книги из ГПНТБ / Погорелов, А. В. Элементарная геометрия

Допустим, после посева выяснилось, что на первый участок пошло т кг зерна, а на второй п кг зерна. Естественно счи­

тать, что второй участок в ^ раз больше первого. Число,

указывающее, во сколько раз второй участок больше пер­ вого, мы будем называть площадью второго участка. Пер­ вый участок является единицей измерения. Из этого опре­ деления понятия площади получаются следующие ее

свойства.

Во-первых, так как для засева каждого участка требуется определенное количество зерна, то каж­ дый участок имеет опре­ деленную площадь.

Во-вторых, для засева равных участков потребует­ ся, одно и то же количест­

во зерна, поэтому равные участки имеют равные площади.

В-третьих, если данный участок разбить на две части, то количество зерна, необходимое для засева всего участка, будет состоять из количества зерна, необходимого для засева его частей. Поэтому площадь всего участка равна сумме площадей его частей.

По данному нами определению для того, чтобы узнать площадь участка, надо на нем сделать посев. В жизни, од­ нако, требуется решать как раз обратную задачу. Требуется узнать количество зерна, необходимое для посева до того, как сделан посев. Если бы мы знали площадь участка, то это количество зерна мы получили бы, умножая площадь участка на количество зерна, необходимое для засева еди­ ницы площади. Как же узнать площадь участка?

. Сейчас мы докажем, что отмеченные нами три свойства площади полностью ее определяют и найдем формулы для определения площадей простых фигур.

Фигуру мы будем называть простой, если ее можно раз­ бить на треугольники. В частности, такие фигуры, как па­ раллелограмм, трапеция, выпуклый многоугольник, явля­ ются простыми.

Площадь прямоугольника. Определим сначала площадь прямоугольника. На рис. 130 изображен квадрат, являю­ щийся единицей измерения площади, и прямоугольник, площадь которого надо измерить.

V

112

Докажем теперь, что произведение ab заключено между теми же числами. Действительно, m q ^ . a<L (m+\)q, nq^.tXi(n+ l)q. Отсюда следует, что

mnq2^ .a b < (m -f l)(n + l)? a.

Так как оба числа, S и ab, заключены между числами mnq2 и ( т + 1 ) (n + 1 ) q2, то они отличаются не более чем на

(m-f-1 ) (д + 1 ) q2— mnq2, т. е. не более чем на mq2+ nq2+ q2.

Так как m q^a, nq^.b, то отсюда следует, что 5 и ab отли­ чаются не более чем на aq+bq-\-q2. Если число N взять до­

статочно большим, то число aq+bq+qа, равное ^• + ^■ + • ^ 5 >

будет сколь угодно малым. Получается, что числа 5 и ab отличаются как угодно мало. Но это может быть только тогда, когда они равны.

Следовательно, площадь прямоугольника со сторонами а, b

S — ab.

Здесь а и b измеряются стороной квадрата, принятого за еди­ ницу измерения площади.

Площади простейших фигур. Определим площадь па­ раллелограмма. Пусть ABCD — данный параллелограмм (рис. 131). Если он не является прямоугольником, то один из его углов, А или В, острый.

FС сумме площадей параллелограмма ABCD и треугольника ADE.

прямоугольника ABFE и треугольника BCF. Прямоуголь­ ные треугольники ADE и BCF равны, а значит, имеют рав­ ные площади. Отсюда следует, что площадь параллело­ грамма ABCD равна площади прямоугольника ABFE, т. е. равна AB-BF. Отрезок BF называется высотой па­ раллелограмма, соответствующей сторонам АВ и CD.

Следовательно, площадь параллелограмма равна произ­ ведению его стороны на высоту, соответствующую этой стороне.

114

Определим площадь треугольника. Пусть АВС —данный треугольник (рис. 132). Дополним этот треугольник до па­ раллелограмма ABCD, как указано на рисунке. Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников АВС и CDА. Так как эти треуголь­

ники равны, то площадь паралле­ лограмма равна удвоенной пло­ щади треугольника АВС. Высота параллелограмма, соответствующая стороне АВ, равна высоте треуголь­ ника АВС, проведенной к стороне

АВ.

Отсюда следует, что площадь треугольника равна половине про­

изведения егостороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Определим площадь трапеции. Пусть ABCD — данная трапеция (рис. 133). Диагональ трапеции АС разбивает ее на два треугольника, АВС и CDА. Следовательно, пло­ щадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников.

она составлена. Но простую фигуру можно по-разному разбивать на треугольники. Поэтому возникает вопрос: не зависит ли площадь фигуры от способа разбиения на треугольники. Мы докажем, что площадь простой фигуры не зависит от способа разбиения на треугольники.

Прежде всего докажем, что площадь треугольника не зависит от того, какую брать сторону и соответствующую ей высоту при вычислении площади. Пусть АВС — данный треугольник (рис. 134). Проведем его высоты ССХ и ВВ ,.

Прямоугольные треугольники ЛСХС и А В гВ подобны, так как у них угол А общий. Отсюда следует

Следовательно, при вычислении площади треугольника АВС получается один и тот же результат, берем ли мы сторону АС и высоту ВВг или сторону А В и высоту ССг.

Докажем теперь, что при разбиении треугольника на более мелкие треугольники его площадь равна сумме пло­ щадей треугольников этого разбиения независимо от способа разбиения. Сначала рассмотрим разбиение, показанное на

В

Рис. 134.

рис. 135. Здесь треугольник АВС разбит на треугольники CADU CDJD«, CD2D3, . . . Все треугольники имеют общую высоту h, проведенную из их общей вершины С. Она же является высотой треугольника АВС.

Сумма площадей треугольников разбиения будет

Так как AD 1+ D 1D i+ D iD3+- . .= AB , то сумма площадей треугольников нашего разбиения равна , т. е. пло­

щади треугольника АВС.

Рассмотрим теперь произвольное разбиение треуголь­ ника АВС на мелкие треугольники. Допустим, что любые два треугольника этого разбиения либо не имеют общих точек, либо имеют общую вершину, либо общую сторону. Такое разбиение показано, например, на рис. 136.

На рис. 137 показан один треугольник разбиения PQR. Площадь треугольника PQR можно представить в виде ал­ гебраической суммы площадей трех треугольников APQ,

116

где ХУ — сторона треугольника разбиения. Если отрезок X Y лежит внутри треугольника АВС, то площадь тре­ угольника A X Y входит в нашу сумму дважды, потому что X Y является стороной двух треугольников разбиения. Так как эти треугольники расположены по разные стороны от прямой X Y , то один раз площадь треугольника A X Y вхо­ дит со знаком «+», а второй раз со знаком «—». Таким обра­ зом, эти слагаемые сокращаются.

Если отрезок ХУ лежит на стороне ВС треугольника АВС, то площадь треугольника A X Y входит в нашу сумму только один раз, причем со знаком «+». Если же сторона ХУ лежит на АВ или АС, то площадь A X Y просто равна нулю. В итоге сумма площадей треугольников нашего раз­ биения равна сумме площадей треугольников A X Y со сторонами ХУ на стороне ВС треугольника АВС. Но было доказано ранее, что эта сумма равна площади треуголь­ ника АВС. Итак, площадь треугольника АВС равна сумме площадей треугольников любого разбиения.

Пусть теперь простая фигура F разбита в одном случае на треугольники А*, Ад, Ад, . . ., а во втором случае на

118

ков и первого и второго разбиения фигуры F равны сумме площадей треугольников Д*". Таким образом, суммы.пло­ щадей треугольников первого и второго разбиения равны, т. е. площадь фигуры F не зависит отспособа разбиения ее на треугольники.

Площади подобных фигур. Пусть Ft и Ft—две подобные простые фигуры. Выясним, как относятся площади этих фигур. Так как фигуры подобны, то существует преобразо­ вание подобия, при котором фигура F y переходит в F%.

Разобьем фигуру Fx на треугольники Д^, А'г, Аз, . . .

разбиения фигуры F2. Площадь фигуры Fy равна сумме

т. е.'площади подобных фигур относятся как квадраты соот­ ветствующих линейных размеров.

Вопросы для повторения и упражнения

1.Сформулируйте свойства площади.

2.Докажите, что площадь прямоугольника равна ab, где а и 6 —

стороны прямоугольника.

3. Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, соответствующую этой стороне.

119