книги из ГПНТБ / Погорелов, А. В. Элементарная геометрия

отсюда заключаем о равенстве углов между прямой а и плоскостью а, прямой b и плоскостью р. Теорема доказана.

Угол между плоскостями. Определим понятие угла между двумя плоскостями. Если плоскости а и Р параллельны или совпадают, мы полагаем угол между ними равным нулю.

Пусть плоскости а и Р не совпадают и не параллельны. Тогда они пересе­ каются по некоторой прямой с (рис. 177). Проведем плоскость у, перпендикулярную прямой с. Она пересечет плоскости а и р по пря­ мым а и Ь. За угол между плоскос­ тями а и р мы принимаем угол, равный углу между прямыми а и Ь. Определяемый таким образом

угол между плоскостями не зависит от выбора секущей плоскости у.

Действительно, пусть у '— другая плоскость, перпендикулярная прямой с. Она пересекает плоскости а и Р по прямым а' и Ь', параллельным а и Ь. Следовательно, прямые а' и Ь' образуют тот же угол, что

ипрямые а, Ь.

Те о р е м а 21.4. Угол между плоскостями а и Р равен углу между перпендикулярами а и b к этим плоскостям.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Прежде всего отметим сле­ дующее свойство. Пусть а и b — две перпендикулярные прямые, лежащие в одной плоскости. Пусть с — любая прямая в той же плоскости, прохо­ дящая через точку пересечения пря­ мых а и Ь. Тогда углы, которые обра­ зует прямая с с прямыми а и Ь, допол­ няют друг друга до 90° (рис. 178).

Теперь перейдем к доказательству теоремы.

Если плоскости а и Р параллельны или совпадают, то перпендикулярные

им прямые а и b тоже либо параллельны либо совпадают. В этом случае угол между плоскостями и угол между пря­ мыми равен нулю. Следовательно, угол между плоскостями равен углу между перпендикулярными им прямыми.

Пусть теперь плоскости а и Р не совпадают, не параллель­ ны и, следовательно, пересекаются по некоторой прямой с.

150

§22. ДВУГРАННЫЕ, ТРЕХГРАННЫЕ

ЙМНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ

Определение двугранного и трехгранного угла. Пусть а

и Р — две плоскости, пересекающиеся по прямой с. Прямая

сразбивает каждую из плоскостей а и р на две полупло­ скости. Отметим в каждой из плоскостей по одной полу­

не лежащие в одной плоскости (рис. 181). Полупрямые а, Ь, с образуют три угла: (ab), (Ьс), {ас). Фигура, составленная из

152

жащей полупрямую а. Полуплоскости этих плоскостей, содержащие полупрямые ft и с, образуют двугранный угол.

Этот угол называется двугранным углом трехгранного угла при ребре а. Его называют также двугранным углом, противолежащим плоскому углу (Ьс).

Теорема косинусов для трехгранного угла. Т е о р е ­ м а 22.1. Пусть а, Р, у — плоские углы трехгранного угла и С — двугранный угол, противолежащий плоскому углу у. Т огда

теореме косинусов в при­ менении к треугольнику ASB будем иметь

А В3= 1+ 1— 2 cos у.

Теперь вычислим длину отрезка АВ другим способом. Для этого проведем через точки А а В плоскости, перпен­ дикулярные ребру с. Они пересекут это ребро или его про­

должение в точках А' и В'. Пусть В — основание перпен­ дикуляра, опущенного из точки В на проведенную через точку А плоскость. По теореме косинусов в применении к

треугольнику АА'В имеем

ЛВа = ЛЛ 'а + А'В* — 2AA'.A'BcosC.

Но AA' = s\n р, A'B = B B ' —s\n а. Таким образом,

АВ* = sin za + s in aP— 2 sin a sin Pcos С.

Из прямоугольного треугольника АВВ по теореме Пифагора получаем

АВ* = АВ* + В В \

153

Но ВВ = |cosfJ — cos а|. Таким образом,

AB2 = si?i2a-J-sin2 ($ + (cos (}—cosa)2— 2 sin asin jicos С =■ = 2— 2 cos a cos p— 2 sin a sin p cos C.

Сравнивая два выражения для величины АВ2, получим

cos у = cos a cos р + sin a sin p cos C.

Теорема доказана.

Трехгранный угол, полярный данному трехгранному уг­ лу. Пусть а, Ь, с — ребра трехгранного угла с вершиной S. Плоскость угла (Ьс) разбивает пространство на два полу­ пространства. В одном из них расположена полупрямая а.

Проведем из точки S полупря­ мую а' перпендикулярно пло­ скости угла (Ьс), направлен­ ную в полупространство, до­ полнительное к тому, в кото­ ром лежит полупрямая а. Ана­ логично построим полупрямые Ь' и с', перпендикулярные плоскостям углов (ас) и (ab) соответственно. Трехгранный угол, ребрами которого явля­ ются полупрямые а', Ь', с ,

называется полярным по отношению к исходному углу (abc)

(рис. 183). Легко видеть, что грани полярного угла перпен­ дикулярны ребрам исходного. Свойство полярности трех­ гранных углов взаимно, т. е. если трехгранный угол (а’Ь'с’) полярен трехгранному углу (abc), то трехгранный угол (abc) полярен трехгранному углу (а'Ь’с'). Из свойства углов с перпендикулярными сторонами заключаем, что плоские углы полярного угла дополняют соответствующие дву­ гранные исходного трёхгранного угла до 180°. Именно, плоский угол (Ь' с') дополняет до 180° двугранный угол при ребре а и т. д. Аналогично, двугранные углы полярного трехгранного угла дополняют соответствующие плоские углы исходного до 180°. В частности, двугранный угол при

трехгранного угла. Пусть у — плоский угол, противолежащий двугранному углу С. Тогда

cos С = —cos A cos В + sin A sin В cos у.

164

Д о к а з а т е л ь с т в о . Отложим на ребре с трех­ гранного угла отрезок SC единичной длины (рис. 184). Опу­ стим из точки С перпендикуляр на плоскость угла (ab).

Пусть С— основание этого перпен­ дикуляра. Проведем из точки Сплос­ кости, перпендикулярные ребрам а и b и обозначим через А и В точки

пересечения этих плоскостей с ре­ 5 брами а и & или их продолжением.

Вычислим длину перпендику­

ляра СС. Из прямоугольного тре­ угольника SCB с прямым углом В получим

СВ — 1 -sin а.

Теперь из прямоугольного треугольника СВС о прямым уг­ лом С находим длину перпендикуляра СС. Именно,

СС = СВ sin В = sin a sin В.

Длину перпендикуляра СС можно найти иначе, исполь­ зуя при этом прямоугольные треугольники ACS и САС. При этом получается, что

Сравнивая выражения для отрезка СС, находим

sin a sin В —sin р sin А.

Отсюда

Аналогично получается соотношение

sin f t __sin у

.sin В — sin С

153

Неравенство для плоских углов трехгранного угла.

Т е о р е м а 22.4. У трехгранного угла каждый плоский угол меньше суммы двух других плоских углов.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а , |3, у — плоские углы трехгранного угла. Покажем, что у<а-|-р. Применяя те­ орему 22.1 к трехгранному углу, получим

cosy = cosacosp + sinasin (3cosC.

Так как cos О —1, а sin а и sin Р положительны, то имеет место неравенство

cos у > cos a cos р—sin a sin р.

Правая часть этого неравенства есть не что иное, как

cos (a+P). Таким образом, cos y > c o s (a+P). Как известно,

при возрастании угла от 0° до 180° косинус угла убывает. Отсюда следует, что у < а + Р - Теорема доказана.

Многогранные углы. Пусть из точки S исходят полупря­ мые яь а2>. • •, яп, причем никакие три последовательные полупрямые аи а2, а3\ а2, а3, я<;. ..; ап, аи а2 не лежат в одной плоскости. Фигура,

сумма плоских углов меньше 360°.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть аи а2, . . ., ап— ребра выпуклого многогранного угла с вершиной S. Отметим на сторонах угла а3 и а2 точки Л, и Л 2- Возьмем теперь точку А 3на стороне а3, достаточно близкую к вершине S, и прове­ дем через точки А и А 2, А 3 плоскость а (рис. 185). При до­ статочной близости. точки А 3 к 5 плоскость а пересекает все ребра аи а2, . . ., ап. Пусть А и А 2, А 3, . . ., Ап— точки пересечения плоскости а с ребрами угла S. Из выпуклости многогранного угла 5 следует выпуклость многоугольника Р с вершинами А и А 2, . . ., Ап (рис. 186).

156

Рассмотрим многогранный угол 5 и трехгранные углы

Упражнения

1.Три прямые а, Ь, с, не лежащие в одной плоскости, пересекаются

вточке О. Точка О разбивает каждую из прямых на две полупрямые. Беря по одной полупрямой на каждой из прямых, можно образовать восемь трехгранных углов. Выразить плоские и двугранные углы этих трехгранных углов через плоские и двугранные углы одного из них.

2.Пусть а, Р, у — плоские, а А, В, С — противолежащие им дву­ гранные углы трехгранного угла. Пусть ср — угол между ребром дву-- гранного угла С и плоскостью угла у. Доказать, что

sin ср = sin р sin А = sin a sin В.

3. В трехгранном угле два плоских угла равны а , а двугранный

прилегающих к этому плоскому, причем один из этих двугранных угЛов прямой. Найти остальные углы.

§ 23. ДВИЖЕНИЕ И ДРУГИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Движение и его свойства. Понятие движения в простран­ стве вводится так же, как и на плоскости. Именно, под движением мы понимаем одно-однозначное отображение пространства на себя, сохраняющее расстояния между точ­ ками. Это значит, что если X и У — две произвольные точки пространства и X ', Y '— соответствующие им точки, то X Y —X'Y'. Движение в пространстве обладает свойствами, аналогичными свойствам движения на плоскости. В част­ ности, при движении прямые переходят в прямые и

157.

сохраняется порядок точек на прямой. Это значит, что если три точки А, В, С лежат на прямой и точка В расположена между Л и С, то соответствующие им точки А ', В ', С также лежат на прямой, причем точка В' лежит между А' и С . Доказательство этого свойства для движения в простран­ стве ничем не отличается от соответствующего доказатель­ ства для движения на плоскости. Поэтому мы его приводить не будем.

При движении в пространстве плоскости переходят в плоскости. Докажем это свойство. Пусть а — плоскость и А, В, С — три ее точки, не лежащие на одной прямой. При движении эти точки перейдут в точки А ', В', С', также не лежащие на одной прямой. Пусть а! — плоскость, про­ ходящая через точки Л ', В', С'. Покажем, что плоскостью при рассматриваемом движении переходит в плоскость а .

Пусть X — произвольная точка плоскости а. Проведем через точку X прямую в плоскости а, пересекающую тре­ угольник АВС в двух точках Р и Q. Точки Р' и Q', соот­ ветствующие Р и Q, принадлежат треугольнику А ' В ' С , а следовательно, и плоскости а '. Так кай прямая PQ перехо­ дит в прямую P'Q', а точка X лежит на прямой PQ, то соответствующая ей точка X' лежит на прямой P'Q', а значит, и на плоскости а. Итак, каждая точка X плоско­ сти а переходит при движении в некоторую точку X' Пло­ скости а '.

Покажем теперь, что каждая точка X' плоскости а' является образом некоторой точки X плоскости а. Для этого

прямой Р Q, а значит, и плоскости а. Утверждение доказано. Аналогично тому как в планиметрии, с помощью дви­ жения определяется равенство пространственных фигур. Именно, две фигуры F и F' называются равными, если они совмещаются движением, т. е. существует движение-, при

котором фигура F переходит в фигуру F'.

Симметрия относительно плоскости и точки. Подобно тому как на плоскости вводится понятие симметрии отно­ сительно прямой, в пространстве вводится понятие сим­ метрии относительно плоскости. Именно, пусть а — произ­ вольная плоскость и X — произвольная точка простран­ ства. Проведем через точку X прямую а, перпендикуляр­

158

нуго плоскости а. Она пересечет плоскость а в некоторой точке А. Построим теперь точку X ' по следующему пра­ вилу. Если точка X лежит на плоскости а, то X ' совпадает

сX. Если же точка X не лежит на плоскости а, то X ' лежит

вдругом полупространстве относи­

тельно плоскости а, причем рас­ стояния А Х и А Х ' равны (рис. 187). Точка X ' называется симметричной точке X относительно плоскости а. Отображение пространства на себя, при котором точке X сопоставляет­ ся точка X ', симметричная от­ носительно плоскости а, называ­ ется преобразованием симметрии или зеркальным отражением от­ носительно плоскости а.

Подобно тому как зеркальное отражение относительно прямой на плоскости, зеркальное отражение относительно плоскости в прост­

ранстве есть движение. Для доказательства этого утверж­ дения достаточно заметить, что зеркальное отражение в пространстве относительно плоскости а для каждой плос­ кости р, перпендикулярной а, сводится к зеркальному от­ ражению относительно прямой, по которой плоскость а пересекает плоскость р. Поясним это.

Пусть Р и Q — две произвольные точки пространства. Проведем через прямую Р Q плоскость р, перпендикулярную плоскости а. Она пересечет плоскость а по некоторой пря­ мой Ь. Точки Р' и Q', симметричные точкам Р и Q относи­ тельно плоскости а, будут симметричны точкам Р и Q отно­ сительно прямой Ь. Действительно, прямые, перпендику­ лярные плоскости а и проходящие через точки Р и Q, лежат

вплоскости Р и перпендикулярны прямой Ь. Так как сим­ метрия в плоскости относительно прямой сохраняет рас­ стояния (PQ =P'Q '), то этим свойством обладает и сим­ метрия относительно плоскости в пространстве. Следова­ тельно, симметрия относительно плоскости есть движение.

Преобразование симметрии относительно данной точки

впространстве определяется дословно так же, как и на плоскости. Так же как и на плоскости, преобразование сим­ метрии относительно точки в пространстве есть движение.

Для доказательства достаточно заметить, что преобразова­ ние симметрии в пространстве относительно данной точки

169