книги из ГПНТБ / Погорелов, А. В. Элементарная геометрия

Прямой угол. Перпендикулярные прямые. Угол, равный 90°, называется прямым углом. Из теоремы 3.1 следует, что

полупрямых прямой а с начальной точкой А (рис. 27). От­ ложим от полупрямой ах угол (аф0, равный 90°. Тогда прямая, содержащая луч Ьи будет перпендикулярна прямой

а.

Допустим, что, кроме постро­ енной прямой, существует дру­ гая прямая, тоже проходящая через точку А и перпендикуляр­ ная прямой а. Обозначим через

полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом Ьх.

Углы (афд и (aiCi), равные по 90° каждый, отложены в

одну полуплоскость от полупрямой Ci. Но по аксиоме IV2 от полупрямой ах в данную полуплоскость можно отло­ жить только один угол, равный 90°. Поэтому не может быть другой прямой, проходящей через точку А и перпендику­ лярной прямой а. Теорема доказана.

Вопросы для повторения

1. Какие углы называются смежными?

30

4. Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.

б. Какие углы называются вертикальными?

6.Докажите, что вертикальные углы равны.

7.Какой угол называется прямым?

к ней перпендикулярную прямую.

Упражнения

11.Угол (аб) равен 120°, а угол (ас) равен 150°. Чему равен угол (Ьс), если лучи б и с расположены в одной полуплоскости относительно пря­ мой, содержащей луч а? Чему равен угол (бс), если лучи б и с располо­ жены в разных полуплоскостях относительно прямой, содержащей луч а?

12.Чему равны смежные углы, если один из них в два раза больше

другого?

13.Чему равны смежные углы, если один из них на 30° больше

другого?

14.Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите, что углы АОС и BOD вертикальные.

15.Один из углов, которые получаются в пересечении двух прямых,

равен 60°. Найти остальные углы.

§ 4. РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Второй признак равенства треугольников. Первый приз­ нак равенства треугольников дает аксиома V. Второй приз­ нак равенства треугольников дает следующая теорема.

Т е о р е м а 4.1. Если у треугольников АВС и Л ^ С , A B ^A iB x, /,А —/_ А и /_ В = /_ В г, то треугольники равны. Именно, Л С = Л 1 С1, BC = B1Cl, ^ C = ^ C i (рис. 28).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если у треугольников ЛС= = А 1С1, то они равны по первому признаку равенства (ак­ сиома V). Допустим АСфА^Сг. Тогда либо АС>АхСг либо AC</4xCi. Пусть для определенности Л С > Л ХС1 . -

Отложим на полупрямой АС отрезок ЛСа, равный А 1 Ci. По теореме 1.5 точка Са лежит между Л и С. Треуголь-

31

Луч ВСз проходит между лучами ВА и ВС, так как пе­ ресекает отрезок АС. Поэтому угол АВС2 меньше угла АВС. Мы пришли к противоречию, так как эти углы равны. Теорема доказана.

Равнобедренный треугольник. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти рав­ ные стороны называются боковыми сторона­ ми, а третья сторона называется основа­

нием треугольника (рис. 29).

Т е о р е м а 4.2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Именно, если АС=ВС в треугольнике АВС,

то Z.A—/.B-

Д о к а з а т е л ь с т в о . Треугольник САВ равен треугольнику СВА по первому признаку равенства треугольников. Дей­ ствительно, СА=СВ, СВ—СА, / С —у/С.

треугольнику ВАС по второму признаку равенства треуголь­ ников. Действительно, АВ = В А ,

/_ В = Z.A, Z .A —Z.B- Из равенства треугольников следует, что АС=

—ВС- Теорема доказана.

Теорема 4.3 является обратной теореме 4.2. Утверждение теоремы 4.2 является условием теоремы 4.3, а условие теоремы 4.2 является утверждением теоремы 4.3. Не всякая теорема имеет обратную, т. е. если данная теорема верна, то об­ ратная может быть неверна.

Поясним это на примере теоремы 2.3.Обратная к ней тео­ рема была бы такой. Если прямая, содержащая луч с, исходящий из вершины угла (ab), разделяет стороны угла, то луч с проходит между сторонами угла. Это утверждение

32

треугольников £А ф /_А х., /_В ф /_В \. Отложим от полу­ прямой АВ в полуплоскость, где лежит точка С, угол,

знаку. У них АВ=АхВх по условию теоремы, а /41 С1 = Л С г и /_ В \А xC i= /_ВАСъ по построению. Из равенства тре­ угольников следует, что ВСц—ВхСх.

Треугольники СС2А и Сѫ равнобедренные с общим

на прямой АВ, так как отрезок СС2 не пересекает эту пря­ мую. Отсюда следует, что прямые AD и BD различны.

По теореме 4.4 прямые AD и BD перпендикулярны пря­ мой СС2. Однако по теореме 3.3 через точку D можно про­ вести только одну прямую, перпендикулярную прямой СС2. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Вопросы для повторения

1.Какие отрезки называются равными?

2.Какие углы называются равными?

3.Что такое треугольник?

6. Сформулируйте и докажите второй признак равенства тре­ угольников.

7. Какой треугольник называется равнобедренным? Какие стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами? Какая

бедренный.

34

10. Объясните, что такое обратная теорема? Приведите пример. Для всякой ли теоремы имеется обратная?

П. Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны. 12. Докажите, что если в треугольнике все углы равны, то он равно­

сторонний.

13. Объясните, что такое медиана, биссектриса и высота тре­ угольника?

14.Докажите, что в равнобедренном треугольнике медиана, про­ веденная к основанию, является биссектрисой и высотой.

15.Докажите третий признак равенства треугольников.

Упражнения

16.Докажите, что если луч с, исходящий из вершины угла (ab), проходит между его сторонами, то угол (ас) меньше угла (ab).

17.Покажите на примере, что треугольники АВС и / Д б ^ , у ко­

торых А В = А 1В1, ВС=В1С1, , / Л = (/ Л 1, могут быть не равны.

18.Докажите, что в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

19.Докажите, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны; биссектрисы, проведенные к бо­ ковым сторонам, равны.

20.Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

21.Докажите, что если треугольник АВС равен треугольнику

ВСА, то он равносторонний.

§ 5. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ УГЛАМИ И СТОРОНАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Соотношения между углами треугольника. Т е о р е ­ ма 5.1. Сумма любых двух углов треугольника меньше 180°.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть АВС — данный тре­ угольник (рис. 34). Докажем, что сумма углов при вер­ шинах А и С меньше 180°. Обозна­ чим через О середину стороны АС.

Отложим на продолжении отрезка ВО отрезок OD, равный ОВ. Тре­ угольники AOD и СОВ равны. У них углы при вершине О равны, как вертикальные, а АО=ОС и OD—OB по построению. Из равенства этих треугольников следует, что /О С В =

=Z.OAD.

Угол BAD равен сумме углов ВАО м. DAO, так как луч АО пересекает отрезок BD с концами на сторонах угла BAD. Так как /O A D —/О С В , то угол BAD равен сумме углов треугольника АВС при вершинах А и С. Угол BAD не

развернутый, так как точка D не лежит на прямой АВ. Поэтому угол BAD меньше 180°. Итак, сумма углов А и С треугольника АВС, равная углу BAD, меньше 180°. Теорема доказана.

Угол, меньший прямого, т. е. меньший 90°, называется острым. Угол, больший 90°, но меньший 180°, называется

тупым.

Из теоремы 5.1 следует, что в каждом треугольнике два угла острые. В самом деле, если бы только один угол был

называется угол, смежный углу треугольника при верши­ не А. Чтобы не путать угол треугольника при вершине А с

угольник. Докажем, что внешний угол при вершине А больше внутреннего угла В. По теореме 5.1 сумма внутрен­ них углов А и В меньше 180°, т. е. /_А-\-/_В меньше 180°.

ВСА, т. е. угла С треугольника АВС.

Углы BCCi и BCiC равны, как углы при основании равнобедренного треугольника CBCi. Угол BCiC является внешним углом для треугольника АСгС при вершине Ci и

36

поэтому больше угла-Л. В итоге угол С треугольника АВС больше угла А этого треугольника. Первое утверждение теоремы доказано.

Докажем теперь, что если / С больше / А, то ЛЯ>ЯС. Допустим, что утверждение неверно. Тогда либо АВ=ВС либо ЛЯ<ЯС. В первом случае треугольник АВС — рав­ нобедренный и, следовательно, углы Л и С при его осно­ вании равны. Но это противоречит условию: /JC больше /_А . Если же АВ<ВС, то по доказанному /_А больше ^/С, что также противоречит условию. Итак, если / С больше /_А , то ЛЯ>ЯС. Теорема доказана полностью.

го треугольника.

Угол ABD больше угла CBD, так как полупрямая ВС проходит между ВА и BD. Таким образом, угол ABD больше угла ADB.

По теореме 5.3 отсюда заключаем, что AD~>AB, т. е. А С + В О А В . Теорема доказана.

Неравенство треугольника. Если точки А я В различны, то расстоянием между ними называется длина отрезка АВ. Если точки Л и Я совпадают, то расстояние между ними принимается равным нулю.

Неравенством треугольника называется свойство рас­ стояний между тремя точками, даваемое следующей тео­

чая: 1) все три точки Л, Я, С различный не лежат на одной прямой; 2 ) все точки различны, но лежат на одной прямой;

3)две точки совпадают; 4) все точки совпадают.

Впервом случае утверждение теоремы следует из теоре­

мы 5.4.

37

Рассмотрим второй случай. Итак, точки А, В, С различ­ ны, но лежат на одной прямой. Одна из этих точек лежит между двумя другими. Если С лежит между А и В, то по свойству измерения отрезков АВ=АС +СВ. Если А лежит между В и С, то АВ+АС=ВС. Если В лежит между А и С, то АВ + ВС —АС. Мы видим, что в любом варианте

все расстояния АВ, ВС, АС равны нулю и следовательно, АВ не больше АС+СВ.

Итак, для любых трех точек А, В, С расстояние АВ ие больше суммы расстояний АС+СВ. Теорема дока­ зана.

Действительно, пусть ЛхЛгЛз. . . Ап — данная ломаная. Тогда, по доказанному, длина отрезка ЛхЛ„ не больше суммы длин отрезков Л 1 Л 2 , Л 2Л3, , . ., ЛП_1 Л„, т. е. длины ломаной.

33

Вопросы для повторения

1.Что такое углы треугольника АВС?

2.Вопросы к доказательству теоремы 5.1 (рис. 34).

1)Объясните, почему углы СОВ и AOD вертикальные?

2) Объясните, почему угол BAD равен сумме углов САВ и CAD) 3) Объясните, почему угол BAD меньше 180°?

3.Какой угол называется острым? Какой угол называется тупым?

4.Докажите, что в любом треугольнике два угла острые.

5.Что такое внешний угол треугольника АВС при вершине А?

6.Докажите, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

7.Вопросы к доказательству теоремы 5.3 (рис. 35).

1) Объясните, почему точка Сг лежит между А и В?

2)Объясните, почему угол ВС\С является внешним углом треугольника АСС1 при вершине С{?

3)Объясните, почему угол BCCt меньше угла ВСА)

8.Докажите, что у каждого треугольника сумма двух сторон больше третьей стороны.

9.Что такое расстояние между точками А и В?

10.В чем состоит неравенство треугольника? Докажите неравенство

треугольника.

11. Что такое ломаная? Докажите, что длина ломаной не меньше расстояния между ее концами.

Упражнения

12.Может ли быть треугольник с двумя прямыми углами?

13.Докажите, что в любом треугольнике два внешних угла тупые.

14.Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей, не пере­ секаются .

15.На стороне АВ треугольника АВС взята точка D. Докажите,

что отрезок CD меньше по крайней мере одной из сторон, АС или ВС.

16.Докажите, что любой отрезок с концами на сторонах треуголь­ ника не больше наибольшей из сторон треугольника.

17.Может ли треугольник АВС иметь стороны АВ— 1 см, ВС— 10 см

иА С =18 см) Обосновать ответ.

18.Доказать, что если А В = В С + А С , то три точки А, В, С лежат на

одной прямой.

19. Посмотрите на рис. 34. Здесь ВО — медиана треугольника АВС, проведенная к стороне АС. Докажите, что медиана ВО меньше полусум­ мы сторон ВА и ВС.

20.Докажите, что если вершины ломаной не лежат на одной пря­ мой, то длина ломаной больше длины отрезка, соединяющего ее концы.

21.Докажите, что расстояние между любыми двумя вершинами замкнутой ломаной не больше половины ее длины.

§6. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

Углы и стороны прямоугольного треугольника. Тре­ угольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. Так как в любом треугольнике два угла ост­ рые, то в прямоугольном треугольнике только один угол

39