книги из ГПНТБ / Погорелов, А. В. Элементарная геометрия

О в каждой плоскости а, проходящей через точку О, сво­ дится к преобразованию симметрии в этой плоскости отно­ сительно той же точки О.

С помощью понятия симметрии относительно плоскости и относительно точки вводятся понятия плоскости симмет­ рии и центра симметрии для пространственных фигур, по­ добно тому как для плоских фигур определяются оси сим­ метрии и центр симметрии.

Параллельный перенос и поворот в пространстве. Па­ раллельный перенос в пространстве определяется также как параллельный перенос на плоскости. Именно, параллель­ ным переносом называется такое движение, при котором точки смещаются по параллельным прямым на одно и то же расстояние.

Так же как и на плоскости, две симметрии относительно точек Оу и О,, выполненные последовательно, дают параллель­ ный перенос, при котором точки пространства смещаются по прямым, параллельным прямой на расстояние, равное удвоенной длине отрезка OiOa.

Так же как и на плоскости, параллельный перенос в про­ странстве полностью определяется заданием двух соответ­ ствующих точек.

Доказательство отмеченных свойств параллельного пе­ реноса в пространстве проводится дословно так же, как доказательство соответствующих свойств параллельного переноса на плоскости. Поэтому мы не будем приводить эти доказательства.

Поворотом около прямой а на угол а называется такое движение, при котором точки прямой а остаются непод­ вижными, а полуплоскости, ограниченные прямой а, по­ ворачиваются на угол а, т. е. каждая такая плоскость об­ разует с соответствующей плоскостью двугранный угол с ребром а, равный а. Прямая а называется осью поворота,

а угол а — углом поворота.

Два зеркальных отражения относительно пересекающих­ ся плоскостей а и |3, выполненные последовательно, дают по­ ворот около прямой с, по которой плоскости пересекаются.

Для доказательства этого свойства достаточно заметить, что в плоскости у, перпендикулярной прямой с, преобразо­ вание сводится к двум зеркальным отражениям относитель­ но прямых, по которым плоскость у пересекает плоскости а и р. А такие два зеркальных отражения, как известно, дают поворот относительно точки пересечения плоскости у с прямой с.

160

Преобразование подобия и гомотетия в пространстве. Дословно так же, как на плоскости, определяются преобра­ зование подобия в пространстве, а также простейшее преоб­ разование подобия — гомотетия. Преобразование подо­ бия в пространстве переводит прямые в прямые, плоскости в плоскости, сохраняет углы между прямыми и плоскостями.

Фигура F ', в которую переходит фигура F при преобра­ зовании подобия, называется подобной F. Фигура, подобная треугольнику, есть подобный ему треугольник. Расстояния между соответствующими точками подобных фигур нахо­ дятся в одинаковом отношении, равном коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных фигур равно

любой фигуры, допускающей разбиение на треугольники. Проектирование плоскости на плоскость. До сих пор шла речь о различных преобразованиях пространства в себя. Сейчас мы рассмотрим одно важное преобразование одной плоскости в другую, называемой проектированием. Пусть а и р — две любые плоскости и h — прямая, пересекающая

точке X сопоставляется ука­

занным образом точка X ', называется параллельным проек­ тированием плоскости а на плоскость р. Параллельное про­ ектирование, очевидно, является одно-однозначным отобра­ жением. Если проектирующие прямые перпендикулярны плоскости р, то проектирование называется ортогональным.

При параллельном проектировании плоскости а на плос­ кость р прямые переходят в прямые и сохраняется порядок точек на прямой. Прямые параллельные переходят в пря­ мые параллельные, а прямые пересекающиеся в прямые пересекающиеся. Сохраняется отношение отрезков одной прямой или параллельных прямых. Доказательство этих свойств достаточно просто и предоставляется читателю.

Пусть F—фигура в плоскости а. Когда точка X описыва­ ет фигуру F, соответствующая ей точка X ' при параллельном

161.

проектировании описывает фигуру F' в плоскости (J. Фигура F' называется проекцией фигуры F.

Т е о р е м а 23.1. Площадь фигуры F и площадь ее ор­ тогональной проекции F' связаны соотношением

S' —S cos а,

где а — угол между плоскостями, в которых лежат фигура F и ее проекция F'.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы ограничимся случаем, когда фигура F допускает разбиение на треугольники.'4В этом случае, очевидно, достаточно доказать, что теорема верна для треугольника. Итак, пусть F есть треугольник. Обоз­ начим через а плоскость, в которой ле­

Ажит F, а через (3 — плоскость, на кото­

рую проектируется F. Если плоскость а параллельна р, утверждение теоремы очевидно, так как фигура F' равна F

иполучается из F параллельным пере­ носом в направлении, перпендикулярном плоскостям.

Пусть плоскость а не параллельна (5

ипересекает ее по некоторой прямой с. Не ограничивая общности, можно счи­ тать, что одна сторона треугольника F параллельна прямой с. Этого можно

всегда добиться разбиением треугольника F на два тре­ угольника. Более того, можно считать, что одна сторона треугольника просто лежит на прямой с. Этого можно до­ биться переходом от плоскости (3 к плоскости |3', параллель­ ной р.

Итак, теорему достаточно доказать для случая, когда фигура есть треугольник с основанием на прямой с, по ко­ торой пересекаются плоскости а и р (рис. 189). В этом слу­ чае оба треугольника F и F' имеют общее основание на прямой с, а их высоты АВ и А 'В связаны соотношением' А 'В = А В cos ф. Соответственно, для их площадей полу­ чается S'=Scos<p.

Теорема доказана.

Упражнения

1. Пусть А — точка, а — проходящая через нее прямая и а плоскость, проходящая через прямую а. Точка м разбивает прямую а на две полупрямые; обозначим через а' одну из них. Прямая а разбивает плоскость а на две полуплоскости; обозначим одну из них через а '.

162

Плоскость « разбивает пространство на два полупространства; обозна­

Доказать, что существует движение, при котором точка А переходит в точку В, полупрямая а' в полупрямую Ь', полуплоскость а' в полу­

плоскость Р ' и полупространство Еа в полупространство Е^.

2. Доказать, что два последовательных преобразования симметрии относительно точек 0 1 и Оа сводится к параллельному переносу в направ­ лении прямой 0 Х0 2 на отрезок, равный 2ОхОа.

3.Доказать, что два последовательных зеркальных отражения относительно параллельных плоскостей сводится к параллельному пере­ носу в направлении, перпендикулярном этим плоскостям на расстояние, равное удвоенному расстоянию между плоскостями.

4.Доказать равенство двух трехгранных углов, если плоские углы

одного угла равны плоским углам другого, или двугранные углы одного угла равны двугранным углам другого.

5. Доказать, что любой треугольник можно получить как ортого­ нальную проекцию правильного треугольника.

§ 24. МНОГОГРАННИКИ

Геометрическое тело. Пусть G — фигура на плоскости. Точка X фигуры G называется внутренней точкой, если все достаточно близкие к X точки плоскости принадлежат фигу­ ре G. Это значит, существует такое положительное число е, что все точки плоскости, расстояния которых от точки X меньше е, принадлежат фигуре G. Фигура G называется областью, если каждая ее точка является внутренней и лю­ бые две ее точки можно соединить ломаной, целиком при­ надлежащей фигуре G. Например, круг без ограничивающей его окружности есть область.

Пусть G — область на плоскости. Точка X плоскости называется граничной точкой для области G, если найдутся сколь угодно близкие к X точки, принадлежащие фигуре G, и точки, не принадлежащие ей. Это значит, каково бы ни было число е > 0 , найдутся точки на расстоянии, меньшем е ют точки X, принадлежащие фигуре G, и точки, не при­ надлежащие фигуре G. Граничные точки образуют границу области G. В приведенном выше примере окружность, огра­ ничивающая круг, состоит из граничных точек. Присоеди­ няя к области G ее граничные точки, мы получаем новую фигуру G. Она называется замкнутой областью.

Внутренние точки выпуклого многоугольника, как мы их определили в планиметрии, образуют область. Присоеди­ няя к этой области сам многоугольник, мы получим замкнутую область. Эту область мы назвали пополненным

163

многоугольником. В настоящем параграфе, так же как и в следующем, слово «многоугольник» будет употребляться в смысле пополненный многоугольник.

Дословно так же, как для плоских фигур, определяют­ ся понятия внутренней точки пространственной фигуры, по­ нятие пространственной области и ее границы. Мы не бу­ дем повторять этих определений. Замкнутая пространствен­ ная область называется телом. Тело, граница которого сос­ тоит из конечного числа многоугольников, называется многогранником. Многоугольники, ограничивающие мно­ гогранник, называются гранями многогранника. Многогран­ ник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждой его грани. В настоящем параг­ рафе мы рассмотрим простейшие многогранники — призмы и пирамиды.

Призма. Пусть а и а — две параллельные плоскости и h — прямая, пересекающая эти плоскости. Пусть Р — вы­

ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. В против­ ном случае призма называется наклонной.

Боковой поверхностью призмы (точнее, площадью боко­ вой поверхности) называется сумма площадей боковых гра­ ней. Полная поверхность призмы состоит из боковой по­ верхности и площадей оснований.

Т е о р е м а 24.1. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т. е. длину боковых ребер.

164

Д о к а з а т е л ь с т в о . Боковые грани прямой приз­ мы — прямоугольники. Основания этих прямоугольников являются сторонами многоугольника, лежащего в основа­ нии призмы, а высоты равны длине боковых ребер. Отсюда следует, что боковая поверхность призмы равна

S = aJ-\-aJ + . . . -\-anl —pi,

где р — периметр основания призмы, а I — длина боковых ребер. Теорема доказана.

Параллелепипед. Если основание призмы есть парал­ лелограмм, то она называется параллелепипедом (рис. 191). У параллелепипеда все грани— параллелограммы. Диаго­ налью параллелепипеда называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. У параллеле­ пипеда четыре диагонали А 1А 3', А2 А /, А3 А / и АИз'-

Т е о р е м а 24.2. Диагонали параллелепипеда пересе­ каются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

педа АИ з' й А П а' являются диагоналями этого параллело­ грамма. Поэтому они пересекаются и точкой пересечения О делятся пополам. Аналогично доказывается, что диагонали АИ з' и АИ / , а также диагонали АИ з' и АзА/, пересе­ каются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда заключаем, что все четыре диагонали параллелепипеда пе­ ресекаются и точкой пересечения делятся пополам. Теоре­ ма доказана.

165

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, на­

что грани параллелепипеда суть параллелограммы, следует,

квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его линейных размеров.

Д о к а з а т е л ь с т в о (рис. 193). Из прямоугольного треугольника А С С по теореме Пифагора получаем

АС'2 = АС2 + СС'2.

Из прямоугольного треугольника ЛСД по теореме Пифагора получаем АС2 = АВ 2-\-ВС2. Отсюда АС'2 = СС'2 + АВ2 + +ВС2.Ребра АВ, ВС и СС не параллельны, а следовательно, их длины являются линейными размерами параллелепипеда.

Пирамида. Пусть Р — выпуклый многоугольник в пло­ скости а и 5 — точка, не принадлежащая плоскости а. Соединим каждую точку X многоугольника Р с точкой S

166

отрезком XS. Отрезки XS заполняют некоторый многогран­

пирамиды и пересекающая ее, отсекает подобную пирамиду.

секаются. По известной тео­ реме планиметрии отношения

X'S Y'S

хгГ И T s РавнЬ1> т* е* 0ТН0‘

X'S

шение ттгг= £ не зависит от Ао

взятой точки X. Отсюда следует, что отсекаемая плоско­ стью а ' пирамида получается преобразованием гомотетии относительно точки 5 с коэффициентом гомотетии k из дан­ ной пирамиды, а гомотетичные фигуры подобны.

Пирамида называется правильной, если ее основанием служит правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Очевидно, у

167

правильной пирамиды боковые ребра равны, следователь­ но, боковые грани суть равные равнобедренные треуголь­

а число сторон п, то боковая поверхность пирамиды будет

Y п = у ‘ = - |- 1 , где ‘ — апофема, ар — периметр основания.

По теореме 24.5 плоскость а , параллельная плоскости

ляютсобой подобные (более того, гомотетичные) многоуголь­ ники, боковые грани—трапеции. Усеченная пирамида, кото­ рая получается из правильной пирамиды, также называется правильной. Боковые грани правильной усеченной пира­ миды суть равные равнобокие трапеции; их высоты назы­ ваются апофемами.

Т е о р е м а 24.7. Боковая поверхность правильной усе­ ченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Доказательство этой теоремы (использующее теорему 24.6) предоставляется читателю.

Правильные многогранники. Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правиль­ ными многоугольниками с одним и тем же числом сторон, и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Грани правильного многогранника могут быть либо рав­ носторонними треугольниками, либо квадратами, либо

168

правильными пятиугольниками. Действительно, начиная с правильного шестиугольника, внутренние углы не меньше 1 2 0 °, а так как в каждой вершине многогранника сходится не меньше трех ребер, то в этом случае у многогранного угла при вершине правильного многогранника сумма плоских углов была бы не меньше 3 -120°=360°. Последнее невозмож­ но, так как мы знаем, что сумма плоских углов любого вы­ пуклого многогранного угла меньше 360°.

Икосаэдр

Если грани правильного многогранника являются пра­ вильными треугольниками, то число ребер при вершине многогранника должно быть не больше пяти. Действительно, при большем их числе сумма плоских углов при вершине многогранника будет не меньше 360°, что невозможно. Та­ ким образом, у правильного многогранника с треугольными гранями число ребер, сходящихся в вершине, может быть только три, четыре и пять. Эти три возможности действи­ тельно реализуются. Соответствующими многогранниками являются правильный тетраэдр, октаэдр и икосаэдр

(рис.' 197). У тетраэдра в каждой вершине сходятся три ребра, у октаэдра — четыре, а у икосаэдра — пять.

Если у правильного многогранника грани — квадраты, - то число ребер, сходящихся в каждой вершине многогран­ ника, не больше трех, следовательно, равно трем. Соот­ ветствующий многогранник — куб (см. рис. 197). .

. 169