книги из ГПНТБ / Погорелов, А. В. Элементарная геометрия

Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса следующим образом. Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершима в центре шара, а основанием служит основание сегмента. Если же сегмент

больше полусферы, то указанный конус из него удаляется (рис. 227).- Объем шарового сектора получается сложением или вычитанием объемов

О соответствующего сегмента н ко­ нуса. Для объема шарового секто­ ра получается следующая формула:

где R — радиус шара, а Н — высо­ та соответствующего шарового сег­ мента.

Докажем теперь, что сферу мож­ но заключить в простое тело сколь угодно малого объема. Пусть R —

радиус сферы. Построим два концентричных ей шара Г, и

диагональю, меньшей е. Построим теперь два простых тела

общую точку. Тело Т\ получается из шара Т г вырезанием тех кубов, которые содержат точки шара и точки вне

При достаточно малом в объем этого тела как угодно мал* что и требовалось доказать.

200

§ 29. ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ

Понятие площади выпуклой поверхности. Полной вы­ пуклой поверхностью называется граница выпуклого тела,

отрезок. Примеры выпуклых тел: выпуклый многогранник, цилиндр, конус, шар.

Для фигур, расположенных на полной выпуклой по­ верхности, можно ввести понятие внутренней и граничной точки, подобно тому как это было сделано для фигур на плоскости в § 24. Именно, точка X фигуры G на полной выпуклой поверхности F называется внутренней, если все достаточно близкие к ней точки поверхности F тоже при­ надлежат фигуре G. Точка Y называется граничной точкой для фигуры G, если есть как угодно близкие к ней точки фи­ гуры G и точки, не принадлежащие фигуре G.

Например, если полную выпуклую поверхность рас­ сечь плоскостью, то у фигуры, которая состоит из всех то­ чек поверхности, лежащих по одну сторону плоскости, все точки внутренние, кроме точек, лежащих в секущей пло­ скости. Точки, лежащие в секущей плоскости, — граничные.

Фигура на полной выпуклой поверхности называется областью, если все ее точки внутренние и она не распада­ ется на две фигуры, обладающие этим свойством. Если к области присоединить ее границу, то мы получим замкну­ тую область. Она называется просто выпуклой поверхностью. Например, боковая поверхность цилиндра, конуса, сферичес­ кий сегмент представляют собой выпуклые поверхности.

Для того чтобы данное ниже определение площади по­ верхности было естественным, рассмотрим одну практи­ ческую задачу. Представим себе купол здания и плоский лист железа в форме квадрата со стороной 1 м. Пусть купол здания и лист железа окрашиваются. Если на покраску купола пошло vx литров краски, а на покраску листа же­ леза о,, литров краски, то естественно считать, что площадь купола здания в v jv а больше площади листа железа. Величина vJVi характеризует величину площади поверхно­ сти купола в сравнении с единицей площади в 1 м2 . Коли­ чество краски,, необходимое для покраски листа железа, примерно равно объему параллелепипеда с квадратом 1 м X X 1 м в основании и высотой h, равной толщине красочного покрытия. Поэтому для оценки площади поверхности ку­ пола получается величина v-Jh.

201.

Перейдем теперь к геометрическому определению пло­ щади поверхности. Пусть F — данная поверхность. По­ строим тело Fh, состоящее из тех точек пространства, для каждой из которых найдется точка поверхности F на рас­ стоянии,, не большем ft. Наглядно тело Fh можно предста­ вить себе как тело, заполненное краской при окрашивании поверхности F с обеих сторон слоем краски толщиной Л.

Пусть Vh— объем тела Fh. Площадью поверхности F

мы будем называть предел отношения V,j2h при Л->•(), т. е.

5== И т Й -

Можно доказать, что для таких простых выпуклых по­ верхностей, как боковая поверхность призмы и пирамиды, данное определение дает прежнее значение площади по­

Тело Fh, о котором идет речь в определении площади по­ верхности, представляет собой слой между двумя концен­ трическими сферами радиусов R+ h и R — h (рис. 228). Объем этого тела равен разности объемов шаров радиуса

R+ h и R — h, т. е. УА= -|- я [(/? + Л) 3 —(R —Л)3]. Имеем

итребовалось доказать.

Вслучае сферы определение объема Vh тела Fh просто.

Вдругих случаях это может оказаться довольно трудной

задачей. Но так как нас интересует площадь поверхности, следова­

тельно, lim то вместо тела Fh ft- о т

можно взять любое другое тело, дающее тот же предел отношения Vfj2h. Сейчас мы покажем, как можно изменить тело Fh, не меняя интересующего нас предела Vh/2h.

Пусть рассматриваемая поверх­ ность ограничена отрезками прямых и дугами окружностей. Возьмем любое фиксированное

число й> 1 и обозначим через F'ait тело, которое состоит из

202

точек пространства, удаленных от границы поверхности на расстояние, не большее чем ah.

Т е о р е м а 29.2. Если тело Fh любым образом изме­ нить вблизи границы рассматриваемой поверхности, внутри

тела Fh не больше объема V'ahтела F'ah. Поэтому достаточно доказать, что при /г- * - 0 отношение V'ahl2h—^0 .

По условию, граница рассматриваемой поверхности состоит из прямолинейных отрезков и дуг окружностей. Если мы построим для каждого такого куска границы свое тело F'ah, то эти тела покроют тело Рф, относящееся ко всей границе. Поэтому достаточно доказать, что Vrah/2h—^ 0 в том случае, когда тело Fah строится для прямолинейного отрезка или дуги окружности.

В случае прямолинейного отрезка длины I тело Fah можно заключить внутрь цилиндра радиуса ah и длины l+2ah. Объем этого цилиндра na2h2(l+2ah). При Л-»-0 от-

В случае дуги окружности радиуса R тело F’ah можно заключить внутрь кольца, которое получается из цилиндра радиуса R+ah и высоты 2ah после удаления из него ци­ линдра радиуса R — ah с высотой 2ah. Объем кольца равен разности объемов цилиндров: л [(R+ah)2— (R—ah)2] 2ah=

= 8 na2h2R. Так как 8ла^ ^ —>- 0 при h -» 0, то и для

случая дуги окружности У^/2Л—►(). Теорема доказана. Площадь сферического сегмента. Т е о р е м а 29.3. Пло­ щадь сферического сегмента радиуса R и высоты Н равна

S= 2nRH.

До к а з а т е л ь с т в о . Пусть F — сегмент, отсекае­ мый от сферы радиуса R. Построим для него тело Fh, о ко­

между касательной плоскостью у края сегмента и плоско­

203

стью основания сегмента. Изменение тела состоит в том, что оно заменяется телом, ограниченным концентрически­

сегмента радиуса R-\-h и высоты H-\-h и сегмента радиуса R — Ли высоты Н — Л. Следовательно,

V'h = я Ш + Л)2 [(Я + Л) — -

—я (Я —Л) 2 J\/?—Л )——у —j = 4 л RHh + Y nh3•

При Л-*-0 отношение V'hl2h—*2nRH. Теорема доказана.

объемов цилиндров V'h= л (R -J-Л) 2 Я —я (R —h) 2 Я = 4яRHh. При h-+0 отношение VJ,/2h —*■2яRH, что и требовалось до­ казать.

Боковая поверхность конуса. Т е о р е м а 29.5. Боковая поверхность усеченного конуса с радиусами оснований Ri и R i и образующей длины I определяется по формуле

S = я (Ri -f- R-t) l.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть F — данная кониче­ ская поверхность. Построим для нее тело Fh. Тогда пло­ щадь конической поверхности будет равна пределу отно­ шения УЛ/2Лпри Л-»-0. По теореме 29.2 этот предел останется

204

тем же, если изменить тело Fh у края поверхности F на рас­ стоянии, не большем й/sin а, где а — угол между обра­ зующими и плоскостями оснований.

Построим две конические поверхности Ft и Р г с той же осью, что и у F, с образующими в осевом сечении параллель­ ными образующими F, отстоящими

от них на расстоянии h (рис. 231). Наше изменение тела F,, будет со­ стоять в том, что мы его заменим телом F'h, которое ограничено ко­ ническими поверхностями Fl и F2 и плоскостями оснований исходной

v;=±пн {(к.+яУ+(я.+иУ («.+яУ+

длина образующей поверхности F. Таким образом, площадь боковой поверхности F усеченного конуса S■=я (Rt + /?,) /.

Площадь боковой поверхности не усеченного, конуса

.получается, если в этой формуле положить R 2=0.

§ 30. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ ГЕОМЕТРИИ

Первые геометрические результаты относятся к глубокой древности и имеют опытное происхождение. Они были отмечены людьми в связи с их практической деятельностью. Геометрия как эмпирическая наука в ранний период дос­ тигла особенно высокого уровня в Египте в связи с земле­ мерными и ирригационными работами.

205

В первом тысячелетии до нашей эры геометрические све­ дения от египтян перешли к грекам, в Древней Греции на­

гатили геометрию многочисленными новыми результатами, но предприняли также серьезные шаги к строгому ее обо­ снованию. Многовековая работа греческих геометров за этот период была подытожена и систематизирована Евклидом (330—275 гг. до н. э.) в его знаменитом труде «Начала». Это сочинение дает первое дошедшее до нас строгое по­ строение геометрии. В нем изложение настолько безупреч­ но для своего времени, что в течение двух тысяч лет с мо­ мента появления «Начал» оно было единственным руковод­ ством для изучающих геометрию.

«Начала» Евклида состоят из тринадцати книг. Из них восемь книг посвящены собственно геометрии, а остальные арифметике. Каждая книга «Начал» начинается опреде­ лением понятий. В первой книге «Начал» за определениями следует постулаты и аксиомы. Например:

По с т у л а т I. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую.

По с т у л а т V. Требуется, чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует

сними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той сто­ роны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Ак с и о м а I. Равные порознь третьему равны между собой.

А к с и о м а II. Если к равным прибавить равные, то получим равные.

И постулаты и аксиомы представляют собой утвержде­ ния, принимаемые без доказательства. По какому принципу одни утверждения относятся к постулатам, а другие к ак­ сиомам, неизвестно. В современном изложении мы все такие утверждения называем аксиомами. Вслед-за акси­ омами идут теоремы и задачи на построение под общим названием «Предложения». Они расположены в строгой последовательности так, что доказательство (решение) каж­ дого последующего предложения опирается на предыдущие.

В связи с таким построением геометрии возникло естест­ венное желание у геометров свести число постулатов и ак­ сиом, т. е. утверждений, принимаемых без доказательств, до минимума. Поэтому сам Евклид и многие геометры после Евклида пытались вывести некоторые постулаты и аксио­

206

мы из других постулатов и аксиом. В частности, многие геометры, начиная с Евклида, пытались доказать пятый постулат. Было предложено много доказательств пятого по­ стулата. Однако во всех этих доказательствах авторы ис­ пользовали то или другое утверждение, не содержащееся в других постулатах и аксиомах, эквивалентное пятому постулату. Вот некоторые из таких утверждений:

1. Все перпендикуляры к одной стороне острого угла пересекают другую его сторону.

2. Существуют подобные и не равные треугольники.

3.Существуют треугольники сколь угодно большой площади.

4.Существуют треугольники с суммой углов, равной двум прямым.

5.Параллельные прямые — равноотстоящие.

В результате неудачных попыток доказательства пятого постулата у некоторых геометров, начиная с конца XVIII века, возникло сомнение относительно самой возможности доказательства пятого постулата. Полное решение этого вопроса принадлежит великому русскому геометру Ни­ колаю Ивановичу Лобачевскому (1793—1856).

Один из эквивалентов пятого постулата состоит в ут­ верждении, что через точку вне данной прямой проходит не более одной прямой, параллельной данной. Н. И. Лоба­ чевский заменил пятый постулат следующим: Через точку вне прямой на плоскости проходят две прямые, не пересе­ кающие данную. Подобно предшественникам, Н. И. Лоба­ чевский имел надежду обнаружить противоречие в систе­ ме следствий, вытекающих из этого нового постулата. Одна­ ко, развив систему следствий до объема «Начал» Евклида, Н. И. Лобачевский не обнаружил в ней противоречий и на

что если в геометрии Евклида нет противоречий, то их не может быть и в геометрии Лобачевского. Таким образом, в отношении логической непротиворечивости эти две геоме­ трии находятся в равном положении. Вопрос о том, какая из этих геометрий лучше описывает окружающий нас мир, может быть решен только опытом. В настоящее время установлено, что геометрия окружающего нас мира в больших, космических масштабах, имеет более сложное

207.