книги из ГПНТБ / Погорелов, А. В. Элементарная геометрия

Ви D. Действительно, если точки В и D не разделяются точкой С, то в прямоугольном треугольнике ADC угол С тупой. А это невозможно. Итак, точка С разделяет точки

Ви D, т. е. лежит между ними.

Применяя теорему Пифагора к прямоугольным треу­ гольникам ADB и ADC, получим

АВ2 = AD2 + BD2, АС2 = AD* + DC2.

Вычитая эти равенства почленно, будем иметь

AB2 — AC2 = BD2 — DC2.

Так как точка С лежит между В и D, то BD—BC-\-DC. Заменяя в полученном равенстве BD2 на (BC+DC)2, после упрощений получаем

АВ2= АСа + ВС2 + 2ВС .CD.

Теорема доказана.

Т е о р е м а 13.3. В любом косоугольном треугольнике квадрат стороны, лежащей против острого угла, равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения одной из этих

сторон на проекцию другой стороны.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть АВС— данный треугольник о острым углом С (рис. 101). Проведем высоту AD из вер­ шины А. Прежде всего замечаем, что точка С не разделяет точки В и D. Дей­ ствительно, в противном случае у пря­

моугольного треугольника ADC с прямым углом D внеш­ ний угол при вершине С был бы острый. А это невозможно. Поэтому, либо точка D лежит между С и В либо точка В лежит между С и О. Пусть для определенности точка D лежит между С и В, как изображено на рисунке.

Применяя теорему Пифагора к треугольникам ADC и ADB, получим

AB2= BD2+ AD2,

AC2 = CD2+ AD2.

Вычитая эти равенства почленно, будем иметь

АВ2— АС2= BD2—CD2.

Так как точка D лежит между В и С, то BC=BD+CD, т. е. BD—BC—CD. Заменяя в полученном равенстве BD2

90

на (ВС — CD)2, получим

АВ2 = АС2 + ВС2—2ВС • CD.

Если точка В лежит между С и D, доказательство анало­ гично. Теорема доказана.

Соотношение между диагоналями и сторонами паралле­ лограмма. Т е о р е м а 13.4. В любом параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть ABCD— данный па­ раллелограмм, АС и BD — его диагонали. Если паралле­ лограмм является прямоугольником (рис. 102, слева), то по теореме Пифагора

AC2 = AD2 + DC2,

BD2= ВС2+ DC2.

Складывая эти равенства почленно и замечая, что DC=AB, получим

АС2 + BD2= АВ2+ ВС2 + CD2+ AD2.

Пусть теперь параллелограмм не является прямоуголь­ ником (рис. 102, справа). Опустим перпендикуляры А А Хи

ВВХ из вершин Л и В на прямую CD. Из равенства тре­ угольников AD A! и ВСВ1 следует, что DA^—CB^

Углы ADC и BCD, как внутренние односторонние при параллельных AD и ВС, дополняют друг друга до 180°. Поэтому если один из углов острый, то другой — тупой. Пусть для определенности угол ADC острый, а угол BCD тупой, как изображено на рисунке.

Применяя теорему 13.2 к треугольнику BCD и теорему 13.3 к треугольнику ADC, получим

BD2= ВС2+ CD2 + 2DCСВг,

AC2= A D 2 + CD2- 2 D C - D A 1.

Складывая эти равенства почленно и замечая, что CB^=DAU А В —CD, получим

AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2+ AD2.

Теорема доказана.

91

Из теоремы 13.4 следует, что диагональ квадрата равна

его стороне, умноженной на У 2. Действительно, если а —

сторона квадрата, а b — его диагональ, то по теореме 13.4

2Ь2—4а2. Отсюда следует, что Ь—аУ 2.

Существование треугольника с данными сторонами. Как мы знаем, сумма двух сторон треугольника больше третьей его стороны. Естественно возникает вопрос: вся­ кие ли три числа могут быть сторонами некоторого тре­ угольника, если сумма любых двух из этих чисел больше

третьего. Утвердительный ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Т е о р е м а 13.5. Каковы бы ни были три числа а, Ь, с такие, что сумма любых двух из этих чисел боль­ ше третьего, существует треугольник

ложим числа а, Ь, с в порядке воз­ растания. Пусть для определенности а ^ б ^ с . Обозначим

с2 + а2 — Ь3

—& ------- •

Число а О 0, так как с^Ь. Число а, меньше а. В самом деле,

Так как а+Ь>с, то Ь>с — а> 0 . Поэтому 62> (с —а)2. Сле­ довательно, а> аг.

Построим треугольник АВС следующим образом. Возь­ мем отрезок АВ, равный с (рис. 103). Из точки В на полупря­ мой АВ отложим отрезок BD, равный аи Из точки D вос­

становим перпендикуляр DC, равный У а 3—af. Утвержда­ ем, что треугольник АВС имеет стороны а, Ь, с.

Действительно, сторона АВ равна с. Применяя теорему Пифагора к треугольнику ADC, получим

ВС2 = BD2 + CD2 = а2- Н К ^ ^ ) 2 = а3,

т. е. ВС—а. Применяя теорему 13.3 к треугольнику АВС, получим

/4С2 = а2-гС2— 2cal = b‘l,

т. е. АС=Ь. Теорема доказана.

92

Взаимное расположение двух окружностей. Теорема 13.5 позволяет полностью охарактеризовать взаимное распо­ ложение двух окружностей в зависимости от их радиусов и расстояния между центрами. Именно, мы докажем сле­ дующую теорему.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Начнем с первого утвержде­ ния теоремы. Допустим, окружности пересекаются и, сле­ довательно, имеют общую точку А. Если точки Ои 0 2 и А

не лежат на одной прямой, то 0 1А -\-0гА > 0 10 г, т. е. /?!+

Если точка Ох лежит между А и 0 2, то 0хА + 0х02~ А 0 2, т. е. Rx+d—R 2, или R 2—Rx=d. Но это противоречит усло­ вию R 2—Rx>d. Если, наконец, точка 0 2 лежит между А и Ох, то 0 2Л + 0 20 1= Л 0 1, т . е. R 2+d=Rx. Но это невозмож­ но, так как Rx^Ri- Итак, окружности в рассматриваемом

93

случае не могут иметь общей точки, т. е. не пересекают­ ся (рис. 104).

Докажем второе утверждение теоремы. Здесь, как и в первом случае, заключаем, что окружности не могут иметь общей точки Л, не лежащей на прямой 0 г0 2. Но они имеют общую точку А на прямой 0 ,0 а, причем возможны два ва­ рианта расположения окружностей: рис. 105, слева, если

R 2—Ri= d, рис. 105, справа, если Rx+ R2=d. Окружности в их общей точке А имеют общую касательную,- перпен­ дикулярную прямой 0г02.

Докажем, наконец, третье утверждение теоремы. Прежде всего заметим, что можно построить треугольник со сторо­

так как по построению 0 1A l=Rx>0 2Ax—R 2, а по свойству симметрии 0 1Л1= 0 1Л а, 0 2А г= 0 2А 2. Таким образом, точки Ах и Л а являются точками пересечения данных окружно­ стей (рис. 106).

Докажем, что окружности не имеют других точек пере­ сечения, кроме А х и Л а. Допустим, они имеют третью точку пересечения Л. Тогда треугольники Ох02А г и ОгОаЛ равны

94

по третьему признаку равенства треугольников. Пусть для определенности точка А лежит в одной полуплоскости с точ­ кой Ai относительно прямой O j O Из равенства треуголь­

ВС2= АС2+ АВ2± 2А В • AD,

ОС2= АС2 + АО2± 2АО • AD.

Умножая первое равенство на АО, а второе на АВ и вычитая их почленно, получим уравнение, содержащее только одно неизвестное — биссектрису ОС. Из этого уравнения и на­ ходится биссектриса.

Найдем высоту CD (рис. 108). Прежде всего по теореме 13.2 или 13.3 находим отрезок AD. Затем из прямоугольного треугольника ADC находим высоту CD.

З а д а ч а. Даны отрезки а и Ь. Построить отрезки

Уа2-\- Ь2, У а2—Ь2, если а>Ь.

Ре ш е н и е . Проведем произвольную прямую и от­ ложим на ней отрезок АС, равный b (рис. 109). Проведем

95

через точку С перпендикулярную к ней прямую g. Отложим на прямой g из точки С отрезок СВи равный а. По теореме Пифагора

А В л*=Уаг+ Ь\

Чтобы построить отрезок Y о2—Ь2, проведем окружность с центром А и радиусом а. Она пересечет прямую g в неко­ торой точке В. По теореме Пифагора

отрезок

СВ = V a '—ft3.

Вопросы для повторения

1. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.

2.Сформулируйте и докажите теоремы

оквадрате стороны, противолежащей ту­ пому (острому) углу в косоугольном треу­ гольнике.

3.Докажите, что сумма квадратов ди­ агоналей параллелограмма равна сумме квад­

ратов его сторон.

4. Докажите, что если три отрезка а, Ь, в удовлетворяют неравен­

ствам

Упражнения

7. Чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника с кате­ тами, равными 1 см?

8. Чему равна высота равностороннего треугольника со сторонами, равными 1 сл?

9. Найти радиус вписанной и описанной окружности равносторон­ него треугольника со стороной, равной 1 см..

10. Докажите, что если в треугольникеЛВС имеет место неравенство ЛВа< Л С 3+ С В а, то угол С острый. Если АВ2> АС 2+ СВ 2, то угол С тупой.

11. Докажите, что геометрическое место точек, у которых сумма квадратов расстояний от двух данных точек Л и В постоянна, есть окружность с центром в середине отрезка ЛВ. •

12. Докажите, что геометрическое место точек, у которых разность квадратов расстояний от двух данных точек Л и В постоянна, есть пря­ мая, перпендикулярная ЛВ.

96

Тангенсом угл а а назы вается отнош ение sin о к cos а :

ждение теоремы проверяется подстановкой соответствую­ щих значений синуса и косинуса.

Если угол а — острый, то утверждение теоремы следует из теоремы Пифагора в применении ее к треугольнику ODA (см. рис. .110, слева). Если угол а — тупой, то утверждение теоремы так же следует из теоремы Пифагора в применении

Д о к а з а т е л ь с т в о (рис. 111). Пусть угол АОВ равен а, а угол A fiB равен 90°— а. Прямоугольные тре­ угольники ODA и AiD xO равны, так как у них гипотенузы равны как радиусы, а углы AOD и OA,Dt равны а. Из ра­ венства этих треугольников следует, что A,D, = OD, OD,=

=AD, т. e.

ждение теоремы проверяется подстановкой в формулы соот-

98

ветствующих значений синуса и косинуса. Рассмотрим об­ щий случай.

Пусть угол АОВ равен а, а угол А хОВ равен 180°—а (рис. 112). Из равенства треугольников OAD и OAxDx

треугольник АВС с прямым углом С и углом А, равным 45° (рис. 114). У этого треугольника угол В будет также 45°. Следовательно, треугольник равнобедренный: АС=ВС.