книги из ГПНТБ / Погорелов, А. В. Элементарная геометрия

плоскости по доказанному. Это значит, что прямая а, перпендикулярна любой прямой х в плоскости а. По тео­ реме 2 0 . 2 прямая а, будучи параллельна прямой аи тоже перпендикулярна каждой такой прямой х. Следовательно, прямая а перпендикулярна плоскости а. Теорема доказана.

Из теоремы 20.3 получается важное следствие, именуе­ мое т е о р е м о й о т р е х п е р п е н д и к у л я р а х .

Именно, если три точки. А, В, С, не лежат на одной прямой и две прямые из трех АВ, ВС, АС перпендикулярны данной прямой а, тощг третья прямая перпендикулярна прямой а.

Действительно, через три точки А, В, С можно провести плоскость. Эта плоскость перпендикулярна прямой а, так как прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости. Следовательно, прямая а перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в част­ ности, третьей из указанных прямых.

Свойства перпендикулярности прямой и плоскости. Т е-

о р е м а 20.4. Если прямая а и плоскость а перпендику­ лярны, то каждая прямая аи параллельная прямой а,

пендикулярна каждой такой прямой х. Следовательно,

плоскость, пересекающую плоскость а по прямой х. Так как прямая х х параллельна прямой х, а прямая а перпен­ дикулярна прямой х, то по теореме 2 0 . 2 прямая а перпен­ дикулярна прямой Xi. А это значит, что прямая а перпен­ дикулярна плоскости а х. Теорема доказана полностью.

Т е о р е м а 20.5. Дее прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны. Дее плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а и ах— прямые, пер­ пендикулярные плоскости а. Допустим, прямая а1 не па­ раллельна а. Проведем через точку пересечения прямой ах с плоскостью а прямую а», параллельную а (рис. 162). По те­ ореме 20.4 прямая аа перпендикулярна плоскости а. Про­ ведем через прямые ах и аг плоскость. Она пересечет плос­ кость а по некоторой прямой Ь. Так как прямые о,, и- а,

140

перпендикулярны плоскости а, то они перпендикулярны пря­ мой Ь. А это невозможно. Мы пришли к противоречию. Пер­ вое утверждение теоремы доказано.

две различные плоскости fiy и ра. Через произвольную точку В прямой а проведем в плоскостях Pi и рг прямые Ьу и Ьг,

как перпендикулярна двум пря­ мым b y И Ь г в этой плоскости (теорема 20.3). Проведем плос­ кость cty через точку А парал­ лельно плоскости а. Плоскость а,у перпендикулярна прямой а по теореме 20.4.

Докажем единственность плоскости а и проходящей через точку А перпендикулярно прямой а. Допустим, что через

141

точку А перпендикулярно плоскости а. Допустим, что

называется перпендикуляром, проведенным из точки А к

142

дикуляра и наклонной, проведенными к прямой на плос­ кости. Именно, перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости а, короче любой наклонной, проведенной из этой точки. Ббльшая наклонная имеет большую проекцию.

Д о к а з а т е л ь с т в о (см. рис. 166). Треугольник АВС — прямоугольный с прямым углом В. По теореме Пифагора

АС* = АВ2 + ВС2.

Отсюда следует, во-первых, что А О А В , т. е. наклонная АС больше перпендикуляра АВ. Во-вторых, чем больше АС, тем больше ВС, т. е. чем больше наклонная, тем больше

еепроекция. Утверждение доказано.

Расстоянием от точки А до плоскости а называется длина

перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости а.

Расстояние от точки А до плоскости а есть наименьшее из расстояний точки А до точек плоскости а.

Подобно тому как параллельные прямые на плоскости, параллельные плоскости в пространстве являются равно­

лельная ей плоскость, то все точки прямой а находятся на одинаковом расстоянии от плоскости а. Доказательство этого утверждения аналогично приведенному выше дока­ зательству для параллельных плоскостей.

Пусть а и b — скрещивающиеся прямые, А п В — точки на этих прямых. Отрезок АВ называется общим перпенди-

из

куляром скрещивающихся прямых а и Ь, если прямая АВ перпендикулярна прямой а и прямой Ь.

Скрещивающиеся прямые имеют и притом только один общий перпендикуляр.

Д о к а з а т е л ь с т в о (рис. 168). Пусть а и b — дан­ ные скрещивающиеся прямые. Как доказано в конце § 19, через прямые а и b проходят две

параллельные плоскости а и р . Проведем из произвольной точки С прямой а перпендикуляр CD к плоскости р. Проведем из точки D

\упрямую параллельную а. Она пере­ сечет прямую Ь в некоторой точке В. Проведем через точку В пря­ мую, параллельную CD. Она пере­ сечет прямую а в точке А. Прямая АВ перпендикулярна плоскостям а и Р, а следовательно, прямым а и Ь.

Таким образом, отрезок АВ есть общий перпендикуляр прямых а и Ь.

Докажем единственность общего перпендикуляра. До­ пустим, существует еще один общий перпендикуляр А 1В 1. Прямая BD параллельна прямой а.

Поэтому прямые А В и A tB u будучи перпендикулярны прямым а и Ь, пер­ пендикулярны плоскости р, а следо­ вательно, параллельны. Но тогда пря­ мые A At и ВВи т. е. прямые а и Ь, лежат в одной плоскости. А это невоз­ можно, так как прямые а и Ь — скре­ щивающиеся. Утверждение доказано полностью.

Перпендикулярность плоскостей. Пусть а и р — две плоскости, пе­ ресекающиеся по прямой с. Прове­ дем плоскость у, перпендикулярную прямой с (рис. 169). Она пересечет плоскости а и р по прямым а и Ь. Мы

будем называть плоскости а и Р перпендикулярными, если прямые а и Ь перпендикулярны.

Определяемая таким способом перпендикулярность плос­ костей а и р не зависит от выбора плоскости у. Действитель­ но, проведем плоскость уь отличную от у, перпендикулярную прямой с. Она пересечет плоскости а и р по прямым ах и

144 :

b,. Плоскости V и Vt, будучи перпендикулярны прямой с, параллельны. Отсюда следует параллельность прямых а и аъ Ь и Ьх. А по теореме 19.1 перпендикулярность прямых

кости Р, если она перпендикулярна какой-нибудь прямой в плоскости р.

Д о к а з а т е л ь с т в о (рис. 170). Пусть с — прямая, по которой плоскости а и Р пересекаются, а b — прямая в

по построению. Следователь­ но, плоскость, в которой лежат прямые а и Ь, перпендикуляр­

на прямой с. Так как прямые а и Ь перпендикулярны, то со­ гласно определению плоскости а и Р перпендикулярны. Теорема доказана.

Из теоремы 20.8 следует, что плоскость р, проходящая

дикулярны плоскости Р, то либо прямая а лежит в плоско­

прямым с и Ьи перпендикулярна плоскости р. Следова­ тельно, прямая а, параллельна прямой а по теореме 2 0 . Если прямая а не лежит в плоскости а, то по теореме

19.2 она параллельна плоскости а, так как параллельна прямой аи лежащей в этой плоскости. Теорема доказана.

Из теоремы 20.9 следует, что перпендикуляр, проведенный из любой точки плоскости а к перпендикулярной ей плоскости

прямой с. А теперь по теореме 20.4 прямая с перпендикуляр­ на плоскости у. Теорема доказана.

Т е о р е м а 20.11. Пусть Р — плоскость и Ь — не перпендикулярная ей прямая. Тогда через прямую b можно провести и притом только одну плоскость, перпендикулярную плоскости р.

Д о к а з а т е л ь с т в о (рис. 173). Проведем через произволь­ ную точку прямой Ь прямую Ьи перпендикулярную плоскости р. Плоскость у, проходящая через прямые b и Ьи перпендикулярна плоскости р по теореме 2 0 .8 .

Допустим, что через прямую b проходит другая плоскость Ть тоже перпендикулярная плоскости р. По теореме 20.9 прямая Ъх лежит в плоскости ух. По аксиоме С3 плоскости у и у! совпадают. Мы пришли к противоречию. Теорема до­ казана.

Упражнения

1.Доказать, что прямые, проходящие через данную точку перпен­ дикулярно данной прямой, лежат в одной плоскости.

2.Доказать, что через данную точку можно провести н притом только одну прямую, перпендикулярную двум данным не параллельным прямым.

3.Доказать, что не существует четырех попарно перпендикуляр­ ных прямых.

146

4. Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Доказать, что шесть плоскостей, проходящих через средины отрезков, попарно соединяющих эти точки перпендикулярно отрезкам, пересе­ каются в одной точке. Эта точка находится на одинаковом расстоянии от данных четырех точек.

5. Доказать, что геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек А и В, есть плоскость, перпендикулярная отрезку АВ, проходящая через его середину.

6. Треугольник АВС расположен по одну сторону плоскости се, а,Ь, с— расстояния вершин треугольника от плоскости а . Доказать, что расстояние центра тяжести треугольника (точки пересечения медиан)

а-\-Ь4-с ,г

от плоскости се равно — — . Как изменится это расстояние, если вер­

шины А и В треугольника лежат по одну сторону плоскости а, а вершина С по другую сторону.

7. Доказать, что геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных пересекающихся плоскостей, состоит из двух плоско­ стей.

8.Доказать, что геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из данной точки на плоскости, проходящие через данную прямую, есть окружность.

9.Доказать, что геометрическое место оснований равных наклон­ ных, проведенных из данной точки к данной плоскости, есть окружность.

§ 21. УГЛЫ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ и плоскостям и

t

Угол между прямыми. Две пересекающиеся прямые образуют смежные и вертикальные углы. Вертикальные углы равны, а смежные углы дополняют друг друга до двух прямых. Угловая мера меньшего из этих углов называется главным значением угла менаду прямыми. Таким образом,

главное значение угла между прямыми не больше 90°^у j .

В дальнейшем, говоря об угле между прямыми, мы будем иметь в виду главное значение.

Углом между скрещивающимися прямыми мы будем на­ зывать угол между параллельными им пересекающимися прямыми. Покажем, что этот угол не зависит от того, какие взяты пересекающиеся прямые. Доказательство этого утверждения основано на тех же соображениях, что и дока­

fej и Ьг— другая пара таких прямых, пересекающихся в точ­ ке В. Допустим, прямые аи я2, Ьи Ь2 не лежат в одной плоскости (рис. 174). Тогда плоскости а и [3, в которых лежат прямые я,, я2, и Ьи Ь2 соответственно параллельны. Отметим на прямых яа и я2 точки A t и Л2, отличные от

А, и проведем прямые А {В Уи А 2В 2, параллельные прямой

угольников треугольники А А уА г и ВВУВ2 равны. Из ра­ венства треугольников следует равенство их углов А и В, а следовательно, и равенство углов между прямыми аи а2

иЬи Ь2 в смысле главного значения.

Вслучае, если прямые аи а2, Ьи Ь2 лежат в одной плос­ кости, возьмем параллельные им пересекающиеся прямые сг и с2, не лежащие в этой плоскости. Тогда, по доказанному, углы между прямыми а- и а2, Ьуи Ь2 равны углу между пря­

мыми Ci и с2, а следовательно, равны между собой.

Мы определили понятие угла для пересекающихся и скрещивающихся прямых. Теперь мы дополним это определение, полагая угол между па­ раллельными или совпадающими пря­ мыми равным нулю. Такое соглашение об углах между параллельными и совпадающими прямыми избавит нас от необходимости выделять специаль­ но особые случаи расположения пря­ мых в теоремах об углах.

Т е о р е м а 21.1. Пусть ау и а2— две прямые, Ьу и Ь2— параллельные им прямые. Тогда угол между прямыми а, и а2 равен углу

между прямыми Ь, и Ь2.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если прямые ау и а2 парал­ лельны или совпадают, то прямые Ь2 и Ь2либо параллельны либо совпадают. В обоих случаях углы между прямыми ау и а2, Ьг и Ь2равны нулю и, следовательно, равны друг дру­ гу. Равенство углов в случае пересекающихся прямых уста­ новлено выше. В случае скрещивающихся прямых равен­ ство углов следует из определения понятия угла между та­ кими прямыми. Теорема доказана.

Угол между прямой и плоскостью. Пусть а — плоскость и а — прямая. Угол между прямой а и плоскостью а опре­ деляется следующим образом. Если прямая а параллельна плоскости а или лежит в этой плоскости, то полагаем угол между ними равным нулю. Если прямая а перпендику­

лярна плоскости а, то полагаем угол равным 90°^-^ .

148

Пусть теперь прямая а пересекает плоскость а, но не перпендикулярна этой плоскости. Проведем через прямую а плоскость, перпендикулярную плоскости а (рис. 175). Эта плоскость пересечет плоскость а по некоторой прямой

аи а равен нулю. А угол между прямой а и перпендикуляром

кплоскости а равен 90°. Утверждение теоремы очевидно. Если прямая а перпендикулярна плоскости а, то перпен­ дикуляр к плоскости а либо совпадает с а либо ей паралле­

а угол между прямой а и перпендикуляром к плоскости а равен нулю. Утверждение теоремыочевидно.

Рассмотрим общий случай. Пусть прямая а пересекает плоскость а в точке А (рис. 176). Проведем через точку А прямую п, перпендикулярную к плоскости а. Три прямые,

а, й и п, лежат в одной плоскости— плоскости, проектиру­ ющей прямую а на плоскость а. Так как угол между п и d равен прямому, то главные значения углов между прямыми

аи п, 5 и а дополняют друг друга до 90°. Теорема доказана.

Те о р е м а 21.3. Пусть а и b — параллельные прямые,

аи Р — параллельные плоскости. Тогда угол между прямой

аи плоскостью а равен углу между прямой b и плоскостью р.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а' и Ь'— прямые, пер­ пендикулярные плоскостям а и р соответственно. Прямые а' и Ь' либо параллельны либо совпадают. По теореме 21.1 углы между прямыми а и а , b и Ь' равны. Следовательно, дополняющие их до 90° углы тоже равны. По теореме 21.2

149