книги из ГПНТБ / Погорелов, А. В. Элементарная геометрия

Пусть С — острый угол (см. рис. 101). Тогда по теореме

13.3

АВ* = АСа + 5Са—2ВС - CD.

По теореме 14.4 в применении к треугольнику ACD имеем CD — АС-cos С. Поэтому

ЛБа = ЛСа + БСа —2ВС-ЛС-cos С.

Пусть теперь С — тупой угол (см. рис. 100). По теореме

13.2

ЛВа = ЛСа + ВСг + 2BC-CD.

По теореме 14.4 в применении к треугольнику ADC имеем CD=АС-cos {/AC D ). Но угол ACD дополняет угол С треугольника АВС до 180°. Поэтому по теореме 14.3 cos(/A C D )= —cos С и, следовательно, /IC-cos С = —CD. Таким образом, и в случае тупого угла

АВг = ЛСа-Ь BC2-2BC -AC -cosC .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Опишем около треугольника АВС окружность. Пусть В,— точка окружности, диаме­ трально противоположная точке В окружности (рис. 116).

Если точки А и В, лежат по одну сторону от прямой ВС (рис. 116, слева), то углы BBtC и ВАС равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Если

-101

Теорема доказана.

Теорема косинусов и теорема синусов дают возможность найти все элементы треугольника, т. е. его углы и стороны, если заданы три элемента, однозначно определяющие тре­ угольник. Такими тремя элементами являются: три стороны треугольника, две стороны и угол, заключенный между ни­ ми, сторона и два угла.

Вопросы для повторения и упражнения

1. Дайте определение тригонометрических функции sin a, cos а,

tg а.

2.Докажите теорему: sin2a + c o s2a = 1.

3.Докажите формулы приведения:

6. Найдите тригонометрические функции углов 60°, 120°, 135°,

7.Сформулируйте и докажите теорему косинусов.

8.Сформулируйте и докажите теорему синусов.

. 9. Какие три элемента треугольника однозначно определяют треугольник?

10. Найти радиус окружности, описанной около треугольника, если у него одна сторона равна 1 см, а противолежащий этой стороне угол равен 30°.

102

ны, лежащие в разных полуплоскостях относительно пря­ мой Ь. Звено ломаной, соединяющее эти вершины, пере- • секается с прямой Ь. Следовательно, ломаная пересекает прямую Ь.

Те о р е м а 15.2. Если прямая имеет три общие точки

свыпуклым многоугольником, то она содержит одну из его сторон.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть А, В, С — три точки прямой а, принадлежащие многоугольнику. Пусть, для определенности, точка В лежит между А и С. Точка В при­ надлежит одной из сторон многоугольника. Утверждаем, что эта сторона принадлежит прямой а. Действительно, в противном случае прямая, содержащая эту сторону, раз­ деляет точки Л и С. А это противоречит условию выпукло­ сти многоугольника. Теорема доказана.

103

Сумма углов выпуклого многоугольника. Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий две

многоугольник лежит по одну сторону от каждой из прямых А ХА 2, А»А3, . . ., то этим свойством обладает и многоуголь­ ник А ХА з . . . Ар. Таким образом, многоугольник А хА а,. .Ар выпуклый. Аналогично доказывается выпуклость мно­ гоугольника АрАр+х. . .АпА х.

Докажем остальные утверждения теоремы. Полупрямая АуАр лежит в одной полуплоскости с полупрямой А ХА* относительно прямой А хАп и в одной полуплоскости с по­ лупрямой А хАп относительно прямой А ХА». Это значит, что полупрямая А хА р проходит между полупрямыми А ХА.. и

В, С — соседние с ней вершины. Внутренним углом мно­ гоугольника при вершине А называется угол между полу­ прямыми АВ и АС. Внешним углом многоугольника назы­ вается угол, смежный внутреннему.

Т е о р е м а 15.4. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна (п—2)180°, где п — число сторон или вершин многоугольника.

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника не зави­ сит от п и равна 360°.

104

Д о к а з а т е л ь с т в о . Каждый треугольник является выпуклым и для него-теорема верна, так как (3—2)180°= = 180°. Будем вести доказательство теоремы методом-ма­ тематической индукции. Допустим, что теорема верна для всех многоугольников с числом сторон, меньшим п. Докажем, что она верна для многоугольника .с п сто­ ронами.

Пусть Q — многоугольник с п сторонами. Соединим две его несоседние вершины А и В диагональю АВ. По теореме 15.3 мы получим два многоугольника Qi и Q2 с числом сторон п1 и п2, причем tii< n , п2< .п, fti+ /t* = n + 2 . Так как диагональ АВ проходит между соседними сторо­ нами с общей вершиной А, то внутренний угол при вер­ шине А многоугольника Q равен сумме внутренних углов многоугольников Qx и Q2 при вершине А. Аналогично угол при вершине В многоугольника Q равен сумме углов мног

Так как внешний угол многоугольника является смеж­ ным соответствующему внутреннему углу, а сумма смежных углов равна 180°, то сумма внешних углов многоугольника равна 180°л—(п—2)180°, т. е. 360°.

Теорема доказана.

Пополненный многоугольник. Вы­ пуклая ломаная. Пусть A tA 2 . . .Ап— выпуклый многоугольник. Каждая из прямых АхАо, А 2А 3, . . ., АпАх раз­ бивает плоскость на две полуплос­ кости. Отметим ту из них, которая содержит многоугольник. Мы будем говорить, что точка X лежит внутри

многоугольника, если она принадлежит каждой из отме­ ченных полуплоскостей и не принадлежит многоугольнику.

Часто многоугольником называют фигуру, которая со­ стоит не тдлько из сторон и вершин, но также из точек пло­ скости, лежащих внутри многоугольника. Многоугольник в этом смысле мы будем называть пополненным многоуголь­ ником. Сам многоугольник образует границу пополненного многоугольника. На рис. 120 пополненный многоугольник заштрихован.

Пусть Рх и Р 2 — два выпуклых многоугольника, Р[. и

Р' - соответствующие им пополненные многоугольники.

г г

105

,Мы, будем говорить, что многоугольник Р г расположен внутри многоугольника Р 2, если каждая точка пополнен­ ного многоугольника Р[ принадлежит пополненному мно­ гоугольнику Р'й. Периметром многоугольника называется

содержится внутри выпуклого многоугольника Р 2, то пери­

по разные стороны от прямой а. Во вотором случае а пересе­ кает многоугольник Р 2 в двух точках, А и В. Действитель­ но, пусть С и D — точки многоугольника Р 2, лежащие по разные стороны от прямой а. Точки С и D разбивают мно­

угольника. Пусть Qt— тот из них, который лежит в одной полуплоскости с Р, относительно прямой а. Многоугольник Q2 содержит внутри многоугольник Р, и имеет периметр меньший, чем периметр многоугольника Р 2. Действительно, переход от многоугольника Р 2 к Q2 связан с заменбй лома­ ной отрезком АВ, соединяющим ее концы.

Проделав такое построение с каждой стороной много­ угольника Pi, мы получим, в конце концов, из многоуголь­

ломаной у, если обе ломаные проходят в одной полупло­ скости относительно прямой Л,А, и ломаная у' не содержит внутренних точек многоугольника Р (рис. 122).

106

Т е о р е м а 15.6. Ломаная у', объемлющая выпуклую ломаную у, имеет длину не меньшую, чем у. Если ломаные не совпадают, то у имеет большую длину.

Д о к а з а т е л ь с т в о (рис. 123). Проведем через звено ломаной у прямую а. Следуя вдоль ломаной у ’ из ее начальной точки А в конечную точку В, отметим первую и последнюю точки ломаной у ’ , принадлежащие прямой а. Пусть это будут точки С и D. Заменим участок CD ломаной

у' прямолинейным отрезком CD. Полученная при этом ло­ маная также объемлет ломаную у и имеет длину, не боль­ шую у', причем заведомо меньшую, если у ломаной у' есть точки по разные стороны от прямой а. Проделав эту опе­ рацию столько раз, сколько звеньев у ломаной у, мы придем, в конце концов, к ломаной у. Отсюда следует, что ломаная у' имеет длину не меньшую, чем у. Если ломаная у' не сов­ падает с у, то она имеет большую длину.

Теорема доказана.

Правильные многоугольники. Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него стороны равны и углы равны. Так как сумма внешних углов выпуклого много­

вильные «-угольники. Совместим движением отрезок ВуВ2

образом.

Сначала зеркальным отражением относительно перпен­ дикуляра к середине отрезка АуВх совместим точку В\ с

107

Л г. При этом точка В 2 перейдет в некоторую точку В'. Теперь зеркальным отражением относительно перпенди­

разных полуплоскостях относительно прямой АуА2, то применим еще зеркальное отражение относительно этой прямой.

Утверждаем, что многоугольники Р , и Р 2 после указан­ ного совмещения их сторон В,В2 и Л ,Л 2 полностью совме­ щаются. Действительно, так как углы А ,Л 2Л3 и В ХВ 2В3 равны, то полупрямые Л2Л3 и В 2В3 совпадают. Так как отрезки Л 2Лз и В2В3 равны, то точки Вя и Л3 совпадают. Оба многоугольника расположены в одной полуплоскости относительно прямой Л2Л3, именно в полуплоскости, где

лежит их общая вершина Л,. После этого таким же спосо­ бом заключаем о совпадении

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а — перпендикуляр к стороне Л 1 Л 2 правильного многоугольника Р\ АХЛ2. . ,Л„. Симметрия относительно прямой а переводит многоугольник Р в многоугольник Р': Л2Л ,ЛЯ'Л /. . .Л„'. Оба многоуголь­

значит, что симметрия относительно прямой а переводит многоугольник Р в себя, т. е. прямая а является осью сим­ метрии. В случае биссектрис углов доказательство анало­ гично.

* Теорема доказана.

Вписанные и описанные многоугольники. Выпуклый многоугольник называется вписанным в окружность, если его вершины лежат на некоторой окружности. Выпуклый многоугольник называется описанным около окружности, если его стороны касаются некоторой окружности.

• 108

Т е о р е м а 15.8. Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около ок­ ружности.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть A iA 2. . .Ап — данный правильный многоугольник. Проведем окружность k через точки Ai, А 2, А 3 (рис. 125). Ее центр О лежит на перпен­ дикуляре а к отрезку А 2А 3, проведенном через его середину. Прямая а является осью симметрии многоугольника и осью симметрии окружности /г. Следовательно, вершина А 4, симметричная вершине А, относительно прямой а, лежит на окружности к. Далее берем

из вершины О, равны. Окружность с центром О и радиусом, равным этим высотам, касается всех сторон многоуголь­ ника, т. е. является вписанной окружностью. Теорема доказана.

Подобные многоугольники. Согласно общему опреде­ лению подобия фигур два многоугольника подобны, если один многоугольник переводится в другой преобразованием подобия.

Те о р е м а 15.9. Правильные выпуклые многоугольники

содинаковым числом сторон подобны.

многоугольник Q преобразованию гомотетии относительно центра описанной окружности с коэффициентом гомотетий kv Тогда получим правильный многоугольник Q': В\Вг' , . ,В'„

109