книги из ГПНТБ / Погорелов, А. В. Элементарная геометрия

Если у многогранника грани — правильные пятиуголь­ ники, то в каждой вершине также сходятся только три ребра. Соответствующий многогранник— додекаэдр (см. рис. 197).

У каждого правильного многогранника все двугранные углы равны. В случае, когда в вершине многогранника сходятся по три ребра, доказательство этого утверждения просто. Действительно, двугранные углы трехгранного угла од­ нозначно определяются плоскими углами. В случае, когда в вершине многогранника сходятся четыре или пять ребер, как у октаэдра и икосаэдра, доказать равенство двугран­ ных углов многогранника значительно труднее. Мы не будем приводить это доказательство.

Упражнения

1.Доказать, что центры граней куба являются вершинами пра­ вильного октаэдра, а центры граней додекаэдра являются вершинами икосаэдра.

2.Доказать, что скрещивающиеся диагонали двух параллельных граней куба являются ребрами правильного тетраэдра.

3.Найти двугранные углы правильного додекаэдра.

4.Доказать, что боковая поверхность пирамиды с площадью осно­

вания S и двугранными углами при основании а равна S/cos а.

§ 25. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКЦИОННОГО ЧЕРЧЕНИЯ

Изображение точки на эпюре. Пространственная фигура изображается на плоскости путем проектирования ее па­ раллельными прямыми. Обычно проекция фигуры на одну плоскость не дает полного представления о фигуре. Поэтому пользуются двумя или даже тремя проекциями на две или соответственно на три плоскости. Мы рассмотрим

на плоскости Я и V. Проекция фигуры на горизонтальную плоскость называется горизонтальной проекцией, а проек­ ция на вертикальную плоскость называется вертикальной проекцией. Сами плоскости Я и V называются плоскостями проекций, а прямая х, по которой они пересекаются, называется осью проекций. Выполнив проектирование фигуры

170 -

ции окажутся в одной плоскости. Полученный так чертеж с изобра­ жением обеих проекций фигуры

25.1. Вертикальная и горизон­ тальная проекции точки на эпюре изображаются точками,

171

лежит на прямой, перпендикулярной оси проекций, про­

точка А своими проекциями на эпюре. Построить проекции

кальной плоскости, то его длина равна длине проекции на эту плоскость. О параллельности отрезка АВ вертикальной плоскости мы узнаем по его горизонтальной проекции, которая должна быть параллельна оси проекций.

Допустим, отрезок'АВ не параллелен ни одной из пло­ скостей проекций. Будем поворачивать отрезок А В около прямой, проектирующей его конец А на горизонтальную

положении обозначим через В у. Отрезок А УВ 1 есть гори­ зонтальная проекция отрезка, равного АВ, параллельного вертикальной плоскости. Нетрудно найти его вертикаль­

ную проекцию АгВг. Вертикальная проекция конца В по­ вернутого отрезка получается в пересечении прямой, про­

172

ходящей через точку S b перпендикулярно оси проекций

;оси. Если плоскость параллельна одной из плоскостей проекций, то она имеет один след: вертикальный, если плоскость

;параллельна горизонтальной плоскости, и горизонтальный,

I если она параллельна вертикальной плоскости. На эпюре

;плоскости изображаются своими следами.

За д а ч а 25.5. Найти прямую пересечения двух пло­ скостей, заданных своими следами на эпюре, т. е. найти про­ екции прямой.

173

прямую перпендикулярно данной плоскости проекций, на~ пример Н.

зонтальной проекцией данной прямой, а вертикальный след перпендикулярен оси проекций. Для получения вертикального следа надо провести прямую, перпендикулярную оси проекций, через точку пересечения горизонтальной проекции прямой с осью (рис. 205).

З а д а ч а 25.7. Задана прямая своими проекциями и плоскость своими следами. Найти точку пересечения прямой с плоскостью, т. е. проекции этой точки.

Р е ш е н и е . Проведем через данную прямую плоскость, перпендикулярную Н (задача 25.6). Найдем прямую /г, по которой эта плоскость пересекается с данной (задача 25.5). Аналогично, построим прямую v пересечения данной плоскости и плоскости, проходящей через данную прямую перпендикулярно вертикальной плоскости. Проекции ис­ комой точки суть точки пересечения соответствующих про­ екций прямых h и о.

З а д а ч а 25.8. Даны две пересекающиеся прямые своими проекциями и горизонтальная проекция некоторой точки. Найти вертикальную проекцию этой точки, если известно,

ризонтальную проекцию Cj данной точки произвольную прямую, Пересе- \ кающую горизонтальные проекции ах а

ки Ai-Bj и А 2В2 являются горизонтальной и вертикальной проекциями отрезка с концами на данных прямых. Отсюда следует, что вертикальная проекция Сг искомой точки полу­ чается в пересечении прямой, проходящей через точку Ct перпендикулярно оси проекций, с отрезком А2В2.

174

Упражнения

1.Две прямые заданы своими проекциями на эпюре. Как узнать, пересекаются эти прямые или нет?

2.Задана плоскость своими следами и точка своими проекциями

на эпюре. Как узнать, лежит точка на плоскости или нет?

3.Заданы две пересекающиеся прямые своими проекциями на эпю­ ре. Построить следы плоскости, проходящей через эти прямые.

4.Построить треугольник по его проекциям на эпюре.

5.Задана вертикальная проекция четырехугольника и горизон­ тальная проекция трех его вершин. Построить горизонтальную проек­ цию четвертой вершины.

§26. ОБЪЕМЫ ПРОСТЫХ ТЕЛ

Понятие объема. Задача определения объемов тел от­ носится к глубокой древности. Она возникла в связи с прак­ тической деятельностью людей.

Представим себе два сосуда: один в форме куба, а второй произвольной формы (рис. 207). Пусть оба сосуда доверху наполняются жидкостью. Допустим, выяснилось, что для наполнения первого сосуда пошло т кг жидкости, а для наполнения второго сосуда пошло п кг жидкости. Естест­

венно считать, что второй сосуд в ^ раз больше первого.

Число, указывающее, во сколько раз второй сосуд больше первого, мы будем называть объемом второго сосуда. Пер­ вый сосуд является единицей измерения. Из этого опреде­ ления понятия объема получаются следующие его свойства. Во-первых, так как для заполнения каждого сосу­ да требуется определенное количество жидкости, то каждый сосуд имеет определенный (положительный) объем.

Во-вторых, для заполнения равных сосудов потребуется одно и то же количество жидкости. Поэтому равные

сосуды имеют равные объемы. В-третьих, если данный со­ суд разделить на две части, то количество жидкости, необходимое для заполнения всего сосуда, состоит из количества жидкости, необходимой для заполнения его частей. Поэтому объем всего сосуда равен сумме объемов его частей.

По данному нами определению для того, чтобы узнать объем сосуда, надо заполнить его жидкостью. В жизни, однако, требуется решать как раз обратную задачу. Тре­ буется узнать количество жидкости, необходимой для

175

заполнения сосуда, не производя самого заполнения. Если бы мы знали объем сосуда, то количество жидкости мы полу­ чили бы, умножая объем сосуда на количество жидкости, необходимой для заполнения единицы объема. Как же уз­ нать объем сосуда?

Сейчас мы докажем, что отмеченные нами три свойства объема полностью его определяют и найдем формулы для определения объема простых тел.

Тело мы будем называть простым, если его можно раз­ бить на конечное число тетраэдров, т. е. треугольных пира­ мид. В частности, такие тела как призма, пирамида, вообще выпуклый многогранник, являются простыми.

Объем прямоугольного параллелепипеда. Определим сна­ чала объем прямоугольного параллелепипеда. На рис. 208 изображен куб, являющийся единицей измерения объема, и прямоугольный параллелепипед, объем которого надо измерить.

Разобьем ребра куба, исходящие из одной вершины, на N равных частей и проведем через точки деления плоскости,

ной вершины, отрезки, равные q, 2 q, 3q......... и проведем че­ рез их концы плоскости, перпендикулярные ребрам парал­ лелепипеда. При этом мы получим сетку кубов с ребрами, равными q, покрывающими параллелепипед. Определим число кубов, содержащихся в параллелепипеде, и число кубов, содержащих параллелепипед.

Пусть а, Ь и с — ребра данного параллелепипеда. Обоз­ начим через / целое от деления а на q, через т — целое от деления b на q и через п — целое от деления с на q. Тогда ‘число кубов, содержащихся в параллелепипеде, будет 1тп,

176

а число кубов, содержащих параллелепипед, будет не больше (Н-1)(т-|-1)(/!+1). Отсюда следует, что объем параллелепи­

Так как оба числа, V и abc, заключены между числами

измеряются ребром куба, принятого за единицу измерения объема.

Рис. 209.

Объем наклонного параллелепипеда. Определим объем наклонного: параллелепипеда (рис. 209, слева). Проведем через ребро ВС плоскость, перпендикулярную основанию ABCD, и дополним параллелепипед треугольной призмой BBtBiCCiC*. Отсечем теперь от полученного тела треуголь­ ную призму плоскостью, проходящей через ребро AD пер­ пендикулярно основанию ABCD. Тогда получим снова па­ раллелепипед. Этот параллелепипед имеет объем, равный объему исходного параллелепипеда. Действительно, до­ строенная призма и отсекаемая совмещаются параллельным

переносом на отрезок АВ, следовательно, имеют одина­ ковые объемы. При описанном преобразовании параллеле­ пипеда сохраняется площадь его основания и высота. Со­ храняются также плоскости двух боковых граней, а две другие становятся перпендикулярными основанию. При­ меняя еще раз такое преобразование, получим параллеле­ пипед с боковыми гранями, перпендикулярными основа­ нию, т. е. прямой параллелепипед. Полученный прямой параллелепипед подвергнем аналогичному преобразованию в прямоугольный параллелепипед, дополняя его сначала призмой 1, а затем отрезая призму 2 (рис. 209, справа). Это преобразование также сохраняет объем параллелепипеда, площадь основания и высоту.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произ­ ведению его линейных размеров. Произведение двух линей­ ных размеров есть площадь основания параллелепипеда, а третий размер — его высота. Таким образом, у прямоуголь­ ного параллелепипеда объем равен произведению площади основания на высоту. Так как в описанном выше пре-, образовании данного параллелепипеда в прямоугольный

произведению площади основания на высоту.

Итак, у любого параллелепипеда объем равен произведе­ нию площади основания на высоту.

Объем призмы. Найдем объем призмы. Рассмотрим сна­ чала треугольную призму (рис. 210). Дополним ее до парал­ лелепипеда, как указано на ри­ сунке. Точка О является центром симметрии параллелепипеда. По­ этому достроенная призма симмет­ рична исходной относительно точки О, следовательно, имеет объем, равный объему исходной призмы.

Таким образом, объем построенного параллелепипеда равен удвоенному объему данной призмы.

Объем параллелепипеда равен произведению площади его основа­ ния на’ высоту. Площадь его основания равна удвоенной

площади треугольника АВС, а высота равна высоте исходной призмы. Отсюда заключаем, что объем исходной призмы равен произведению площади ее основания на вы­ соту.

178

Рассмотрим теперь произвольную призму (рис. 211). Разобьем ее основание на треугольники. Пусть Д — один из этих треугольников. Проведем через произвольную точку X треугольника Д прямую, параллель­

ную боковым ребрам. Пусть ах — от­ резок этой прямой, принадлежащей призме. Когда точка X описывает треугольник Д, отрезки ах заполняют треугольную призму. Построив такую призму для каждого треугольника Д, мы получим разбиение данной призмы на треугольные. Все эти призмы име­ ют одну и ту же высоту, равную высоте исходной призмы.

Объем данной призмы равен сумме объемов треугольных призм ее составляющих. По доказанно­

му, объем треугольной призмы равен произведению площади ее основания на высоту. Отсюда следует, что объем данной

разбито основание призмы. Сумма площадей треугольников Д равна площади S основания данной призмы. Поэтому

V = SH.

Итак, объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

Объем пирамиды. Для того чтобы найти объем треуголь­ ной пирамиды, естественно было бы попытаться дополнить ее равными пирамидами до па­ раллелепипеда и, таким образом, зная объем параллелепипеда, найти объем пирамиды. К со­ жалению, это в общем случае сделать нельзя. Поэтому мы при­

меним другой способ.

Разобьем высоту пирамиды на п равных частей и через точки деления проведем плос­ кости, параллельные основанию пирамиды (рис. 212). При этом пирамида разобьется на слои.

Для каждого такого слоя построим две призмы: призму, содержащую слой, и призму, содержащуюся в слое, как показано на рисунке.