книги из ГПНТБ / Погорелов, А. В. Элементарная геометрия

Остается второй вариант. В этом варианте соответству­ ющими при симметрии относительно прямой s являются прямые Й! и ft2, bi и а 2. При этом углы (й1 й2) и (&i&2) явля­ ются соответствующими по симметрии, а следовательно, равны. Теорема доказана.

Из этой теоремы следует, что два зеркальных отражения,

выполненные последовательно относительно двух пересе­ кающих прямых, дают поворот.

Действительно, движение, которое получается в ре­ зультате зеркальных отражений относительно двух пере­ секающихся прямых, оставляет неподвижной только одну точку — точку пересечения прямых. А по теореме 10.5 такое движение есть поворот.

Вопросы для повторения

1. Объясните, что такое движение? Какие фигуры называются равными?

2.Докажите теорему 10.1: если при движении три точки А, В, С, лежащие на прямой, переходят в точки Av Ви Clt то эти точки также лежат на прямой. Если точка В лежит между А и С, то точка В, лежит между А1 и С].

3.Докажите, что при движении прямые переходят в прямые, прямые пересекающиеся в прямые пересекающиеся, прямые параллель­ ные в прямые параллельные.

4.Объясните, что такое симметрия относительно прямой?

5.Докажите, что симметрия относительно прямой есть движение. в. Докажите, что пунктирные линии фигур, изображенных на

рис. 70, являются осями симметрии этих фигур.

7.Объясните, что такое преобразование симметрии относительно

точки?

8.Докажите, что преобразование симметрии относительно точки есть движение.

9.Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелограмма есть центр симметрии.

10.Что такое вращение?

11.Что такое параллельный перенос?

Упражнения

12.Доказать, что если при движении две точки А и В неподвижны, то все точки прямой АВ неподвижны.

13.Доказать, что если три точки, не лежащие на одной прямой, неподвижны, то все точки неподвижны.

14.Доказать, что для совмещения любых двух равных отрезков достаточно не более чем двух зеркальных отражений.

15.Докажите, что для совмещения любых двух равных треуголь­ ников достаточно не более чем трех зеркальных отражений.

16. Докажите, что для получения любого движения достаточно не более чем трех зеркальных отражений.

.70

17.Докажите, что если а и b — оси симметрии фигуры, то прямая,

симметричная а относительно прямой Ь,.тоже является осью симметрии фигуры.

18.Докажите, что если треугольник имеет ось симметрии, то он равнобедренный.

19.Докажите, что у треугольника не может быть центра симметрии.

20.Докажите, что если А и В — центры симметрии фигуры, то точка Л(, симметричная А относительно В, тоже является центром симметрии. Поэтому у фигуры бесконечно много центров симметрии.

21.Докажите, что два зеркальных отражения, выполненные по­ следовательно относительно двух параллельных прямых, дают парал­ лельный переное.

22.Докажите, что два последовательных преобразования симмет­ рии, выполненные относительно точек А и В, дают параллельный перенос.

23.Дана прямая и две точки А и В, не лежащие на прямой. Найти на прямой точку С, сумма расстояний которой от точек А и В была бы наименьшей. Рассмотреть два случая: 1) точки А и В лежат в разных полуплоскостях относительно данной прямой, 2) точки А и В лежат в од­

ной полуплоскости относительно данной прямой.

§ 11. ОКРУЖНОСТЬ

Простейшие свойства окружности. Окружностью назы­ вается геометрическое место точек плоскости, равноуда­ ленных от некоторой данной точки. Эта точка называется центром окружности, а расстояние от центра до точек ок­ ружности называется радиусом окружности. Радиусом на­

окружности. Итак, при симметрии относительно диаметра

71

окружность переходит в себя, т. е. диаметр является осью симметрии окружности.

Построим теперь точку Х 2, симметричную точке X, относительно центра О окружности (см. рис. 76). По опре­

ОС — общая, а А С -С В , потому что С — середина отрезка АВ. Из равенства этих треугольников следует, что их углы

но провести только одну прямую, перпендикулярную пря­

72

точка В отстоит от центра окружности на расстоянии, боль­ шем радиуса. Следовательно, точка В не принадлежит ок­ ружности. Теорема доказана.

Центральные углы.Пусть А и В — две точки окружности (рис. 79). Проведем через них прямую. Она разбивает пло­ скость на две полуплоскости. Части окружности, лежащие в этих полуплоскостях, мы будем называть дугами -окруж­ ности. Если АВ —диаметр, то дуги окружности называются

полуокружностями.

Если хорда АВ не является диаметром, то мы различаем дуги окружности следующим образом. Одна из полупло­

дуги, большей полуокружности, не пересекают хорду АВ. Центральным углом, отвечающим данной дуге окруж­ ности, мы будем называть фигуру, которая состоит из лу­ чей, исходящих из центра окружности и пересекающих эту дугу. На рис. 79 показаны лучи центрального угла, большего полу­

окружности.

Для центральных углов опреде­ ляем градусную меру по следующе­ му правилу. Если соответствующая

дуга ЛВ меньше полуокружности, то за меру центрального угла при­ нимаем обычную меру угла, образо­ ванного полупрямыми ОА и ОБ.

Если дуга равна полуокружности, т. е. АВ диаметр, то угловую меру полагаем равной 180°. Наконец, если дуга больше полуокружности, за угловую меру принимаем 360°— а°, где а°— градусная мера дополнительного угла (меньшего полуокружности).

Вписанные углы Угол, вершина которого А лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках В и С, отличных от А, называется вписанным в окружность (рис. 80). Прямая ВС разбивает окружность на две дуги.

73

Центральный угол, соответствующий той их этих дуг, ко­ торая не содержит точку А, называется центральным углом, соответствующим данному вписанному углу. На рис. 80 центральный угол, соответствующий вписанному углу,

АОВ равнобедренный с боковыми сторонами ОА и ОВ. Его углы А и В равны. Внешний угол треугольника при вершине О равен сумме углов А к В. Отсюда следует, что угол ВАС равен половине соответствующего центрального угла.

Рис. 82.

* Пусть теперь ни одна из сторон вписанного угла не яв­ ляется диаметром. Проведем диаметр из вершины А впи­ санного угла. Будем различать два случая: 1) стороны угла А

соответствующий углу А, меньше полуокружности (рис. 82,

слева), то отсюда заключаем, что £ В А С = ~ / В О С . Сле­

довательно, угол ВАС равен половине соответствующего центрального угла.

74

Если центральный угол, соответствующий вписанному

равен половине соответствующего центрального угла. Второй случай, когда диаметр AD не разделяет стороны

угла А, рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Из теоремы 11.5 следует, что вписанные углы, стороны которых проходят через точки А и В окруокности, а вер­ шины лежат на одной из дуг, определяемых прямой АВ, равны (рис. 83). В частности, углы, опирающиеся на диа­ метр, прямые.

Пусть АВ — хорда окружности (рис. 84). Проведем касательную к окружности в точке А. Точка А разбивает касательную на две полупрямые, полукасательные. Угол между полукасательной и хордой и центральный угол,

отвечающий той из дуг АВ, которая лежит в одной полупло­ скости с полукасательной относительно прямой АВ, на­ зываются соответствующими.

Те о р е м а 11.6. Угол между хордой и полукасательной

вее концевой точке измеряется половиной соответствующего центрального угла.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Возьмем сначала угол между полукасательной и хордой, соответствующий-меньшему цен­ тральному углу (рис. 84). В этом случае угол между полу­

касательной и хордой равен 90°—/ О А В , но угол ОАВ

равен у (180° — / А О В ) . Поэтому интересующий нас угол

равен у /_ АОВ, т. е. половине соответствующего централь­ ного угла. Угол между другой полукасательной и хордой

75

будет смежным и поэтому равен 180° —\ Z- АОВ. А это как

раз половина дополнительного центрального угла. Теорема доказана.

Вписанная и описанная окружности. Мы будем говорить, что точка X лежит внутри треугольника АВС (рис. 85), если она лежит по одну сторону с точкой А относительно прямой ВС, по одну сторону с точкой В относи­ тельно прямой АС и по одну сторону с точкой С относительно прямой АВ.

Окружность с центром внутри треу­ гольника, касающуюся его сторон, будем называть вписанной в треуголь­ ник.

Докажем, что центр окружности, вписанной в треуголь­ ник, лежит на пересечении его биссектрис (рис. 8 6 ).

Пусть О — центр вписанной окружности. Так как точ- 'ка О лежит внутри треугольника, то полупрямая АО лежит в одной полуплоскости с полупрямой АВ относительно пря­ мой АС и в одной полуплос­ кости с полупрямой АС от­ носительно прямой АВ. Сле­ довательно, полупрямая АО проходит между полупрямы­ ми А В и АС.

Пусть Сц и В г— точки ка­ сания сторон треугольника АС и АВ с окружностью. Прямоугольные треугольники

АОС, и АОВ, равны. У них гипотенуза АО общая, а катеты OCi и ОВг равны как радиусы. Отсюда следует равенство уг­ лов ОАС] и ОАВу. А это значит, что центр окружности лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины А. Аналогично доказываем, что центр окружности лежит на двух других биссектрисах треугольника.

Докажем теперь, что в любой треугольник можно вписать окружность.

Проведем две биссектрисы треугольника (рис. 87). Они пересекаются в некоторой точке О. (То, что биссектри­ сы пересекаются, доказывается дословно так же, как то, что пересекаются медианы.) Опустим из точки О перпен­ дикуляры OAlt 05] и ОС] на прямые АВ, АС, и ВС. Пря­ моугольные треугольники А 0 В х и А0СЛ равны. У них

76

гипотенуза АО общая, а углы OABt и OACt равны, потому что АО — биссектриса. Следовательно, OBx—OCi. Анало­ гично доказывается, что ОС^—ОАг.

Окружность с центром О и радиусом ОА 1 касается сторон треугольника в точках Aj, £х и Си т. е. явля­ ется вписанной окружностью.

Окружностью, описанной около треугольника, называется окруж­ ность, которая проходит через каждую из вершин треугольника.

Докажем, что около любого тре­ угольника можно описать окруж­ ность.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть АВС—данный треуголь­ ник. (рис. 8 8 ) Проведем через середины сторон АВ и АС треу­

Из равенства прямоугольных треугольников AOBt и СОВг сле­ Рис. 88. дует, что ОА=ОС. Из равенства прямоугольных треугольников

АОСх и ВОСх следует, что ОА=ОВ. Поэтому окружность с центром в точке О и радиусом ОА проходит через все три вершины треугольника АВС и, следовательно, является описанной окружностью.

З а д а ч а . Построить каса­ тельные к данной окружности с центром О, проходящие через дан­ ную точку А, лежащую вне круга.

Р е ш е н и е (рис. 89). Строим окружность на отрезке ОА, как на диаметре. Пусть В и С — точ­

ки пересечения этой окружности с данной. Прямые АВ и АС являются касательными данной окружности, так как углы ОВА и ОСА прямые (теорема 11.5).

77

Вопросы для повторения

1. Что такое окружность, центр окружности, радиус, хорда, диаметр?

2.Докажите, что диаметр является осью симметрии окружности,

ацентр является центром симметрии.

3.Докажите, что диаметр, перпендикулярный хорде, делит хорду пополам.

4.Докажите, что всякая хорда не больше диаметра и равна

диаметру только тогда, когда сама является диаметром.

5.Объясните, что такое дуга окружности? Какая дуга называется дугой, меньшей полуокружности? Какая дуга называется дугой, боль­ шей полуокружности?

6.Что такое центральный угол, отвечающий данной дуге окруж­

ности?

7. Как определяется градусная мера центрального угла?

8.Что такое угол, вписанный в окружность? Какой центральный угол называется соответствующим данному вписанному углу?

9.Докажите теорему: угол, вписанный в окружность, равен по­ ловине соответствующего центрального угла.

10.Докажите, что угол между хордой и полукасательной в ее кон­ цевой точке измеряется половиной соответствующего центрального угла.

11.Объясните, что значит: точка лежит внутри треугольника? Какая окружность называется вписанной в треугольник?

12.Докажите, что в любой треугольник можно вписать окруж­ ность. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис.

13.Какая окружность называется описанной около треугольника? Докажите, что около любого треугольника можно описать окружность

ипритом только одну.

Упражнения

14.Докажите, что если прямая имеет с окружностью общую точку и не касается окружности в этой точке, то она имеет еще одну об­ щую точку с окружностью.

15.Докажите, что прямая не может пересекать окружность в трех

точках.

16.Провести окружность данного радиуса, касающуюся сторон данного угла.

17.Найти окружность данного радиуса, касающуюся двух данных окружностей. Какое наибольшее число решений может иметь задача?

18.Найти геометрическое место оснований перпендикуляров, опу­ щенных из данной точки А на прямые, проходящие через данную точку В.

19.Найти геометрическое место вершин треугольников с данным основанием АВ и заданным углом при вершине С.

20.Построить треугольник АВС по стороне АВ, углу С и высоте

коснованию АВ.

21.Найти геометрическое место середин хорд, проходящих через данную точку.

22.АВС — треугольник. Построить окружности, касающиеся трех прямых АВ, АС и ВС. Сколько существует таких окружностей?

23.Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена произвольная прямая, пересекающая окружности в точках X

иY. Доказать, что угол XAY не зависит от взятой прямой.

,78

ружности, если его стороны касаются окружности. Докажите, что у опи­ санного четырехугольника суммы противолежащих сторон одинаковы.

§ 12. ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Основной признак подобия треугольников. Треугольни­ ки АВС и AiBiCi называются подобными, если у них

Короче говоря, треугольники подобны, если у них соот­ ветствующие углы равны, а соответствующие стороны про­ порциональны. Подобие треугольников обозначается знач­ ком ~ . В данном случае ДАВС ~ АА^ВтС^.

угольника равна двум прямым, то из равенства углов А и А г, В и Вг следует равенство углов С и Ci. Докажем пропор­ циональность сторон треугольников АВС и ЛАС*.

Отложим на полупрямой АВ отрезок ЛБ2, равный Л А (рис. 90, слева). Для определенности будем считать, что

79