книги из ГПНТБ / Погорелов, А. В. Элементарная геометрия

называется шаровой поверхностью или сферой. Таким обра­ зом, точками сферы являются те точки шара, которые уда­ лены от центра на расстояние, равное радиусу. Отрезок, со­ единяющий центр шара с любой точкой шаровой поверхно­ сти, также называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности, проходящий через центр шара, называется диаметром. Концы любого диаметра

центр шара (рис. 220). Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость а и обозначим через О'

основание этого перпендикуляра. Пусть X — произвольная точка шара, принадлежащая плоскости а. По теореме Пи­ фагора (0Х)2 = (00')2 + (0 '^ ) а- Так как ОХ не больше ра­ диуса R шара, то О'Х R2—(ОО')2, т. е. любая точка сече­ ния шара плоскостьюа находится на расстоянии, не большем

который получается в сечении шара плоскостью а,

Я '= /Я * _ ( О О ')* .

Отсюда видно, что круг в сечении плоскостью а будет тем больше, чем ближе плоскость а от центра шара, т. е. чем меньше ОО'. Наибольший круг получается в сечении пло­ скостью, проходящей через центр шара. Радиус этого круга равен радиусу шара. Равноудаленные от центра плос­ кости пересекают шар по равным кругам.

Плоскость, проходящая через центр шара, называется

шара является его плоскостью симметрии. Центр шара явля­ ется центром симметрии.

190

Из равенства прямоугольных треугольников ОАХ и ОАХ'

точки шаровой поверхности можно провести окружность большого круга и притом только одну.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть О — центр шара и А, В — данные две не диаметральные точки его поверхно­ сти (рис. 222). Проведем через точки А,О,В плоскость а. Плос­ кость а пересекает шар по боль­ шому кругу. Окружность этого круга проходитчерез точки А и В.

Другой такой окружности, проходящей через точки А а В, быть не может. Действительно, плоскость а' соответствующего большого круга должна прохо­ дить через точки А, В и О. Атак

как точки А, В, О не лежат на одной прямой, то через них проходит единственная плоскость, т. е. плоскость а. Тео­ рема доказана. .

Т е о р е м а 27.6. Любые две окружности больших кру­ гов шара пересекаются и притом в двух диаметрально про­ тивоположных точках.

Действительно, плоскости больших кругов имеют об­ щую точку (центр шара) и, следовательно, пересекаются по некоторой прямой, проходящей через центр шара. Точки

191

пересечения этой прямой с поверхностью шара являются точками пересечения окружностей больших кругов. Теоре­ ма доказана.

Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверх­ ности перпендикулярно радиусу, проведенному в точку А,

называется касательной плос-'

костыо. Точка А называется точ­ кой касания.

Т е о р е м а 27.7. Касательная плоскость шара имеет с шаром только одну общую точку — точку касания.

До к а з а т е л ь с т в о . Пусть

а— касательная плоскость к шару

иА — точка касания (рис. 223). Возьмем произвольную точку X плоскости а, отличную от А. Так

как О А— перпендикуляр, а ОХ наклонная, то ОХ > О Д = = R. Следовательно, точка X не принадлежит шару. Теоре­ ма доказана.

Прямая, проходящая через точку А шаровой поверх­ ности перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку,

называется касательной.

Т е о р е м а 27.8. Через любую точку А шаровой поверх­ ности проходит бесчисленное множество касательных-, все они лежат в касательной плоскости шара.

Действительно, пусть а — касательная плоскость шара

вточке А (см. рис. 223). Тогда любая прямая в плоскости

а, проходящая через точку А, перпендикулярна радиусу ОА и, следовательно, является касательной. Любая каса­ тельная, проходящая через точку А, перпендикулярна ра­ диусу ОА, а следовательно, лежит в плоскости а.

Упражнения

1. Доказать, что плоскости, проходящие через ось цилиндра, яв­ ляются его плоскостями симметрии.

2.Доказать, что цилиндр есть тело вращения, именно, любое вра­ щение около оси цилиндра совмещает цилиндр с самим собой.

3.Доказать, что пересечение боковых поверхностей двух равных цилиндров с пересекающимися осями лежит в двух перпендикулярных - плоскостях.

4.Доказать, что середины параллельных отрезков с концами на боковой поверхности цилиндра лежат в плоскости, проходящей через ось цилиндра.

5.Доказать,- что конус есть тело вращения, именно, любое вра­ щение около оси конуса совмещает конус с самим собой.

192

6. Доказать, что боковая поверхность конуса равна 5 /co sa , где S — площадь основания конуса, а а — угол между основанием и обра­ зующими.

7.Доказать, что середины параллельных отрезков с концами на боковой поверхности конуса лежат в плоскости, проходящей через вершину конуса.

8.Доказать, что геометрическое место оснований перпендикуля­ ров, опущенных из данной точки А на плоскости, проходящие через дан ную точку В, есть шаровая поверхность.

'9. Доказать, что геометрическое место середин параллельных отрезков с концами на шаровой поверхности есть большой круг.

10.Доказать, что пересечение двух шаровых поверхностей есть окружность.

11.Доказать, что если любая плоскость, проходящая через точку О тела, является плоскостью его симметрии, то это тело есть шар.

§28. ОБЪЕМЫ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

Общее определение объема. В § 26 мы рассмотрели объем простого тела, т. е. тела, допускающего разбиение на ко­ нечное число треугольных пирамид. Объем такого тела есть сумма объемов треугольных пирамид, из которых оно сос­ тавлено. А объем треугольной пирамиды определяется по

формуле У= -^- SH. Теперь, отправляясь от объемов про­

стых тел, мы определим понятие объема для любого тела. Объемом тела Т мы будем называть число V, обладающее

следующими свойствами:

1) число V не больше объема любого простого тела, содер­ жащего данное тело Т ;

2) не существует числа, большего V, обладающего свой­ ством 1 ).

Таким образом, число V есть наибольшее из чисел, обла­ дающих свойством 1). В случае простого тела данное опре­ деление приводит к прежнему значению объема, так как среди простых тел, содержащих данное тело, есть оно само.

Отметим некоторые свойства объема, непосредственно вытекающие из его определения.

Если тело Т х содержится в теле Т г, то объем тела Т х не больше объема тела Т ». Действительно, всякое простое тело, содержащее тело Т 2, содержит и тело Tt. Поэтому его. объем не меньше объема V, тела Т г. А объем V2 тела Т * есть наибольшее число, обладающее этим свойством. Сле­ довательно,

Если тела Т\ и Т 2 равны, то их объемы равны. Действи­

193

Поэтому У2 не больше объема любого простого тела, содер­ жащего тело 7Y А У,— наибольшее число, обладающее этим

Если тела 7 \ и Т 2 подобны, то их объемы относятся как кубы линейных размеров.

Действительно, если тело Т х можно заключить в простое тело объема х, то тело Т 2 можно заключить в подобное тело объема k3x, где k — коэффициент подобия. Поэтому V2^ .k 3x. Следовательно, V jk 3^ .x . Таким образом, число V jk 3 мень­ ше объема любого простого тела, содержащего тело Т,. Число Vi есть наибольшее число, обладающее этим свойством. Поэтому y t ^ V jk 3. Поменяв ролями тела Т ! и Т 2, приходим к обратному неравенству: Ух/г3 ^ У 2. Отсюда следует, что У2 =А3 У1( или V jV x= k3.

Если тело разбивается плоскостью, конической, цилин­ дрической или сферической поверхностью, то объем тела ра­ вен сумме объемов тел, на которые оно разбивается.

Доказательство этой теоремы будет основано на том, что любой конечный кусок плоскости, цилиндрической, ко­ нической или сферической поверхности можно заключить в простое тело сколь угодно малого объема. Для плоскости это очевидно. Достаточно взять квадрат, содержащий дан­ ный кусок плоскости, и построить параллелепипед с этим квадратом в основании и достаточно малой высотой. Для других поверхностей мы докажем это свойство в следую­ щих пунктах.

Пусть для определенности тело Т разбивается цилин­ дрической поверхностью на два тела, Г, и Т 2. Пусть У, и У2— их объемы, а У — объем тела Т.

Пусть е — малое положительное число. Построим про­ стое тело Т{, содержащее тело Т и имеющее объем не боль­ ше Уа+е. Такое тело существует. В противном случае объе­ мы всех простых тел, содержащих Т и были бы не меньше Ул+е. Следовательно, объем тела 7\ тоже был бы не меньше Ул+е. Построим простое тело Т2, содержащее тело Т 2, с объе­

Тело Т ’ содержит тело Т. Поэтому объем тела Т не больше объема тела Т . Следовательно, У ^У 1 + У 2 +2е. Так как е — любо? положительное число, то из этого неравенства следует,

ЧТО У ^ У л + У г -

194

Построим теперь простое тело Т', содержащее тело Т,

основания вписанной призмы не меньше площади содержа­ щегося в ней круга радиуса R ^ Поэтому объем вписанной

в цилиндр призмы не меньше nR 2H cos2 — , где Н — высота

цилиндра. Отсюда следует, что объем цилиндра

COS* -----

п

195

Соответственно, объем цилиндра

л R*H

Полученные два неравенства верны при любом п. При

V^.nR 2H. Следовательно,

V = nR 2H,

что и требовалось доказать.

Заметим, что если из описанной призмы удалить вписан­ ную, то мы получим простое тело, содержащее боковую по­ верхность цилиндра. Объем этого тела равен разности объе­ мов призм, т. е.

nR 'H ( — --------cos- —\ .

При п-> оо этот объем стремится к нулю. Отсюда мы и за­ ключаем, что любой конечный кусок цилиндрической по­

одной трети произведения площади основания на высоту.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Построим правильную впи­ санную в конус н-угольную пирамиду и правильную опи­ санную n-угольную пирамиду. Вписанная пирамида содер­ жится в конусе. Поэтому ее объем не больше объема ко­ нуса. Описанная пирамида содержит конус. Поэтому ее объем не меньше объема конуса.

Впишем в основание вписанной пирамиды окружность

(см. рис. 224). Радиус этой окружности Rt= R cos-2-: Пло­

щадь основания вписанной пирамиды не меньше площади содержащегося в ней круга радиуса R lm Поэтому объем

вписанной в конус пирамиды не меньше nR2H cos2-^-, где

И — высота конуса. Отсюда следует, что объем конуса

V ~^i\-nR2H cosa — .

з п

196

Теперь опишем окружность около основания описанной

пирамиды. Радиус этой окружности R 2 = R/cos-^- . Основа­

ние описанной пирамиды содержится в круге радиуса R %.

Поэтому площадь основания пирамиды не больше n/?3 /cos3- .

Соответственно объем конуса

1 nR*H

V< T cos2 -

Полученные два неравенства верны при любом п. При

п - у оо cos-2—»-1. Поэтому из первого неравенства сле­ дует, что V ^ ~ n R 2H. Из второго неравенства следует, что

Таким образом,

У = у я £ 2Я,

что и требовалось доказать.

Заметим, что если из описанной пирамиды удалить впи-’ санную, то мы получим простое тело, содержащее боковую поверхность конуса. Объем этого тела равен разности объе­ мов пирамид, т, е.

4-л R2H ( — ^--------cos2—V

\ cos2 -7T )

При п->-оо этот объем стремится к нулю. Отсюда мы заклю­ чаем, что любой конечный кусок конической поверхности можно заключить в простое тело сколь угодно малого объе­ ма.

Вывод этой формулы основан на тех же соображениях, что и для усеченной пирамиды. Мы его приводить не будем.

Объем шара. Т е о р е м а 28.4. Объем шара радиуса R

V = j n R s.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Плоскость, проходящая через центр шара, делит его на две равные части — два полушара.

197.

Поэтому достаточно найти объем полушара. Для удобства будем считать, что полушар расположен так, как показано на рис. 225. Проведем радиус, перпендикулярный основа­ нию полушара, и разделим его на п равных частей. Через

точки деления проведем плоскости, параллельные осно­ ванию полушара. Они разобьют полушар на п слоев (рис. 225, слева). Построим для каждого слоя содержащий его цилиндр с радиусом, равным радиусу нижнего основа­ ния слоя, и высотой, равной высоте слоя. Обозначим через Vm объем т-то цилиндра, считая от основания полушара.

Тело, составленное из построенных цилиндров, содер­ жит полушар, поэтому имеет объем, не меньший объема полушара. Если все цилиндры опустить вниз на расстоя­ ние Rjn, то все они попадут в полушар, кроме первого. По­ этому тело, составленное из всех цилиндров, кроме первого, имеет объем, не больший объема полушара. Таким образом, обозначая через V объем полушара, получаем неравенство

Возьмем теперь конус с радиусом основания R и высотой тоже R. Разобьем его таким же способом на слои, как и по­ лушар, и построим для каждого слоя цилиндр, содержащий слой (рис. 225, справа). Обозначим через Уя объем tn-то цилиндра, считая от вершины конуса. Тело, составленное из цилиндров, содержит конус. Поэтому объем этого тела не меньше объема конуса. Если цилиндры поднять на R[n, то все они, кроме последнего, войдут в конус. Поэтому со­ ставленное из них тело имеет объем не больше объема кону­ са. Таким образом, обозначая через V объем конуса, полу­ чаем неравенство

Найдем сумму объемов Vm+VmJrl. По теореме Пифаго­ ра радиус основания (ш + 1 )-го. цилиндра для полушара

198

равен у R2 — Я ^ * , П оэтом у объем

Радиус т-го цилиндра для конуса равен — Я. Поэтому объем

Так как эти неравенства верны при любом п, а при п~*<х>

199