книги из ГПНТБ / Погорелов, А. В. Элементарная геометрия

4.Докажите, что площадь треугольника равна половине произве­ дения ее стороны на высоту, проведенную из противоположной вершины.

5.Докажите, что площадь треугольника АВС равна

y4S-i4C'Sin А.

6.Докажите, что площадь трапеции равна произведению полу­ суммы оснований на высоту трапеции.

7.Докажите, что площадь описанного выпуклого многоугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанного круга.

8.Докажите, что при любом разбиении треугольника на мелкие треугольники сумма площадей треугольников этого разбиения равна площади данного треугольника.

9.Докажите, что площадь простой фигуры не зависит от способа

ееразбиения на треугольники при вычислении площади.

10.Как относятся площади подобных фигур?

§ 17. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. ПЛОЩАДЬ КРУГА

Длина окружности. Пусть Р — вписанный в окруж­ ность выпуклый многоугольник, А и В — две его после­

довательные вершины (рис. 139). Возьмем на дуге АВ ок­ ружности точку С и обозначим через Р х многоугольник, вершинами которого являются вершины многоугольника Р

ник, то периметры всех вписан­ ных многоугольников будут меньше периметра этого Описанного многоугольника. В частности, квадрат, опи­ санный около окружности, имеет периметр 8 R. Поэтому периметр любого вписанного многоугольника не больше 8 R.

Длиной окружности мы будем называть наименьшее число, большее периметра любого вписанного в нее много­ угольника.

Каково бы ни было положительное число а, в данную ок­ ружность можно вписать выпуклый многоугольник, периметр

120

которого отличается от длины окружности меньше, чем на а.

Действительно, допустим, что утверждение неверно. Тогда периметр любого вписанного в окружность многоугольника не больше I — а. Следовательно, число / не будет наимень­ шим числом, большим периметра любого вписанного мно­

гоугольника. Число I —у меньше I и тоже больше пери­

метра любого вписанного многоугольника. Мы пришли к противоречию. Утверждение доказано.

Пусть р2 его периметр. Периметры многоугольников Qi и Q2 относятся как радиусы окружностей, т. е. p x= kp2. Так как pC>kl2, а p x=kp2, то р^>12. А это противоречит определению числа 12, которое должно быть больше пери­ метра любого многоугольника, вписанного во вторую ок­ ружность. Итак, длины окружностей относятся как их ра­ диусы или диаметры

l2 Rо d2

Теорема доказана.

Из теоремы 17.1 следует, что

А__К dx d2 ’

т. е. отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от взятой окружности. Это отношение принято обозначать греческой буквой я (читается «пи»). Число я иррациональ­ ное. Приблизительное значение

я = 3 ,1 4 1 6 .

121

Итак, длина окружности определяется по формуле

Г = 2 яД.

( Длина дуги окружности. Радианная мера угла. Длиной дуги окружности мы будем называть наименьшее число, большее длины любой выпуклой ломаной, вписанной в эту

дугу. На рис. 140 мы видим дугу АВ окружности и впи­ санную в нее выпуклую ломаную. Длина дуги окружности часто для краткости на­

зывается просто дугой. Дословно так же, как

— для всей окружности, доказывается, что каково Рис. 140. бы ни было положитель­ ное число а, в данную

дугу окружности можно вписать выпуклую ломаную, длина которой будет отличаться от длины дуги меньше, чем на а.

Т е о р е м а 17.2. Длина дуги I окружности определя­ ется по формуле

»я R

180 а ’

где а — градусная мера соответствующего центрального угла.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Прежде всего докажем, что если точка С разбивает дугу АВ на дуги АС и СВ, то длина

дуги АВ равна сумме длин дуг АС и СВ.

Возьмем малое положительное число а. Впишем в дуги

АВ, АС и СВ ломаные у, уь и у2 так, чтобы их длины отли­ чались от длин дуг меньше, чем на а. Пополним вершины ломаной-у вершинами ломаных ух и у2, а вершины ломаных уг и у2 пополним вершинами ломаной у. Тогда получим

ломаные у', у'х и у ‘„, вписанные в дуги АВ, АС и СВ. Так как пополнение ломаной новыми вершинами только уве­ личивает ее длину, то длины ломаных у', у^ и у2 отличав ются от длин соответствующих дуг тоже меньше, чем на а.

122

Так как числа / и / х + / 3 вполне определенные, а число а может быть взято сколь угодно малым, то это возможно только тогда, если 1=1г+1г. Утверждение доказано.

Докажем теперь, что длина дуги АВ (рис. 141) опреде­ ляется по формуле

где а — градусная мера соответствующего центрального угла.

Возьмем большое целое число N и обозначим через чЗ угол

1OQ

-гг-. Отложим от полупрямой ОА углы, равные Ф, 2#,

ЗФ, . . . . Пусть п — целое от деления а на ■&. Тогда

мы п+ 1 таких дуг, т. е.

R ^ A B < ^ p n R .

Мы видим, что оба числа: длина дуги АВ и число

я п

т. е. не более, чем на -jj- . Так как N можно взять сколь

угодно большим, то отсюда следует, что длина дуги АВ

123

Радианной мерой угла называется отношение длины соот­ ветствующей дуги к радиусу окружности. Из формулы для длины дуги окружности следует, что

1 _ л tf"~T8 6 “ ’

т. е. радианная мера угла получается из градусной умноже­

нием к а щ . В частности, радианная мера угла 180°

равна я, а радианная мера прямого угла равна

~~ Единицей радианной меры углов является радиан. Угол

в один радиан — это угол, у которого дуга равна радиусу.

1 яо° Градусная мера угла в один радиан равна -^ —«57,3°.

Площадь круга и его частей. Кругом с центром О и радиу­ сом R называется фигура, точками которой являются все те точки плоскости, которые на­ ходятся на расстоянии, не большем R, от точки О (рис. 142). Окруж­ ность радиуса R с центром О на­ зывается окружностью, ограничи­

вающей круг.

Площадью круга мы будем на­ зывать наименьшее число, большее площади любого выпуклого мно­ гоугольника, вписанного в окруж­ ность круга.

Т е о р е м а 17.3. Площадь круга равна половине про­ изведения длины ограничивающей ее окружности на радиус, т. е.

S= n R \

До к а з а т е л ь с т в о . Возьмем малое положительное число а. Впишем в окружность круга выпуклый много­ угольник Р так, чтобы его стороны были меньше а (см),

периметр отличался от длины окружности менее чем на а (см), а площадь круга отличалась от площади многоуголь­ ника менее, чем на aR (смг). Для этого сначала построим три многоугольника Р и Р 2 и Р 3 так, чтобы первый много­ угольник удовлетворял первому условию, второй — вто­ рому, а третий — третьему. Теперь, пополняя многоуголь­ ник Pj вершинами многоугольников Р 2 и Р 3, получим мно­ гоугольник Р, удовлетворяющий всем трем условиям.

124

Площадь многоугольника Р мы получим, суммируя площади треугольников с общей вершиной в центре круга и противолежащими сторонами на сторонах многоугольни­ ка Р (рис. 143). Рассмотрим площадь одного такого тре­ угольника ОАВ. Имеем

S ( O A B ) = \ АВ-ОС.

Так как ОА>ОС>ОА — АС, то

± А В (R — a) < S (ОАВ) < ± А В .R.

Складывая площади всех треуголь­ ников, получим

i - p ( R - a ) < S ( P ) < - L p R ,

где р — периметр многоугольника Р, a S(P) — его площадь. Если в правой части этого неравенства периметр р заменить длиной окружности /, а в левой части величи­ ной I — а, то неравенство только уси­

лится:

или

i l R -

Из этого неравенства видно, что площадь многоуголь-

ника S(P) отличается от -у меньше, чем на - ' ^ ■.

Так как по построению она отличается от площади круга

Круговым сектором называется часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла (рис. 144). Площадь кругового сектора определяется по формуле

а

S = nR2ЗбО'

125

где R — радиус круга, а а — градусная мера соответствую­ щего центрального угла. Доказательство этой формулы ана­ логично доказательству формулы для длины дуги окруж­ ности.

Круговым сегментом называется общая часть круга и полуплоскости (рис. 145). Площадь сегмента, не равного

Вопросы для повторения и упражнения

1.Что такое длина окружности?

2.Докажите, что, каково бы ни было положительное число а, су­

ществует вписанный многоугольник, периметр которого отличается ог длины окружности меньше, чем на а.

3.Что такое длина дуги окружности?

4.Докажите формулу для длины окружности l=2nR.

5. Докажите, что если точка С разбивает дугу АВ окружности на дуги АС и СВ, то длина дуги АВ равна сумме длин дуг ЛЙ и СВ.

6.Выведите формулу для длины дуги окружности.

7.Что такое радианная мера угла? Чему равна радианная мера углов 30° и 45° ?

8.Дайте определение площади круга.

9.Докажите, что каково бы ни было положительное число а, существует вписанный выпуклый многоугольник, площадь которого

11.Что такое круговой сектор? По какой формуле определяется площадь кругового сектора?

12.Что такое круговой сегмент? По какой формуле определяется площадь кругового сегмента?

12Ь

Ч А С Т Ь В Т О Р А Я

СТЕРЕОМЕТРИЯ

§ 18. АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ И НЕКОТОРЫЕ ИХ СЛЕДСТВИЯ

Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изу­ чаются фигуры в пространстве. В стереометрии, так же как и в планиметрии, свойства геометрических фигур уста­ навливаются путем доказательства соответствующих тео­ рем. При этом отправными являются свойства простейших геометрических фигур, выражаемые аксиомами. Простей­ шими фигурами в пространстве являются: точка, прямаян плоскость. Введение нового геометрического образа, пло­ скости, заставляет расширить систему аксиом. Именно, мы вводим группу аксиом С, которая выражает основные свой­ ства плоскостей в пространстве. Эта группа состоит из сле­ дующих трех аксиом.

Ci. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлеоюсщие этой плоскости, и точки, не принадлежа­ щие ей.

С,. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

Этой аксиомой утверждается, что если две различные плоскости а и р имеют общую точку С, то существует пря­ мая с, принадлежащая каждой из этих плоскостей. При этом если точка С принадлежит обоим плоскостям, то она принадлежит прямой с.

С3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и притом только.одну.

Это значит, что если две различные прямые а и Ь имеют общую точку С, то существует плоскость у, содержащая прямые а и Ь. Плоскость, обладающая этим свойством, един­ ственная.

Таким образом, система аксиом стереометрии состоит из аксиом планиметрии и группы аксиом С. Для удобства из­ ложения напомним аксиомы планиметрии первых двух групп.

127 '

1г. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

12. Каковы бы ни были две точки, существует ипритом единственная прямая, проходящая через эти точки.

Чг. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

112. Точка, принадлежащая прямой, разбивает прямую на две полупрямые. Точки одной полупрямой не разделяются точкой, производящей деление. Точки разных полупрямых разделяются этой точкой.

П3. Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекается с прямой. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекается с прямой.

Некоторые следствия аксиом стереометрии. Т е о р е ­ ма 18.1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно

апровести плоскость и при­ том только одну.

До к а з а т е л ь с т в о . Пусть а — данная прямая

иВ — не лежащая на ней точка (рис. 146). Отметим на прямой а какую-нибудь точку А. Такая точка суще­ ствует по аксиоме Ii. Про­ ведем через точки А и В

прямую b (аксиома 12). Прямые а и b различны, так как точка В прямой b не лежит на прямой а. Прямые а и b имеют общую точку А. Проведем через прямые а и р плоскость а (аксиома С3). Эта плоскость проходит через прямую а и точку В.

Докажем теперь, что плоскость а, проходящая через прямую а и точку В, единственная. Допустим, что суще­ ствует другая, отличная от а, плоскость а ', проходящая через прямую а и точку В. По аксиоме С2 плоскости а и а', будучи различны, пересекаются по прямой. Следовательно, любые три общие точки плоскостей а и а ' лежат на прямой. Но точка В и две точки прямой а заведомо не лежат на одной прямой. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана полностью.

Т е о р е м а 18.2. Если две точки прямой принадле­ жат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плос­ кости. .

128.

Д о к а з а т е л ь с т в о (рис. 147). Пусть а — данная прямая и а — данная плоскость. По аксиоме П существует точка Л, не лежащая на прямой а.

Проведем через прямую а и точ­ ку А плоскость а '. Если плос­ кость а! совпадает с а, то пло­ скость а содержит прямую а, что и утверждается теоремой. Если плоскость а ' отлична от а, то эти плоскости пересекаются по пря­ мой а', содержащей две точки прямой а. По аксиоме 12 прямая

а' совпадает с п и , следовательно, прямая а лежит в пло­ скости а. Теорема доказана.

Из теоремы 18.2 следует, что плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекаются либо пересекаются в одной

данные три точки, не лежащие на одной прямой. Проведем прямые АВ и АС. Эти пря­ мые различны, так как точки А, В, С не лежат на одной прямой. По аксиоме С3 через прямые АВ и АС можно провести плоскость.

а, проходящая через точки А, В, С, единственная. Действительно, плоскость, проходя­ щая через точки А, В, С, по теореме 18.2 содержит прямые АВ и ЛС. А по аксиоме С3 такая плоскость единственная.

Разбиение пространства плоскостью на два полупростран­ ства. Т е о р е м а 18.4. Плоскость разбивает пространство на два полупространства. Если точки X и Y принадлежат одному полупространству, то отрезок X Y не пересекается с плоскостью. Если же точки X и Y принадлежат разным полупространствам, то отрезок X Y пересекается с плос­ костью.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а — данная плоскость. Отметим точку Л , не лежащую на плоскости а. Такая точка существует по аксиоме Ci. Разобьем все точки пространства,

129