Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Погорелов, А. В. Элементарная геометрия

.pdf
Скачиваний:
38
Добавлен:
19.10.2023
Размер:
7.63 Mб
Скачать

Применяя к нему теорему Пифагора, получим

А В* = АС2+ ВС2 = 2ВС2- 2АС2.

Отсюда sin 45° = -j^Lt , соз45° = -^=-. Следовательно,

tg 45°= 1. Построим теперь равносторонний треугольник АВС (рис. 115). У него все углы равны. Следовательно, каждый

А

В

из'них равен 60°. Проведем медиану BD треугольника. Она является биссектрисой и высотой. Поэтому в треугольнике ABD угол ADB прямой, а угол ABD равен 30°. Так как

АС

1

AD=~y

, то sin 30°=-2-. По теореме 14.1 отсюда находим,

что cos 3 0°= ^ у - . После этого tg 30°= у ~ .

Формулы приведения позволяют найти синусы, косину­ сы и тангенсы ряда других углов: 60°, 120°, 135°, 150°, вы­ разив их через синусы, косинусы и тангенсы углов 30° и 45°.

Для синусов, косинусов и тангенсов острых углов сос­ тавлены специальные таблицы. Эти таблицы позволяют по данному углу найти соответствующий ему синус, косинус или тангенс, а также по заданному синусу,-косинусу или тангенсу найти соответствующий угол.

Теорема 14.4 позволяет с помощью таблиц ,найти все элементы прямоугольного треугольника, т. е. его углы и

стороны, если известны два катета,

гипотенуза и катет,

острый угол и катет, острый угол и гипотенуза.

Теорема косинусов. Т е о р е м а

14.6. В любом тре­

угольнике АВС

 

АВ 2= АС2+ ВС2— 2АС -ВС -cos С.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если угол С равен 90°, то утверждение теоремы следует из теоремы Пифагора, так как cos 90°=0.

юо

Пусть С — острый угол (см. рис. 101). Тогда по теореме

13.3

АВ* = АСа + 5Са—2ВС - CD.

По теореме 14.4 в применении к треугольнику ACD имеем CD — АС-cos С. Поэтому

ЛБа = ЛСа + БСа —2ВС-ЛС-cos С.

Пусть теперь С — тупой угол (см. рис. 100). По теореме

13.2

ЛВа = ЛСа + ВСг + 2BC-CD.

По теореме 14.4 в применении к треугольнику ADC имеем CD=АС-cos {/AC D ). Но угол ACD дополняет угол С треугольника АВС до 180°. Поэтому по теореме 14.3 cos(/A C D )= —cos С и, следовательно, /IC-cos С = CD. Таким образом, и в случае тупого угла

АВг = ЛСа-Ь BC2-2BC -AC -cosC .

Теорема доказана.

 

14.7. В любом треуголь­

Теорема сиНусов. Т е о р е м а

нике АВС

 

 

sin A

sin В _

sin С

~ВС~ ~

АС ~

АВ

Д о к а з а т е л ь с т в о . Опишем около треугольника АВС окружность. Пусть В,— точка окружности, диаме­ трально противоположная точке В окружности (рис. 116).

Если точки А и В, лежат по одну сторону от прямой ВС (рис. 116, слева), то углы BBtC и ВАС равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Если

-101

точки А и B t лежат по

разные стороны от прямой ВС

(рис. 116, справа), то эти

углы дополняют друг друга до

180°, ибо опираются на дополнительные дуги. В обоих слу­

чаях s in B ^ sin Л. Таким образом,

В С = 2 # зтЛ .

 

Аналогично доказывается,

что

A B =2#sinC и

ЛС=

= 2^ sin В. Сопоставляя полученные три формулы,

заклю­

чаем, что

 

 

 

 

sin Л

sin fl

sin С

1

 

ВС

~~АС

 

 

 

Теорема доказана.

Теорема косинусов и теорема синусов дают возможность найти все элементы треугольника, т. е. его углы и стороны, если заданы три элемента, однозначно определяющие тре­ угольник. Такими тремя элементами являются: три стороны треугольника, две стороны и угол, заключенный между ни­ ми, сторона и два угла.

Вопросы для повторения и упражнения

1. Дайте определение тригонометрических функции sin a, cos а,

tg а.

2.Докажите теорему: sin2a + c o s2a = 1.

3.Докажите формулы приведения:

sin (90°— a) = c o sa , cos (90° — a) =

sin a ,

tg (90°— a) =

 

 

 

 

t g a ’

 

sin (180° — a) =

sin a, cos (180° — a) = — cos a.

4.

Докажите, что в прямоугольном треугольнике АВС с прям

углом С

AC = ABcosA,

BC = A CigA .

 

ВС = АВ sin А,

6.

Докажите, что

 

 

 

 

s i n 4 5 ° = ~ ,

cos 45° =

,___

tg 45° = 1,

 

у т

/

2

 

 

sin 30° = -i-,

cos 3 0 ° = ^ | - ,

tg 3 0 ° = - ^ .

 

 

 

 

|C3

6. Найдите тригонометрические функции углов 60°, 120°, 135°,

7.Сформулируйте и докажите теорему косинусов.

8.Сформулируйте и докажите теорему синусов.

. 9. Какие три элемента треугольника однозначно определяют треугольник?

10. Найти радиус окружности, описанной около треугольника, если у него одна сторона равна 1 см, а противолежащий этой стороне угол равен 30°.

102

§

15. МНОГОУГОЛЬНИКИ

 

 

 

 

 

 

 

Выпуклые многоугольники. Многоугольником А ХА г . . . Ап

называется фигура, которая состоит из точек А х, А 2,

. . . ’, Ап

и

соединяющих

их

отрезков

А ХА 2,

А 2А 3, . .

АпА х

(рис. 117). Точки

А и

Ап,

. . .,

Ап

на­

 

 

 

зываются вершинами многоугольника, а

 

 

 

отрезки А хАп,

А 2А 3,

 

. . .,

АпА х

на­

 

 

 

зываются его сторонами. Две вершины

 

 

 

называются соседними,

если

они

со­

 

 

 

единяются стороной многоугольника. У

 

 

 

каждой вершины есть две соседние с ней

 

 

 

вершины.

прямых

 

А ХА 2,

А 2А 3, . . .

 

 

 

..

Каждая из

 

Рис. 117.

 

., АпА , разбивает плоскость

на две

 

 

 

полуплоскости.

Многоугольник

А ХА 3 . . . А П называется

выпуклым, если

он

располагается в

одной полуплоскости

относительно

каждой

из

этих

прямых,

причем

каждая

 

 

 

прямая АрАр+х не имеет других общих

 

 

 

точек

с многоугольником, кроме

от­

 

 

 

резка АрАр+х (рис. 118).

концы

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

15.1. Если

 

 

 

ломаной

В ХВ 2. .

.Вп

лежат в разных

 

 

 

полуплоскостях

относительно пря­

 

 

 

мой Ь, то ломаная пересекает пря­

 

 

 

мую Ь.

 

 

 

 

Следуя

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

 

 

вдоль

ломаной

от

вершины

В,

к

 

 

 

В„

мы встретим две

соседние верши­

ны, лежащие в разных полуплоскостях относительно пря­ мой Ь. Звено ломаной, соединяющее эти вершины, пере- • секается с прямой Ь. Следовательно, ломаная пересекает прямую Ь.

Те о р е м а 15.2. Если прямая имеет три общие точки

свыпуклым многоугольником, то она содержит одну из его сторон.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть А, В, С — три точки прямой а, принадлежащие многоугольнику. Пусть, для определенности, точка В лежит между А и С. Точка В при­ надлежит одной из сторон многоугольника. Утверждаем, что эта сторона принадлежит прямой а. Действительно, в противном случае прямая, содержащая эту сторону, раз­ деляет точки Л и С. А это противоречит условию выпукло­ сти многоугольника. Теорема доказана.

103

Сумма углов выпуклого многоугольника. Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий две

иесоседние вершины.

На рис. 119 пунктир обозначает диа­

гональ многоугольника.

 

 

 

Т е о р е м а

15.3. Диагональ А хА р разбивает выпуклый

многоугольник

А ,А 3

. . ,Ап на два выпуклых многоуголь­

ника А ХА 2

. .

.А 0

и АрАр+х. . .АпА 1. Эти многоугольники

 

 

 

 

лежат в разных полуплоскостях от­

 

 

 

 

носительно прямой А хАр. Полупря­

 

 

 

 

мая А, Ар проходит между

полу­

 

 

 

 

прямыми А ХА о и А ХА„.

 

По

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

 

 

 

 

теореме 15.2 прямая А, Ар не

имеет

 

 

 

 

других общих точек с ммогоуголь-

Рис.

119.

 

ником, кроме точек

А х и Ар.

По

 

 

 

 

теореме 15.1 ломаная

А , А г .

. .

Ар

лежит по одну сторону от прямой А ХА . Так

как исходный

многоугольник лежит по одну сторону от каждой из прямых А ХА 2, А»А3, . . ., то этим свойством обладает и многоуголь­ ник А ХА з . . . Ар. Таким образом, многоугольник А хА а,. .Ар выпуклый. Аналогично доказывается выпуклость мно­ гоугольника АрАр+х. . .АпА х.

Докажем остальные утверждения теоремы. Полупрямая АуАр лежит в одной полуплоскости с полупрямой А ХА* относительно прямой А хАп и в одной полуплоскости с по­ лупрямой А хАп относительно прямой А ХА». Это значит, что полупрямая А хА р проходит между полупрямыми А ХА.. и

А 1 Ап. Следовательно, эти

полупрямые

разделяются

пря­

мой А хАр.

образом, точки

А г и Ап лежат в разных полу­

Таким

плоскостях

относительно прямой А хАр.

А это значит,

что

многоугольники А ХА 2 . . .

Ар и Ар Ар+Х . . . АпАх лежат

в разных

полуплоскостях

относительно прямой А хАр.

Теорема доказана.

 

Пусть

А — вершина выпуклого многоугольника и

В, С — соседние с ней вершины. Внутренним углом мно­ гоугольника при вершине А называется угол между полу­ прямыми АВ и АС. Внешним углом многоугольника назы­ вается угол, смежный внутреннему.

Т е о р е м а 15.4. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна (п—2)180°, где п — число сторон или вершин многоугольника.

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника не зави­ сит от п и равна 360°.

104

Д о к а з а т е л ь с т в о . Каждый треугольник является выпуклым и для него-теорема верна, так как (3—2)180°= = 180°. Будем вести доказательство теоремы методом-ма­ тематической индукции. Допустим, что теорема верна для всех многоугольников с числом сторон, меньшим п. Докажем, что она верна для многоугольника .с п сто­ ронами.

Пусть Q — многоугольник с п сторонами. Соединим две его несоседние вершины А и В диагональю АВ. По теореме 15.3 мы получим два многоугольника Qi и Q2 с числом сторон п1 и п2, причем tii< n , п2< .п, fti+ /t* = n + 2 . Так как диагональ АВ проходит между соседними сторо­ нами с общей вершиной А, то внутренний угол при вер­ шине А многоугольника Q равен сумме внутренних углов многоугольников Qx и Q2 при вершине А. Аналогично угол при вершине В многоугольника Q равен сумме углов мног

гоугольников Qx

и Q2 при

вершине В. Отсюда

следует,

что сумма углов

многоугольника

Q равна (п-х—2)180°+

+ (/г»—2)180°=(д—2)180°.

Первое

утверждение

теоремы

доказано.

 

 

 

 

Так как внешний угол многоугольника является смеж­ ным соответствующему внутреннему углу, а сумма смежных углов равна 180°, то сумма внешних углов многоугольника равна 180°л—(п—2)180°, т. е. 360°.

Теорема доказана.

Пополненный многоугольник. Вы­ пуклая ломаная. Пусть A tA 2 . . .Ап— выпуклый многоугольник. Каждая из прямых АхАо, А 2А 3, . . ., АпАх раз­ бивает плоскость на две полуплос­ кости. Отметим ту из них, которая содержит многоугольник. Мы будем говорить, что точка X лежит внутри

многоугольника, если она принадлежит каждой из отме­ ченных полуплоскостей и не принадлежит многоугольнику.

Часто многоугольником называют фигуру, которая со­ стоит не тдлько из сторон и вершин, но также из точек пло­ скости, лежащих внутри многоугольника. Многоугольник в этом смысле мы будем называть пополненным многоуголь­ ником. Сам многоугольник образует границу пополненного многоугольника. На рис. 120 пополненный многоугольник заштрихован.

Пусть Рх и Р 2 — два выпуклых многоугольника, Р[. и

Р' - соответствующие им пополненные многоугольники.

г г

105

,Мы, будем говорить, что многоугольник Р г расположен внутри многоугольника Р 2, если каждая точка пополнен­ ного многоугольника Р[ принадлежит пополненному мно­ гоугольнику Р'й. Периметром многоугольника называется

сумма длин его

сторон.

Т е о р е м а

15.5. Если выпуклый многоугольник Р i

содержится внутри выпуклого многоугольника Р 2, то пери­

 

метр Р 1 не больше периметра

Р 2.

 

Если многоугольник Pi

не

совпадает

 

с Р г, то его периметр

меньше

пери­

 

метра Р 2.

 

Прове­

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

дем прямую а, содержащую какую-

 

нибудь сторону многоугольника

P t

 

(рис. 121). Многоугольник

Р,

распо­

 

ложен по одну сторону этой прямой.

Рис. 121.

Многоугольник Р 2 либо расположен

 

по одну сторону прямой а, либо есть

 

точки многоугольника

Р 2,

лежащие

по разные стороны от прямой а. Во вотором случае а пересе­ кает многоугольник Р 2 в двух точках, А и В. Действитель­ но, пусть С и D — точки многоугольника Р 2, лежащие по разные стороны от прямой а. Точки С и D разбивают мно­

гоугольник Р 2

на две ломаные. По теореме 15.1

каждая из

них пересекает прямую а.

два много­

Прямая а

разбивает многоугольник Р 2 на

угольника. Пусть Qt— тот из них, который лежит в одной полуплоскости с Р, относительно прямой а. Многоугольник Q2 содержит внутри многоугольник Р, и имеет периметр меньший, чем периметр многоугольника Р 2. Действительно, переход от многоугольника Р 2 к Q2 связан с заменбй лома­ ной отрезком АВ, соединяющим ее концы.

Проделав такое построение с каждой стороной много­ угольника Pi, мы получим, в конце концов, из многоуголь­

ника Р 2 многоугольник Р,.

Отсюда следует,

что если мно­

гоугольник Р 1

не совпадает с

Р 2, то он

имеет периметр,

меньший периметра Р 2.

 

 

 

 

 

Теорема доказана.

 

называется

выпуклой,

если

Ломаная у:

А ХА 2 . . . Ап

многоугольник

Р: A i A z ..

. Ап выпуклый.

Ломаная

у':

A i A S A j . . .А„

называется

объемлющей

для выпуклой

ломаной у, если обе ломаные проходят в одной полупло­ скости относительно прямой Л,А, и ломаная у' не содержит внутренних точек многоугольника Р (рис. 122).

106

Т е о р е м а 15.6. Ломаная у', объемлющая выпуклую ломаную у, имеет длину не меньшую, чем у. Если ломаные не совпадают, то у имеет большую длину.

Д о к а з а т е л ь с т в о (рис. 123). Проведем через звено ломаной у прямую а. Следуя вдоль ломаной у ’ из ее начальной точки А в конечную точку В, отметим первую и последнюю точки ломаной у ’ , принадлежащие прямой а. Пусть это будут точки С и D. Заменим участок CD ломаной

у' прямолинейным отрезком CD. Полученная при этом ло­ маная также объемлет ломаную у и имеет длину, не боль­ шую у', причем заведомо меньшую, если у ломаной у' есть точки по разные стороны от прямой а. Проделав эту опе­ рацию столько раз, сколько звеньев у ломаной у, мы придем, в конце концов, к ломаной у. Отсюда следует, что ломаная у' имеет длину не меньшую, чем у. Если ломаная у' не сов­ падает с у, то она имеет большую длину.

Теорема доказана.

Правильные многоугольники. Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него стороны равны и углы равны. Так как сумма внешних углов выпуклого много­

угольника равна 360°, а

сумма внутренних углов

равна

(п — 2)180°, то внешние

углы правильного «-угольника

равны —— , а внутренние

равны i

^----- .

 

Правильные выпуклые п-угольники с равными сторонами

равны, т. е. многоугольники совмещаются движением.

пра­

Пусть Р г: А , А 2 . . ,Ап и Р 2: ВуВ2.

. ,Вп— данные

вильные «-угольники. Совместим движением отрезок ВуВ2

с отрезком А

ХА

так,

чтобы многоугольник

Р 2 был

по

ту же

сторону

от прямой А ХА 2, что и многоугольник

Ру.

Такое

движение

можно

получить, например,

следующим

образом.

Сначала зеркальным отражением относительно перпен­ дикуляра к середине отрезка АуВх совместим точку В\ с

107

Л г. При этом точка В 2 перейдет в некоторую точку В'. Теперь зеркальным отражением относительно перпенди­

куляра

к середине отрезка

Л 2Р 2'

совместим точку

В2

с А 2.

Если многоугольники

Р 2 и

Р, расположены

в

разных полуплоскостях относительно прямой АуА2, то применим еще зеркальное отражение относительно этой прямой.

Утверждаем, что многоугольники Р , и Р 2 после указан­ ного совмещения их сторон В,В2 и Л ,Л 2 полностью совме­ щаются. Действительно, так как углы А 2Л3 и В ХВ 2В3 равны, то полупрямые Л2Л3 и В 2В3 совпадают. Так как отрезки Л 2Лз и В2В3 равны, то точки Вя и Л3 совпадают. Оба многоугольника расположены в одной полуплоскости относительно прямой Л2Л3, именно в полуплоскости, где

лежит их общая вершина Л,. После этого таким же спосо­ бом заключаем о совпадении

вершин S, и Л(,

В,

и Л, и

т. д., т. е. многоугольники Р,

и Р 2 совмещены.

15.7.

Пер­

Т е о р е м а

пендикуляры, проведенные че­

рез середины сторон правиль­

ного многоугольника,

и бис­

сектрисы

внутренних

углов

являются

осями

симметрии

(рис. 124)

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а — перпендикуляр к стороне Л 1 Л 2 правильного многоугольника Р\ АХЛ2. . ,Л„. Симметрия относительно прямой а переводит многоугольник Р в многоугольник Р': Л2Л ,ЛЯ'Л /. . .Л„'. Оба многоуголь­

ника,

Р и Р',

расположены по одну сторону от прямой

Л 1 Ло.

Так же как н в предыдущем рассуждении, заключаем,

что Л3

совпадает

с Л3, А'п совпадает с Л„ и так далее. А это

значит, что симметрия относительно прямой а переводит многоугольник Р в себя, т. е. прямая а является осью сим­ метрии. В случае биссектрис углов доказательство анало­ гично.

* Теорема доказана.

Вписанные и описанные многоугольники. Выпуклый многоугольник называется вписанным в окружность, если его вершины лежат на некоторой окружности. Выпуклый многоугольник называется описанным около окружности, если его стороны касаются некоторой окружности.

• 108

Т е о р е м а 15.8. Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около ок­ ружности.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть A iA 2. . .Ап — данный правильный многоугольник. Проведем окружность k через точки Ai, А 2, А 3 (рис. 125). Ее центр О лежит на перпен­ дикуляре а к отрезку А 2А 3, проведенном через его середину. Прямая а является осью симметрии многоугольника и осью симметрии окружности /г. Следовательно, вершина А 4, симметричная вершине А, относительно прямой а, лежит на окружности к. Далее берем

точки

А л,

А 3, А4 и

таким

же

способом заключаем,

что А й ле­

жит на окружности, проходящей

через эти точки,

т. е.

на окруж­

ности

k.

И

так

далее. В итоге

получается,

что

все

точки

A lt

А 2, ■■., Ап лежат на окружности

k, т. е. эта

окружность

явля­

ется описанной около много­

угольника.

 

 

 

 

тре

Все

равнобедренные

 

угольники

 

/1 ,0 /4 2 ,

 

А 30А 3,

А3ОА4, . . .

равны, так

как у

них

основания

/4,/42,

А«А3,

как радиусы.

А 3А 4,

. . . равны, а боковые стороны равны

Следовательно,

высоты

этих треугольников,

проведенные

из вершины О, равны. Окружность с центром О и радиусом, равным этим высотам, касается всех сторон многоуголь­ ника, т. е. является вписанной окружностью. Теорема доказана.

Подобные многоугольники. Согласно общему опреде­ лению подобия фигур два многоугольника подобны, если один многоугольник переводится в другой преобразованием подобия.

Те о р е м а 15.9. Правильные выпуклые многоугольники

содинаковым числом сторон подобны.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

Р: A ZA 3 . . .Ап,

Q :S ,5 2. ■п— данные правильные многоугольники. Обоз­

начим через

/4 ,/4

отношение их

сторон. Подвергнем

 

В,В.

 

 

 

многоугольник Q преобразованию гомотетии относительно центра описанной окружности с коэффициентом гомотетий kv Тогда получим правильный многоугольник Q': В\Вг' , . ,В'„

109

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ