книги из ГПНТБ / Погорелов, А. В. Элементарная геометрия

Вопросы для повторения

1.Объясните, как построить треугольник по трем сторонам? Когда задача не имеет решения, т. е. треугольника с данными сторонами не существует?

2.Объясните, как отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу?

3.Объясните, как разделить данный угол пополам?

4.Объясните, как разделить отрезок пополам?

5. Объясните, как построить перпендикуляр из данной точки

кданной прямой?

6.Что такое геометрическое место точек?

7.Что представляет собой геометрическое место точек, равноуда­ ленных от двух данных?

8.В чем состоит метод геометрических мест решения задач на построение? Привести примеры задач на построение, решаемых методом геометрических мест.

Упражнения

9.Построить отрезок, равный сумме (разности) двух данных отрезков.

10.Построить угол, равный разности двух данных углов.

11.Построить отрезок, равный 1/i данного отрезка.

12.Построить угол, равный V4 данного угла.

13.Построить треугольник ЛВС по следующим условиям:

1)дан угол А и стороны АВ и АС;

2)дан угол А и стороны АВ и ВС;

3)даны углы Л и В и сторона АВ.

14.Построить треугольник по сторонам АВ, ВС и медиане, прове­ денной к одной из сторон АВ или АС.

15.Построить треугольник по сторонам АВ, ВС и высоте, прове­ денной из вершины А.

16.Построить точку, которая была бы одинаково удалена от точек

Ли В и находилась бы на данном расстоянии от точки С.

17. Докажите, что геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, состоит из биссектрис углов, которые получаются в пересечении этих прямых.

18. Дан треугольник ЛВС. Построить все точки, равноудаленные

Если прямая с параллельна прямым а и Ъ, то прямые а и b параллельны.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим, чтопрямые а и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точ­ ке С. Таким образом, через точку С проходят две прямые, параллельные прямой с. Но это невозможно по аксиоме VI. Согласно этой аксиоме через точку, не лежащую на данной

50

прямой, можно провести к этой прямой не более одной па­ раллельной. Теорема доказана.

Из теоремы 8 .1 следует, что если некоторая прямая пере­ секает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Пусть АВ и CD — две прямые. Пусть АС — третья прямая, пересекающая прямые АВ и CD (рис. 50). Прямая

АС по отношению к АВ и CD называется секущей. Углы, ко­ торые получаются в пересечении прямых АВ и CD с секу­

Секущая АС образует с прямыми АВ и CD две пары внутренних односторонних и две пары внутренних накрестлежащих углов. Из свойства смежных углов следует, что если внутренние накрестлежащие углы одной пары рав­ ны, то внутренние накрестлежащие углы другой пары тоже равны, а сумма внутренних односторонних углов каждой пары равна 180°. Обратно, если сумма внутренних одно­ сторонних углов одной пары равна 180°, то сумма внутрен­ них односторонних углов другой пары также равна 180°,

авнутренние накрестлежащие углы каждой пары равны.

Те о р е м а 8.2. Пусть а и b — две прямые и с — их секущая. Тогда если прямые а и b параллельны, то внутрен­ ние накрестлежащие углы равны, а сумма внутренних одно­ сторонних углов равна 180°. Обратно, если внутренние на­ крестлежащие углы равны или сумма внутренних односто­ ронних углов равна 180°, то прямые а и Ь параллельны.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Начнем со второго утвержде­ ния теоремы. Допустим, что прямые а и b не параллельны,

61

следовательно, пересекаются в некоторой точке С (рис. 51). Рассмотрим треугольник АВС. Согласно теореме 5.1 сумма углов А и В этого треугольника

по доказанному, прямая а, будет параллельна Ь. Но через точку А проходит только одна прямая параллельная Ь. Следовательно, прямая а совпадает

с flj. Итак, сумма внутренних од­ носторонних углов секущей с с па­ раллельными а и b равна 180°, а значит, накрестлежащие углы рав­ ны. Теорема доказана полностью.

Из теоремы 8.2 следует, что две прямые, перпендикулярные треть­ ей, параллельны. Если прямая перпендикулярна одной из парал­

АСО.

Для прямых АС и BD и секущей ВС углы DBO и АСО являются внутренними накрестлежащими. Действительно, точки А и D лежат в разных полуплоскостях относительно

52

прямой ВС, так как отрезок AD пересекает прямую ВС (в точке О). Из равенства внутренних накрестлежащих углов DBO и АСО по теореме 8.2 следует, что прямые АС и BD параллельны.

Для прямых АС и BD и секущей АВ углы DBA и САВ являются внутренними односторонними. Действительно, точки С и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой АВ, именно в той полуплоскости, где лежит точка О. Так как прямые АС и BD параллельны, то сумма внутрен­ них односторонних углов САВ и DBA равна 180°.

Угол DBA равен сумме углов DBC и АВС, так как луч ВС пересекает отрезок AD с концами на сторонах угла ABD. По доказанному, угол DBC равен углу АСВ. Следовательно,

два другие угла острые. Из теоремы 8.3 следует, что в пря­ моугольном треугольнике острые углы дополняют друг дру­

угольник. По теореме 8.3 /_АА~/_В-'с^/С=180°. Отсюда

и АуВу перпендикулярны прямой Ь, следовательно, пер­ пендикулярны и параллельной прямой а.

Углы ВАгА и АуВВу являются либо внутренними одно­ сторонними либо внутренними накрестлежащими относи­ тельно секущей Ау_В. Так как они оба острые, то их сумма меньше 180°. Поэтому они не могут быть внутренними

53

односторонними при параллельных. Следовательно, углы

У них гипотенуза А^В общая, а острые углы А А ХВ и A xBBx равны по доказанному. Из равенства треугольников заклю­

Пусть В — произвольная точка геометрического места. Проведем через точку В прямую, перпендикулярную прямой а. -Она пересекает прямую а в некоторой точке С, а прямую Gj в некоторой точке Сх. Так как точки Сх и В не разде­ ляются точкой С, то из равенства С^С—ВС следует, что точки В и С совпадают, т. е. точка В лежит на прямой аг.

Итак, геометрическое место точек плоскости, располо­ женных по одну сторону от данной прямой а и равноудален­ ных от этой прямой, есть прямая, параллельная а.

З а д а ч а 8.7. Провести через точку В прямую, парал­ лельную прямой а.

Р е ш е н и е . Проводим через точку В прямую b пер­ пендикулярно прямой а (задача 7.5). Проводим через точку В прямую с, перпендикулярную Ь. Прямая с параллельна а.

Вопросы для повторения «

.1. Какие прямые называются параллельными?

2.Сформулируйте аксиому параллельных.

3.Докажите теорему 8.1: если прямая а параллельна прямым Ьи с, то прямые б и с параллельны.

4.Докажите, что если некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

5.Объясните, какие углы называются внутренними односторон­ ними? Какие углы называются внутренними накрестлежащимн?

6.-Пусть АВС — треугольник, В1— точка на его стороне АВ, а

54

! Cj— точка на стороне АС. Назовите внутренние односторонние и вну-

;9. Вопросы к доказательству теоремы 8.3 о сумме углов треуголь­

2)Объясните, почему углы ABD и ВАС являются внутренними

годносторонними для прямых АС, BD и секущей АВ?

3)Объясните, почему угол ABD равен сумме углов АВС и DBC?

10.Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, нё смежных с ним.

11.Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника?

12.Чему равны углы равностороннего треугольника?

13.Докажите, что параллельные прямые равноотстоящие.

Упражнения

14.Пусть а и 6 — две параллельные прямые. Докажите, что пря­ мая b лежит в одной полуплоскости относительно прямой а.

15.Что больше, основание или боковая сторона равнобедренного

треугольника, если угол при вершине равен 57°?

16.Чему равны углы треугольника, если они относятся как 1 : 2 : 3 .

17.Чему равны углы равнобедренного прямоугольного треуголь­

ника?

18.Докажите, что в прямоугольном треугольнике о острым углом 30° катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.

19.Дан треугольник АВС. Как провести через вершину А прямую, не пересекающую сторону ВС, чтобы вершины В и С находились на оди­ наковом расстоянии от этой прямой.

20. Пусть АВС — равнобедренный треугольник с основанием АВ и боковыми сторонами АС и ВС. Доказать, что сумма расстояний произ­ вольной точки X, взятой на основании АВ от прямых АС и ВС, по­ стоянна.

§ 9. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

Выпуклые четырехугольники. Четырехугольником ABCD называется фигура, которая состоит из четырех точек А, В, С, D, по три не лежащих на одной прямой, и четырех отрезков АВ, ВС, CD и AD, соединяющих эти точки (рис. 56). Точки А, В, С, D называются вершинами че­ тырехугольника, а отрезки АВ, ВС, CD, DA называются его сторонами. Вершины А и С, В и D называются

55

противолежащими вершинами. Стороны АВ и CD, ВС и

AD называются противолежащими сторонами. Четырехугольник называется выпуклым, если он рас­

положен в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону (рис. 57). Отрезки, соеди­

рехугольник выпуклый. Полупрямые АС и АВ лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD.

По теореме 2.2 либо луч АС проходит между сторонами угла BAD либо луч АВ проходит между сторонами угла CAD. Но луч АВ не может проходить между сторонами угла CAD, так как точки С и D лежат в одной полуплоскости от­ носительной прямой АВ. Следова­ тельно, луч АС проходит между

сторонами угла BAD, а значит,

отрезок BD пересекается с прямой АС (по теореме 2.3). Итак, диа­ гональ BD пересекается с прямой АС. Таким же способом, рассматри­ вая углы АВС и ABD, доказываем, что диагональ АС пересекает пря­ мую BD.

Так как диагональ BD пересе­ кается с прямой ЛС, то прямые БД

иАС пересекаются. Но прямые АС

иBD могут иметь только одну точку пересечения. На прямой АС она является точкой диагонали АС, а на пря­

пуклый четырехугольник (рис. 57). Полупрямая DB про­ ходит между полупрямыми DA и DC, так как пересекает

56

отрезок АС. Поэтому угол D четырехугольника равен сумме углов ADB и CDB. Точно так же доказываем, что угол В четырехугольника равен сумме углов ABD и CBD. Отсюда следует, что сумма углов четырехугольника равна сумме углов двух треугольников BAD и BCD, т. е. 360°. Теорема доказана.

точки В и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD. В той же полуплоскости лежат отрезки ВС, АВ и DC. Итак, параллелограмм лежит в одной полуплоско­ сти относительно прямой, содержащей его сторону AD-. Взяв любую другую сторону параллелограмма, приходим к такому же выводу. А это значит, что параллелограмм яв-

для параллельных прямых AD я ВС и секущей АС, так как точки В и D лежат в разных полуплоскостях относи­ тельно прямой АС (отрезок BD пересекается с прямой АС). Следовательно, углы ВСА и DAC равны. Таким же спосо­ бом заключаем, что углы ВАС и DCА тоже равны.

Теперь треугольники АСВ и CAD равны. У них сторона АС общая, а по доказанному /B C A —/_DAC, /_ВАС= —j/D C A . Из равенства треугольников следует, что ВС= —AD, /_ABC—^C D A . Таким же способом доказывается, что A B —CD и /_BAD —/_DCB. Теорема доказана.

57

Т е о р е м а 9.4. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть ABCD — данный парал­ лелограмм и О — точка пересечения его диагоналей (рис. 59). Треугольники AOD*и СОВ равны. У них стороны ВС и AD равны, как противолежащие стороны парал­ лелограмма. Углы ОВС и ODA равны, как внутренние накрестлежащие при параллельных ВС и AD и секущей BD.

Углы OCBaOAD равны, как внут-

рехугольник есть параллелограмм.

Если у выпуклого четырехугольника противолежащие стороны равны, то он есть параллелограмм.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть ABCD — данный вы­ пуклый четырехугольник, у которого стороны AD и ВС равны (рис. 60). В обоих случаях треугольники ABD и CDB равны. Именно, для первой части теоремы они равны по первому признаку равенства, а для второй части — по третьему признаку.

Из равенства треугольников следует равенство углов:

58

перпендикулярны AD и поэтому тоже параллельны. Сле­ довательно, прямоугольник — параллелограмм.

Второе утверждение теоремы следует из равенства пря­ моугольных треугольников BAD и CDА. У них углы BAD

сечения диагоналей. Треугольники АОВ и СОВ равны. У

Квадрат является ромбом, поэтому обладает свойствами прямоугольника и ромба.

Трапеция. Т е о р е м а 9.8. Пусть три параллельные прямые а, Ь, с пересекаются прямыми d и dx в точках А, В, С

59.