
книги из ГПНТБ / Погорелов, А. В. Элементарная геометрия
.pdfПрименяя к нему теорему Пифагора, получим
А В* = АС2+ ВС2 = 2ВС2- 2АС2.
Отсюда sin 45° = -j^Lt , соз45° = -^=-. Следовательно,
tg 45°= 1. Построим теперь равносторонний треугольник АВС (рис. 115). У него все углы равны. Следовательно, каждый
А
В
из'них равен 60°. Проведем медиану BD треугольника. Она является биссектрисой и высотой. Поэтому в треугольнике ABD угол ADB прямой, а угол ABD равен 30°. Так как
АС |
1 |
AD=~y |
, то sin 30°=-2-. По теореме 14.1 отсюда находим, |
что cos 3 0°= ^ у - . После этого tg 30°= у ~ .
Формулы приведения позволяют найти синусы, косину сы и тангенсы ряда других углов: 60°, 120°, 135°, 150°, вы разив их через синусы, косинусы и тангенсы углов 30° и 45°.
Для синусов, косинусов и тангенсов острых углов сос тавлены специальные таблицы. Эти таблицы позволяют по данному углу найти соответствующий ему синус, косинус или тангенс, а также по заданному синусу,-косинусу или тангенсу найти соответствующий угол.
Теорема 14.4 позволяет с помощью таблиц ,найти все элементы прямоугольного треугольника, т. е. его углы и
стороны, если известны два катета, |
гипотенуза и катет, |
острый угол и катет, острый угол и гипотенуза. |
|
Теорема косинусов. Т е о р е м а |
14.6. В любом тре |
угольнике АВС |
|
АВ 2= АС2+ ВС2— 2АС -ВС -cos С.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если угол С равен 90°, то утверждение теоремы следует из теоремы Пифагора, так как cos 90°=0.
юо
Пусть С — острый угол (см. рис. 101). Тогда по теореме
13.3
АВ* = АСа + 5Са—2ВС - CD.
По теореме 14.4 в применении к треугольнику ACD имеем CD — АС-cos С. Поэтому
ЛБа = ЛСа + БСа —2ВС-ЛС-cos С.
Пусть теперь С — тупой угол (см. рис. 100). По теореме
13.2
ЛВа = ЛСа + ВСг + 2BC-CD.
По теореме 14.4 в применении к треугольнику ADC имеем CD=АС-cos {/AC D ). Но угол ACD дополняет угол С треугольника АВС до 180°. Поэтому по теореме 14.3 cos(/A C D )= —cos С и, следовательно, /IC-cos С = —CD. Таким образом, и в случае тупого угла
АВг = ЛСа-Ь BC2-2BC -AC -cosC .
Теорема доказана. |
|
14.7. В любом треуголь |
Теорема сиНусов. Т е о р е м а |
||
нике АВС |
|
|
sin A |
sin В _ |
sin С |
~ВС~ ~ |
АС ~ |
АВ • |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Опишем около треугольника АВС окружность. Пусть В,— точка окружности, диаме трально противоположная точке В окружности (рис. 116).
Если точки А и В, лежат по одну сторону от прямой ВС (рис. 116, слева), то углы BBtC и ВАС равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Если
-101
точки А и B t лежат по |
разные стороны от прямой ВС |
(рис. 116, справа), то эти |
углы дополняют друг друга до |
180°, ибо опираются на дополнительные дуги. В обоих слу |
чаях s in B ^ sin Л. Таким образом, |
В С = 2 # зтЛ . |
|
||
Аналогично доказывается, |
что |
A B =2#sinC и |
ЛС= |
|
= 2^ sin В. Сопоставляя полученные три формулы, |
заклю |
|||
чаем, что |
|
|
|
|
sin Л |
sin fl |
sin С |
1 |
|
ВС |
~~АС |
|
|
|
Теорема доказана.
Теорема косинусов и теорема синусов дают возможность найти все элементы треугольника, т. е. его углы и стороны, если заданы три элемента, однозначно определяющие тре угольник. Такими тремя элементами являются: три стороны треугольника, две стороны и угол, заключенный между ни ми, сторона и два угла.
Вопросы для повторения и упражнения
1. Дайте определение тригонометрических функции sin a, cos а,
tg а.
2.Докажите теорему: sin2a + c o s2a = 1.
3.Докажите формулы приведения:
sin (90°— a) = c o sa , cos (90° — a) = |
sin a , |
tg (90°— a) = |
||
|
|
|
|
t g a ’ |
|
sin (180° — a) = |
sin a, cos (180° — a) = — cos a. |
||
4. |
Докажите, что в прямоугольном треугольнике АВС с прям |
|||
углом С |
AC = ABcosA, |
BC = A CigA . |
||
|
ВС = АВ sin А, |
|||
6. |
Докажите, что |
|
|
|
|
s i n 4 5 ° = ~ , |
cos 45° = |
,___ |
tg 45° = 1, |
|
у т |
/ |
2 |
|
|
sin 30° = -i-, |
cos 3 0 ° = ^ | - , |
tg 3 0 ° = - ^ . |
|
|
|
|
|
|C3 |
6. Найдите тригонометрические функции углов 60°, 120°, 135°,
7.Сформулируйте и докажите теорему косинусов.
8.Сформулируйте и докажите теорему синусов.
. 9. Какие три элемента треугольника однозначно определяют треугольник?
10. Найти радиус окружности, описанной около треугольника, если у него одна сторона равна 1 см, а противолежащий этой стороне угол равен 30°.
102
§ |
15. МНОГОУГОЛЬНИКИ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Выпуклые многоугольники. Многоугольником А ХА г . . . Ап |
|||||||||||
называется фигура, которая состоит из точек А х, А 2, |
. . . ’, Ап |
|||||||||||
и |
соединяющих |
их |
отрезков |
А ХА 2, |
А 2А 3, . . |
АпА х |
||||||
(рис. 117). Точки |
А и |
Ап, |
. . ., |
Ап |
на |
|
|
|
||||
зываются вершинами многоугольника, а |
|
|
|
|||||||||
отрезки А хАп, |
А 2А 3, |
|
. . ., |
АпА х |
на |
|
|
|
||||
зываются его сторонами. Две вершины |
|
|
|
|||||||||
называются соседними, |
если |
они |
со |
|
|
|
||||||
единяются стороной многоугольника. У |
|
|
|
|||||||||
каждой вершины есть две соседние с ней |
|
|
|
|||||||||
вершины. |
прямых |
|
А ХА 2, |
А 2А 3, . . . |
|
|
|
|||||
.. |
Каждая из |
|
Рис. 117. |
|
||||||||
., АпА , разбивает плоскость |
на две |
|
|
|
||||||||
полуплоскости. |
Многоугольник |
А ХА 3 . . . А П называется |
||||||||||
выпуклым, если |
он |
располагается в |
одной полуплоскости |
|||||||||
относительно |
каждой |
из |
этих |
прямых, |
причем |
каждая |
||||||
|
|
|
прямая АрАр+х не имеет других общих |
|||||||||
|
|
|
точек |
с многоугольником, кроме |
от |
|||||||
|
|
|
резка АрАр+х (рис. 118). |
концы |
||||||||
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
15.1. Если |
||||||
|
|
|
ломаной |
В ХВ 2. . |
.Вп |
лежат в разных |
||||||
|
|
|
полуплоскостях |
относительно пря |
||||||||
|
|
|
мой Ь, то ломаная пересекает пря |
|||||||||
|
|
|
мую Ь. |
|
|
|
|
Следуя |
||||
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|||||||
|
|
|
вдоль |
ломаной |
от |
вершины |
В, |
к |
||||
|
|
|
В„ |
мы встретим две |
соседние верши |
ны, лежащие в разных полуплоскостях относительно пря мой Ь. Звено ломаной, соединяющее эти вершины, пере- • секается с прямой Ь. Следовательно, ломаная пересекает прямую Ь.
Те о р е м а 15.2. Если прямая имеет три общие точки
свыпуклым многоугольником, то она содержит одну из его сторон.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть А, В, С — три точки прямой а, принадлежащие многоугольнику. Пусть, для определенности, точка В лежит между А и С. Точка В при надлежит одной из сторон многоугольника. Утверждаем, что эта сторона принадлежит прямой а. Действительно, в противном случае прямая, содержащая эту сторону, раз деляет точки Л и С. А это противоречит условию выпукло сти многоугольника. Теорема доказана.
103
Сумма углов выпуклого многоугольника. Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий две
иесоседние вершины. |
На рис. 119 пунктир обозначает диа |
||||||
гональ многоугольника. |
|
|
|
||||
Т е о р е м а |
15.3. Диагональ А хА р разбивает выпуклый |
||||||
многоугольник |
А ,А 3 |
. . ,Ап на два выпуклых многоуголь |
|||||
ника А ХА 2 |
. . |
.А 0 |
и АрАр+х. . .АпА 1. Эти многоугольники |
||||
|
|
|
|
лежат в разных полуплоскостях от |
|||
|
|
|
|
носительно прямой А хАр. Полупря |
|||
|
|
|
|
мая А, Ар проходит между |
полу |
||
|
|
|
|
прямыми А ХА о и А ХА„. |
|
По |
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
||
|
|
|
|
теореме 15.2 прямая А, Ар не |
имеет |
||
|
|
|
|
других общих точек с ммогоуголь- |
|||
Рис. |
119. |
|
ником, кроме точек |
А х и Ар. |
По |
||
|
|
|
|
теореме 15.1 ломаная |
А , А г . |
. . |
Ар |
лежит по одну сторону от прямой А ХА . Так |
как исходный |
многоугольник лежит по одну сторону от каждой из прямых А ХА 2, А»А3, . . ., то этим свойством обладает и многоуголь ник А ХА з . . . Ар. Таким образом, многоугольник А хА а,. .Ар выпуклый. Аналогично доказывается выпуклость мно гоугольника АрАр+х. . .АпА х.
Докажем остальные утверждения теоремы. Полупрямая АуАр лежит в одной полуплоскости с полупрямой А ХА* относительно прямой А хАп и в одной полуплоскости с по лупрямой А хАп относительно прямой А ХА». Это значит, что полупрямая А хА р проходит между полупрямыми А ХА.. и
А 1 Ап. Следовательно, эти |
полупрямые |
разделяются |
пря |
|
мой А хАр. |
образом, точки |
А г и Ап лежат в разных полу |
||
Таким |
||||
плоскостях |
относительно прямой А хАр. |
А это значит, |
что |
многоугольники А ХА 2 . . . |
Ар и Ар Ар+Х . . . АпАх лежат |
|
в разных |
полуплоскостях |
относительно прямой А хАр. |
Теорема доказана. |
|
|
Пусть |
А — вершина выпуклого многоугольника и |
В, С — соседние с ней вершины. Внутренним углом мно гоугольника при вершине А называется угол между полу прямыми АВ и АС. Внешним углом многоугольника назы вается угол, смежный внутреннему.
Т е о р е м а 15.4. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна (п—2)180°, где п — число сторон или вершин многоугольника.
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника не зави сит от п и равна 360°.
104
Д о к а з а т е л ь с т в о . Каждый треугольник является выпуклым и для него-теорема верна, так как (3—2)180°= = 180°. Будем вести доказательство теоремы методом-ма тематической индукции. Допустим, что теорема верна для всех многоугольников с числом сторон, меньшим п. Докажем, что она верна для многоугольника .с п сто ронами.
Пусть Q — многоугольник с п сторонами. Соединим две его несоседние вершины А и В диагональю АВ. По теореме 15.3 мы получим два многоугольника Qi и Q2 с числом сторон п1 и п2, причем tii< n , п2< .п, fti+ /t* = n + 2 . Так как диагональ АВ проходит между соседними сторо нами с общей вершиной А, то внутренний угол при вер шине А многоугольника Q равен сумме внутренних углов многоугольников Qx и Q2 при вершине А. Аналогично угол при вершине В многоугольника Q равен сумме углов мног
гоугольников Qx |
и Q2 при |
вершине В. Отсюда |
следует, |
|
что сумма углов |
многоугольника |
Q равна (п-х—2)180°+ |
||
+ (/г»—2)180°=(д—2)180°. |
Первое |
утверждение |
теоремы |
|
доказано. |
|
|
|
|
Так как внешний угол многоугольника является смеж ным соответствующему внутреннему углу, а сумма смежных углов равна 180°, то сумма внешних углов многоугольника равна 180°л—(п—2)180°, т. е. 360°.
Теорема доказана.
Пополненный многоугольник. Вы пуклая ломаная. Пусть A tA 2 . . .Ап— выпуклый многоугольник. Каждая из прямых АхАо, А 2А 3, . . ., АпАх раз бивает плоскость на две полуплос кости. Отметим ту из них, которая содержит многоугольник. Мы будем говорить, что точка X лежит внутри
многоугольника, если она принадлежит каждой из отме ченных полуплоскостей и не принадлежит многоугольнику.
Часто многоугольником называют фигуру, которая со стоит не тдлько из сторон и вершин, но также из точек пло скости, лежащих внутри многоугольника. Многоугольник в этом смысле мы будем называть пополненным многоуголь ником. Сам многоугольник образует границу пополненного многоугольника. На рис. 120 пополненный многоугольник заштрихован.
Пусть Рх и Р 2 — два выпуклых многоугольника, Р[. и
Р' - соответствующие им пополненные многоугольники.
г г
105
,Мы, будем говорить, что многоугольник Р г расположен внутри многоугольника Р 2, если каждая точка пополнен ного многоугольника Р[ принадлежит пополненному мно гоугольнику Р'й. Периметром многоугольника называется
сумма длин его |
сторон. |
Т е о р е м а |
15.5. Если выпуклый многоугольник Р i |
содержится внутри выпуклого многоугольника Р 2, то пери
|
метр Р 1 не больше периметра |
Р 2. |
|||
|
Если многоугольник Pi |
не |
совпадает |
||
|
с Р г, то его периметр |
меньше |
пери |
||
|
метра Р 2. |
|
Прове |
||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
||||
|
дем прямую а, содержащую какую- |
||||
|
нибудь сторону многоугольника |
P t |
|||
|
(рис. 121). Многоугольник |
Р, |
распо |
||
|
ложен по одну сторону этой прямой. |
||||
Рис. 121. |
Многоугольник Р 2 либо расположен |
||||
|
по одну сторону прямой а, либо есть |
||||
|
точки многоугольника |
Р 2, |
лежащие |
по разные стороны от прямой а. Во вотором случае а пересе кает многоугольник Р 2 в двух точках, А и В. Действитель но, пусть С и D — точки многоугольника Р 2, лежащие по разные стороны от прямой а. Точки С и D разбивают мно
гоугольник Р 2 |
на две ломаные. По теореме 15.1 |
каждая из |
них пересекает прямую а. |
два много |
|
Прямая а |
разбивает многоугольник Р 2 на |
угольника. Пусть Qt— тот из них, который лежит в одной полуплоскости с Р, относительно прямой а. Многоугольник Q2 содержит внутри многоугольник Р, и имеет периметр меньший, чем периметр многоугольника Р 2. Действительно, переход от многоугольника Р 2 к Q2 связан с заменбй лома ной отрезком АВ, соединяющим ее концы.
Проделав такое построение с каждой стороной много угольника Pi, мы получим, в конце концов, из многоуголь
ника Р 2 многоугольник Р,. |
Отсюда следует, |
что если мно |
||||
гоугольник Р 1 |
не совпадает с |
Р 2, то он |
имеет периметр, |
|||
меньший периметра Р 2. |
|
|
|
|
|
|
Теорема доказана. |
|
называется |
выпуклой, |
если |
||
Ломаная у: |
А ХА 2 . . . Ап |
|||||
многоугольник |
Р: A i A z .. |
. Ап выпуклый. |
Ломаная |
у': |
||
A i A S A j . . .А„ |
называется |
объемлющей |
для выпуклой |
ломаной у, если обе ломаные проходят в одной полупло скости относительно прямой Л,А, и ломаная у' не содержит внутренних точек многоугольника Р (рис. 122).
106
Т е о р е м а 15.6. Ломаная у', объемлющая выпуклую ломаную у, имеет длину не меньшую, чем у. Если ломаные не совпадают, то у имеет большую длину.
Д о к а з а т е л ь с т в о (рис. 123). Проведем через звено ломаной у прямую а. Следуя вдоль ломаной у ’ из ее начальной точки А в конечную точку В, отметим первую и последнюю точки ломаной у ’ , принадлежащие прямой а. Пусть это будут точки С и D. Заменим участок CD ломаной
у' прямолинейным отрезком CD. Полученная при этом ло маная также объемлет ломаную у и имеет длину, не боль шую у', причем заведомо меньшую, если у ломаной у' есть точки по разные стороны от прямой а. Проделав эту опе рацию столько раз, сколько звеньев у ломаной у, мы придем, в конце концов, к ломаной у. Отсюда следует, что ломаная у' имеет длину не меньшую, чем у. Если ломаная у' не сов падает с у, то она имеет большую длину.
Теорема доказана.
Правильные многоугольники. Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него стороны равны и углы равны. Так как сумма внешних углов выпуклого много
угольника равна 360°, а |
сумма внутренних углов |
равна |
|
(п — 2)180°, то внешние |
углы правильного «-угольника |
||
равны —— , а внутренние |
равны i |
^----- . |
|
Правильные выпуклые п-угольники с равными сторонами |
|||
равны, т. е. многоугольники совмещаются движением. |
пра |
||
Пусть Р г: А , А 2 . . ,Ап и Р 2: ВуВ2. |
. ,Вп— данные |
вильные «-угольники. Совместим движением отрезок ВуВ2
с отрезком А |
ХА |
так, |
чтобы многоугольник |
Р 2 был |
по |
|
ту же |
сторону |
от прямой А ХА 2, что и многоугольник |
Ру. |
|||
Такое |
движение |
можно |
получить, например, |
следующим |
образом.
Сначала зеркальным отражением относительно перпен дикуляра к середине отрезка АуВх совместим точку В\ с
107
Л г. При этом точка В 2 перейдет в некоторую точку В'. Теперь зеркальным отражением относительно перпенди
куляра |
к середине отрезка |
Л 2Р 2' |
совместим точку |
В2 |
с А 2. |
Если многоугольники |
Р 2 и |
Р, расположены |
в |
разных полуплоскостях относительно прямой АуА2, то применим еще зеркальное отражение относительно этой прямой.
Утверждаем, что многоугольники Р , и Р 2 после указан ного совмещения их сторон В,В2 и Л ,Л 2 полностью совме щаются. Действительно, так как углы А ,Л 2Л3 и В ХВ 2В3 равны, то полупрямые Л2Л3 и В 2В3 совпадают. Так как отрезки Л 2Лз и В2В3 равны, то точки Вя и Л3 совпадают. Оба многоугольника расположены в одной полуплоскости относительно прямой Л2Л3, именно в полуплоскости, где
лежит их общая вершина Л,. После этого таким же спосо бом заключаем о совпадении
вершин S, и Л(, |
В, |
и Л, и |
|
т. д., т. е. многоугольники Р, |
|||
и Р 2 совмещены. |
15.7. |
Пер |
|
Т е о р е м а |
|||
пендикуляры, проведенные че |
|||
рез середины сторон правиль |
|||
ного многоугольника, |
и бис |
||
сектрисы |
внутренних |
углов |
|
являются |
осями |
симметрии |
|
(рис. 124) |
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а — перпендикуляр к стороне Л 1 Л 2 правильного многоугольника Р\ АХЛ2. . ,Л„. Симметрия относительно прямой а переводит многоугольник Р в многоугольник Р': Л2Л ,ЛЯ'Л /. . .Л„'. Оба многоуголь
ника, |
Р и Р', |
расположены по одну сторону от прямой |
Л 1 Ло. |
Так же как н в предыдущем рассуждении, заключаем, |
|
что Л3 |
совпадает |
с Л3, А'п совпадает с Л„ и так далее. А это |
значит, что симметрия относительно прямой а переводит многоугольник Р в себя, т. е. прямая а является осью сим метрии. В случае биссектрис углов доказательство анало гично.
* Теорема доказана.
Вписанные и описанные многоугольники. Выпуклый многоугольник называется вписанным в окружность, если его вершины лежат на некоторой окружности. Выпуклый многоугольник называется описанным около окружности, если его стороны касаются некоторой окружности.
• 108
Т е о р е м а 15.8. Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около ок ружности.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть A iA 2. . .Ап — данный правильный многоугольник. Проведем окружность k через точки Ai, А 2, А 3 (рис. 125). Ее центр О лежит на перпен дикуляре а к отрезку А 2А 3, проведенном через его середину. Прямая а является осью симметрии многоугольника и осью симметрии окружности /г. Следовательно, вершина А 4, симметричная вершине А, относительно прямой а, лежит на окружности к. Далее берем
точки |
А л, |
А 3, А4 и |
таким |
же |
|||
способом заключаем, |
что А й ле |
||||||
жит на окружности, проходящей |
|||||||
через эти точки, |
т. е. |
на окруж |
|||||
ности |
k. |
И |
так |
далее. В итоге |
|||
получается, |
что |
все |
точки |
A lt |
|||
А 2, ■■., Ап лежат на окружности |
|||||||
k, т. е. эта |
окружность |
явля |
|||||
ется описанной около много |
|||||||
угольника. |
|
|
|
|
тре |
||
Все |
равнобедренные |
|
|||||
угольники |
|
/1 ,0 /4 2 , |
|
А 30А 3, |
|||
А3ОА4, . . . |
равны, так |
как у |
них |
основания |
/4,/42, |
А«А3, |
как радиусы. |
А 3А 4, |
. . . равны, а боковые стороны равны |
|||
Следовательно, |
высоты |
этих треугольников, |
проведенные |
из вершины О, равны. Окружность с центром О и радиусом, равным этим высотам, касается всех сторон многоуголь ника, т. е. является вписанной окружностью. Теорема доказана.
Подобные многоугольники. Согласно общему опреде лению подобия фигур два многоугольника подобны, если один многоугольник переводится в другой преобразованием подобия.
Те о р е м а 15.9. Правильные выпуклые многоугольники
содинаковым числом сторон подобны.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
Р: A ZA 3 . . .Ап, |
||
Q :S ,5 2. ■.Вп— данные правильные многоугольники. Обоз |
||||
начим через |
/4 ,/4 |
отношение их |
сторон. Подвергнем |
|
|
В,В. |
|
|
|
многоугольник Q преобразованию гомотетии относительно центра описанной окружности с коэффициентом гомотетий kv Тогда получим правильный многоугольник Q': В\Вг' , . ,В'„
109