВСА?

14..Докажите, что если у двух равнобедренных треугольников углы при вершине равны, то треугольники подобны.

15.Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 36°. Докажите, что биссектриса треугольника, проведенная из вершины при основании, отсекает треугольник, подобный данному.

16.Основание биссектрисы, проведенной из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, делит гипотенузу в отношении т : п. Докажите, что основание высоты, проведенной из того же угла, делит гипотенузу в отношении т2: я2.

17.Биссектриса внешнего угла при вершине С треугольника АВС

пересекает прямую <45 в точке D. Доказать, что

А Р __АС

BD ВС'

18. Доказать, что геометрическое место точек С, отношение расстоя­ ний которых от двух данных точек <4 и В постоянно п не равно единице, есть окружность. ( У к а з а н и е . Биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине С треугольника АВС перпендикулярны. Они пере­ секают прямую <45 в одних и тех же точках, как бы ни брать точку С.)

19. Построить отрезок

abc

где а, Ь, с, d, е —Жданные отрезки.

20.Построить отрезок У"а2—Ь‘, гдеаи& — данные отрезки, причем

а>Ь.

21.Докажите геометрически неравенство

22.Диагонали выпуклого четырехугольника точкой пересечения делятся на отрезки, произведения которых одинаковы. Доказать, что

около четырехугольника можно описать окружность.

23.Найти геометрическое место точек, отношение расстояний ко­ торых от двух данных пересекающихся прямых постоянно.

24.Построить треугольник с данным периметром, подобный дан­ ному треугольнику.

25< Даны отрезки

я= ф , Ь=\ПГу.

Построить отрезки х и у, если а>Ь.

26. Вписать в треугольник <4бС квадрат так, чтобы одна сторона квадрата была на стороне <45 треугольника, а другие вершины квадрата были на сторонах <4С и ВС.

27. Построить окружность, проходящую через данную точку и касающуюся двух данных пересекающихся прямых.

88

§ 13. ТЕО РЕМ А П И Ф А ГО РА И ЕЕ П РИ М Е Н Е Н И Я

Теорема Пифагора. Т е о р е м а 13.1. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть АВС — данный пря­ моугольный треугольник с прямым углом С (рис. 99). Проведем высоту CD из вершины С.

Прежде всего докажем, что основа­ ние высоты D лежит между точка­ ми А и В.

Действительно, допустим, точка В лежит между А и D. Тогда углы АВС и DBC смежные и оба острые. А это невозможно. Таким же спо­ собом заключаем, что и точка А не

может лежать между В и D. Следовательно, точка D лежит между А и В.

Теперь по теореме 12.4 имеем

AC2 = AD-AB, BC2 = B D ‘ АВ.

Складывая эти равенства почленно, получим

АС2+ ВС2= АВ (AD + DB).

Так как точка D лежит между Л и А, то AD +DB=AB. Поэтому

АС2 А- ВС2 — АВ2.

Теорема доказана.

Теорема 13.1 называется по имени знаменитого грече­ ского математика Пифагора, жившего в- VI веке до н. э.

Соотношения в косоугольном треу­ гольнике. Непрямоугольный треугольник называется косоугольным.

Т е о р е м а 13.2. В любом косо­ угольном треугольнике квадрат стороны,

. лежащей против тупого угла, равен

из вершины А. Докажем сначала, что точка С лежит между

89