книги из ГПНТБ / Погорелов, А. В. Элементарная геометрия

не лежащие в плоскости а, на два класса по следующему правилу. Точку X отнесем в первый класс, если отрезок А Х не пересекается с плоскостью ос. Точку X отнесем во второй класс, если отрезок А Х пересекается с плоскостью ос. Таким образом, каждая точка X пространства, не лежащая в плоскости ос, будет отнесена в один из классов. Покажем, что это разбиение пространства обладает свойствами, ука­ занными в теореме.

Пусть точки X и У принадлежат первому классу. Прове­ дем через точки А, X и У плоскость ос'. Если плоскость ос' не пересекается с плоскостью а, то отрезок ХУ, лежащий в плоскости а ', тоже не пересекается с этой плоскостью. До­ пустим, плоскость а пересе­ кается с плоскостью а (рис.

149). Так как плоскости раз­ личны, то их пересечение происходит по некоторой пря­ мой а. Прямая а разбивает плоскость ос' на две полуплос­ кости. Точки X и У принадле­ жат одной полуплоскости, именно той, в которой лежит точка А. Поэтому отрезок ХУ не пересекается с прямой а, а

пересекается сос. Точки X и У принадлежат одной полуплос­ кости разбиения плоскости ос прямой а. Следовательно, отрезок ХУ не пересекается с прямой а, а значит, и с пло­

точки X и У лежат в разных полуплоскостях плоскости а относительно прямой а. Поэтому отрезок ХУ пересекается с прямой а, а значит, и с плоскостью а. Теорема доказана.

Замечание к аксиоме 1х. В заключение этого параграфа сделаем одно замечание относительно аксиомы 1Х. Эта ак­ сиома в списке аксиом стереометрии приобретает другой смысл, чем тот, который она имела в планиметрии. В пла­ ниметрии эта аксиома утверждает существование точек вне данной прямой на плоскости, в которой лежит прямая. Именно в таком смысле эта аксиома применялась нами при

130

построении геометрии на плоскости. Теперь аксиома It утверждает вообще существование точек, не лежащих на данной прямой. Из нее непосредственно не следует су­ ществования точек вне данной прямой на данной плоскости,

и проведем через прямую АА ' и точку В плоскость р. Плоскости а и р пересекаются по прямой, проходящей через точку А. Точки этой прямой, отличные от А, лежат в плос­ кости а вне прямой а, что и требовалось доказать.

Упражнения

1. Дана прямая а и не лежащая на ней точка Л. Доказать, что все прямые, проходящие через точку А и пересекающие прямую а, лежат в одной плоскости.

2. Даны две прямые а и Ь, не лежащие в одной плоскости, н точка С, не лежащая ни на одной из этих прямых. Доказать, что через точку С можно провести и притом только одну прямую, пересекающую данные прямые а и 6.

3.Даны прямые а±, а2, а3, ... Доказать, что если любые две из этих прямых пересекаются, то либо все они проходят через одну точку, либо все они лежат в одной плоскости.

4.Доказать, что если любые четыре точки фигуры лежат в одной

плоскости, то фигура плоская, т. е. лежит в плоскости.

5. Даны 2п точек Лх, Л2, ..., Л2П и плоскость а , не проходящая ни через одну из этих точек. Доказать, что плоскость а пересекает не более чем п2 отрезков ApAq, попарно соединяющих данные точки.

§ 19. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Параллельные прямые в пространстве. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

131

Т е о р е м а 19.1. Через точку вне данной прямой можно провести к этой прямой параллельную прямую и притом

лельную а. Докажем, что прямая аи параллельная а, единственная.

Допустим, существует другая прямая а2, проходящая через точку А, и параллельная прямой а. Че­

Рис. 151. рез прямые а и а2 можно провести плоскость а г. Плоскость а г прохо­ дит через прямую а и точку А , следовательно, по теореме 18.1

она совпадает с а. Теперь по аксиоме параллельных заклю­ чаем о совпадении прямых аг и а2. Теорема доказана.

Т е о р е м а 19.2. Если прямая а параллельна прямым b и с, то прямые Ь и с параллельны.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Тот случай, когда прямые а, Ь, с лежат в одной плоскости, был рассмотрен в плани­ метрии. Поэтому предположим, что прямые не лежат в одной плоскости. Пусть Р —плоскость,

в которой лежат прямые а и Ь, а

у— плоскость, в которой лежат прямые а и с. Плоскости р и у различны (рис. 152).

точке А. Точка А принадлежит плоскости у и плоскости у 1( следовательно, лежит на прямой с, по которой эти плоскости пересекаются. Мы пришли к противоречию, так как пря­ мые а и с, как параллельные, не могут иметь общей точки А. Итак, прямая Ьх параллельна прямой а.

По аксиоме параллельных прямая Ь1г будучи параллель­ на прямой а, должна совпадать с прямой Ь. Так как пря­ мая b совпадает с Ьи то прямые Ь и с лежат в одной пло­

132

скости — в плоскости Yj. Они не могут пересекаться. Иначе это противоречило бы теореме 19.1, так как обе они параллельны прямой а. Итак, прямые б и с лежат в одной плоскости и не пересекается, следовательно, параллельны. Теорема доказана.

Параллельность прямой и плоскости. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются.

Те о р е м а 19.3. Плоскость

аи не лежащая в ней прямая а параллельны, если в плоскости а найдется прямая аи параллель­ ная прямой а.

Д о к а з а т е л ь с т в о (рис. 153). Проведем плоскость а, через прямые а и ai. Она отлич­ на от а, так как прямая а не лежит в плоскости а. Плоскости

аи ал пересекаются по прямой

ах. Если бы прямая а пересекала плоскость а, то точка пересечения

принадлежала бы прямой ах. Но это невозможно, так как прямые а и ахпараллельны. Итак, прямая а не пересекает плоскость а, а значит, параллельна плоскости а. Теорема доказана.

Т е о р е м а 19.4. Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна пря­

мой их пересечения.

До к а з а т е л ь с т в о . Пусть

аи р — две данные пересекающиеся плоскости; с — прямая, по которой плоскости пересекаются; сх— пря­ мая, параллельная каждой из пло­ скостей а и р (рис. 154). Требуется доказать, что' прямые с и сх парал­ лельны.

Проведем через прямую сг и какую-нибудь точку прямой с плоскость у. Плоскость у пересека­

133

лежащую на прямой Ь, и точку С на плоскости а. Прове­ дем через точки А, В 2, С плоскость у. Она пересечет пло­

134

пересекают плоскость а,> в которой лежит эта прямая. По аксиоме параллельных прямые Ьг и Ъ2 совпадают. Итак,

данную плоскость, то она пересекает любую плоскость, па­ раллельную данной.

Если плоскость пересекает данную прямую, то она пере­ секает любую прямую, параллельную данной.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Начнем с первого утвержде­ ния теоремы. Пусть а — прямая, пересекающая плоскость Р, a Pi— плоскость, параллельная р. Докажем, что прямая

мой &!. Но это невозможно по аксиоме параллельных. Первое утверждение -теоремы доказано.

Докажем второе утверждение теоремы. Пусть плоскость

апересекает прямую Ь. Докажем, что она пересекает

любую прямую Ьи параллельную Ь. Проведем через прямые 6 и&| плоскость р. Она пересекает плоскость а по прямой а (рис. 157, справа). Если бы плоскость а не пересекала прямуюb1 , то прямыеаиЬ были бы параллельны прямой bt. А это невозможно по аксиоме параллельных. Теорема до­ казана полностью.

Т е о р е м а 19.8. Отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями равны.

Д о к а з а т е л ь с т в о (рис. 158). Пусть а и р — две параллельные плоскости, сг и с2— две пересекающие их

135

параллельные прямые. Пусть прямая сх пересекает плос-

скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

аи ах плоскость а, а через прямыеЪ

иЬхплоскость р. Плоскости а и р различны, так как в про­ тивном случае прямые а и b были бы в одной плоскости. Плоскости а и р параллельны, так как прямые а и ах параллельны плоскости р. Утверждение доказано.

Упражнения

1. Доказать, что три различные плоскости либо пересекаются в од­ ной точке либо проходят через одну прямую, либо параллельны некото­ рой прямой.

2. Доказать, что все прямые, проходящие через данную точку параллельно данной плоскости, лежат в одной плоскости.

136

3. Пусть ах, а 2, as— три параллельные плоскости и а,Ъ — две пря­ мые, их пересекающие. Доказать, что соответствующие отрезки прямых а и Ьмежду плоскостями ах, а2, а 3— пропорциональпы, т. е. если Ах, Аъ А3— точки пересечения прямой а с плоскостями ах, ос2, а 3, а Вх, В2, В3— точки пересечения прямой Ь с этими плоскостями, то

АХА2 _А2А3 __А3АХ

ВХВ2 В2В3 В3ВХ

4. Даны четыре точки, Ах, А2, Л3, Л4, не лежащие в одной плоско­ сти. Доказать, что плоскость, параллельная скрещивающимся прямым Л1 Л2 и Л3Л4, пересекает остальные четыре прямые, попарно соединяю­

щие данные точки в вершинах параллелограмма.

б. Доказать, что геометрическое место середин отрезков с концами на двух скрещивающихся прямых есть плоскость.

6. Даны четыре точки, не лежащие в одной плоскости Л, В, С, D. Доказать, что три прямые, соединяющие середины скрещивающихся отрезков АВ и CD, АС и BD, Ad и ВС, пересекаются в одной точке.

§20. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ

ИПЛОСКОСТЕЙ

Перпендикулярность прямых. Понятие перпендикуляр­ ности для пересекающихся прямых, следовательно, прямых,

дикулярности для скрещивающихся прямых. Для этого

точка пересечения прямых аг и Ьг. Проведем в плоскости параллельных прямых а и ах прямую, параллельную пря­ мой ССХ. Она пересечет прямые а и ах в точках А и Л,.

137

Аналогично, в плоскости прямых б и Ьх проведем прямую параллельную СС, и обозначим через В и В г точки ее пере­ сечения с прямыми б и bi.

Четырехугольники СААХСХ и СВВХСХ суть параллело­ граммы, так как у них противолежащие стороны параллель­ ны. Четырехугольник А В В ХА Х также параллелограмм. У него стороны А А Хи В В Хпараллельны, потому что каж­ дая из них параллельна прямой ССХ. Стороны АВ и А ХВ Х

т. е. прямые ах и Ьх перпендикулярны. Теорема доказана. Две скрещивающиеся прямые называются перпенди­ кулярными, если параллельные им пересекающиеся пря­

прямые (пересекающиеся или скрещивающиеся), парал­ лельные им пересекающиеся прямые перпендикулярны.

Т е о р е м а 20.2. Если прямая а перпендикулярна пря­ мой Ь, то она перпендикулярна любой прямой Ьи параллель­ ной Ь.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Проведем пересекающиеся пря­ мые а 2 и Ь2, параллельные прямым а и & соответственно. Прямые а« и б2 перпендикулярны, так как перпендикулярны прямые а и Ь. По свойству параллельных прямых прямая б2 параллельна Ьх. Следовательно, прямые а и Ьх параллель­ ны пересекающимся перпендикулярным прямым а 2 и б2, а поэтому сами перпендикулярны. Теорема доказана.

Перпендикулярность прямой и плоскости. Прямая назы­ вается перпендикулярной плоскости, если она перпендику­ лярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости. Основной признак перпендикулярности прямой и плоскости дает следующая теорема.

Т е о р е м а 20.3. Если прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости а, то пря­ мая а перпендикулярна плоскости а.

Д о к а з а т е л ь с т в о (рис. 161). Пусть б и с — пере­ секающиеся прямые, лежащие в плоскости а, перпендику­ лярные прямой а. Обозначим через А точку пересечения прямых б и с . Рассмотрим сначала тот случай, когда пря­ мая а проходит через точку А.

138

Проведем произвольную прямую х через точку А в плост кости а и покажем, что она перпендикулярна прямой а. Можно считать, что прямая х отлична от прямых Ъ и с. Отметим на прямой с точки С и D по разные стороны от точки Л, а на прямой Ь точку В, отличную от А. Прямая х пересекает сторону CD треугольника CDB, а следователь­ но, по известной теореме планиметрии пересекает в точке

треугольников А хВХ и AJ3X по первому признаку равен­

Так как прямая а перпендикулярна произвольной пря­ мой, проходящей через точку А, то она перпендикулярна любой прямой хи лежащей в плоскости а. Действительно, для такой прямой хх можно указать параллельную ей прямую х, проходящую через точку А. А перпендикуляр­ ность прямых а и х влечет за собой перпендикулярность прямых а и х г по теореме 20.2. Итак, теорема доказана для того случая, когда прямая а проходит через точку А пере­ сечения прямых b и с.

Рассмотрим общий случай. Пусть прямая а не проходит через точку А. Проведем через точку А прямую парал­ лельную а. Прямая аг перпендикулярна прямым Ь и с по теореме 20.2. Следовательно, прямая ai перпендикулярна

139