книги из ГПНТБ / Невский, М. В. Квазианизотропия скоростей сейсмических волн

С

продольных и поперечных волн в направлениях, параллельном и перпен­ дикулярном слоистости, называются коэффициентами анизотропии соот­ ветственно продольных и поперечных SH волн. Эти параметры рассмат­ ривались ранее в работах [ 1 , 2 7 ], где, в частности, показано, что

в то время как *р может быть как больше, так и меньше

единицы. Параметр , измеряемый отношением скоростей поперечных и продольных волн в направлении, перпендикулярном слоистости, ис­

1

<---- - Подробное исследование параметра у в тонкослоистых средах

42

для направлений, отличных от i =0 (направление перпендикулярное слоистости), приведено в [8 8 ].

Скорость длинных упругих волн в тонкослоистой среде в направле­ нии, перпендикулярном слоистости, неоднократно рассматривалась в ря­ де работ, посвященных изучению как квазидисперсии скоростей, -так и анизотропии [1, 8 3 ]. Новым из пяти введенных эффективных упругих параметров тонкослоистой среды является параметр К. В случае од­ нородной изотропной среды он выражается формулой

эффициенту распора, применяемому в ряде прикладных задач теории упругости [ 2 0 ].

Для периодической тонкослоистой среды значение К можно пред­ ставить формулой1

пvi

К2

41

откуда следует, что в данном случае К является средним между зна­ чениями К. в прослоях. Пределы изменения параметра К при усло­

вии, что 0 < <— , оказываются следующими:

0^ К < 1.

Заметим, что определение параметра К для изотропной среды мож­ но обобщить и на случай поперечно—изотропной среды путем введе­ ния двух значений коэффициентов Пуассона и i^ y , первый из

которых характеризует сжатие в плоскости изотропии при растяжении в направлении оси симметрии, второй - при растяжении в той же плос­

Для изотропной среды последняя переходит в формулу (2 .2 2 ). Введенные эффективные упругие параметры длинноволнового экви­

валента тонкослоистой среды позволяют представить уравнение индикат< рис нормальных скоростей ( 2 ,8 - 2 ,9 ) в более удобной форме [9 0 ,9 1 ]'

Для поперечных SH волн

(2 .2 3 )

Vsn(i) = V ^ l + U2$h “ 1) sin2i]^;

для квазипродольных и квазипоперечных волн SV

Здесь, как и прежде, знак плюс соответствует квазипродольным, а минус - квазипоперечным волнам. Уравнения (2 .2 3 ) и в особенности (2 .2 4 ) более удобны для аналитического исследования индикатрис^нор­

dV

мальных скоростей волн Р, SV и SH. Рассмотрев производные HJL. di

42

соответствует максимальному значению нормальной скорости волн SV,

^SVmax

“s v ‘ — ч Г '

Этот коэффициент не является независимым параметром поперечно­ изотропной среды, но позволяет охарактеризовать степень ее анизо­ тропности по волнам SV.,

для некоторых типов поперечно-изотропных сред [5 6 ]. Условия относи­ тельно эффективных упругих параметров поперечно-изотропной среды,

dVp

при которых —— |. . - =0, будут найдены ниже, di i=iQp

Индикатриса лучевых скоростей поперечных волн SH после введения эффективных параметров выразится в виде

ставление же их в параметрической форме ( 2 . 1 1 ) может существенно затруднять решение прямых и в особенности обратных задач сейсмо­ разведки в анизотропных средах. В частности, как и в случае изотроп­ ных сред, параметрические уравнения годографов сейсмических волн не позволяют с необходимой полнотой аналитически исследовать свойства годографов и, следовательно, выбрать наиболее рациональную схему интерпретации. Поэтому представляется важным получить зависимости лучевых скоростей от угла в в явном виде.

При горизонтальной или близкой к ней слоистости в осадочных толщах случай малых углов падения в представляет наибольший интерес для обычных модификаций метода отраженных' волн [9 2 ].

43

Для вывода приближенных уравнений v- %(в) рассмотрим вначале

При малых углах i последнее уравнение можно записать в виде сте­ пенного ряда

Ограничиваясь членами второй степени малости относительно sini, получим следующие приближенные формулы для нормальных скоростей

?S V = U 2pU -vf) - K2(K2 + 2yJ)-y{]y-f (l-j^ )"1.

SV

44

Таким образом, для малых углов падения индикатрисы лучевых ско­ ростей квазипродольных и квазипоперечных волн представляют собой эллипсы с полуосями соответственно Vjp, «pVjp и V^g, kSv YLS"

Величины ТГр и можно назвать кажущимися коэффициентами

анизотропии квазипродольных и квазипоперечных волн SV, поскольку они характеризуют изменение лучевых скоростей при малых углах па­ дения и отличаются от истинных коэффициентов анизотропии. Формулы для кажущихся коэффициентов анизотропии имеют следующий вид:

Пределы применимости полученных приближенных формул оценены путем расчетов и сопоставления индикатрис скоростей, вычисленных для различных значений эффективных упругих параметров по точным и приближенным формулам. Оценка погрешности приближенных формул по­

в качестве примера индикатрисы лучевых скоростей квазипродольных волн для двух моделей поперечно-изотропной среды. На рисунке вид­ но, что характер изменения скоростей для малых углов хорошо опи­ сывается полученными приближенными формулами.

Задачу об аппроксимации индикатрисы лучевых скоростей в некото­ ром интервале углов 0f[o,0m] можно поставить и в другом виде.

Vp(в), м/сек

Рис. 7. Индикатрисы луче­ вых скоростей квазипродоль­ ных волн в поперечно-изо­ тропной среде

1 ,1 —расчитанные по

45

В частности, можно попытаться найти простую кривую, например эл­ липс с полуосями а и Ь, который наилучшим образом аппроксимирует индикатрису лучевых скоростей в интервале углов [о, в т]. Решение такой задачи удобно провести по методу наименьших квадратов. При этом одну из полуосей эллипса, совпадающую по направлению с осью симметрии среды, целесообразно выбрать равной Vjp.

Рассмотрим решение поставленной задачи, например, для продоль­ ных волн. Поскольку индикатрисы лучевых скоростей полностью опре­ деляются индикатрисами нормальных скоростей, можно вначале решить ее для нормальных скоростей. Уравнение для аппроксимации индикат­ рисы нормальных скоростей возьмем в виде

Vp(i) = V|p [1 + /3 sin2i ] 2,

где неизвестным является параметр /3. Для нахождения этого пара­ метра по методу наименьших квадратов следует найти минимальное значение интеграла

где Vp(i) - точное выражение индикатрисы нормальных скоростей;

Vp (i) - аппроксимирующее уравнение; im - максимальное значение уг»

ла L, для которого подбирается аппроксимирующая формула. Квадраты скоростей под знаком интеграла взяты для удобства вычислений.

Из последнего выражения обычным способом находим уравнение дл* определения

d lm 9

/tV2 (i) - V 2 (i)]2 di ! = 0,

После преобразований из последней формулы находим выражение для коэффициента анизотропии аппроксимирующего эллипса, связанного!

где </>(im) - функция, определяющая влияние интервала углов, в кото­ ром производится аппроксимация индикатрисы лучевых скоростей

46

q2

Ф «ш> =

определенному формулой (2 .3 0 ).

Следовательно, найденные приближенные формулы для лучевых ско­ ростей при малых углах падения в дают наилучшее приближение и в смысле метода наименьших квадратов.

Полученные результаты позволяют существенно уточнить и расши­ рить теорему, доказанную Креем и Хелбигом (5 4 ], о наилучшей ап­ проксимации индикатрисы лучевых скоростей квазипродольных волн для малых углов в. Как было показано [ 5 4 ], индикатриса в этом случае значительно лучше аппроксимируется окружностью радиуса V|p, чем

ЭЛЛИПСОМ С ПОЛУОСЯМИ V ^ p И K p V j p .

Полученные нами результаты показывают, что наилучшая аппрокси­ мация индикатрисы лучевых скоростей квазипродольных волн дается

Хелбига. Однако в поперечно-изотропных средах возможны случаи, ког­

да К2 +2у|>1 и кр >1, а также К2 +2у2 <1 и 7Ср <1. В таких случа­ ях теорема Крея и Хелбига не верна. Далее будет дан подробный ана­ лиз влияния упругих параметров тонкослоистой среды на величины /Г

И Kgy.

Найденные формулы дают также аналитическое доказательство пред­ положения, выдвинутого Стоепом [ 9 ] при разработке способа экспе­ риментального изучения анизотропии скоростей в реальных средах. Фор­ мулы (2 .3 0 ) и (2 .3 1 ) представляют аналитические выражения коэф­ фициентов анизотропии, определяемых по способу Стоепа. Формула (2 .3 2 ) показывает, что величина кажущегося коэффициента анизотро­

пии в принципе зависит и от диапазона углов, в котором производится аппроксимация индикатрисы лучевых скоростей. Такая зависимость/Гр

ков колебаний от устья скважины могут определяться коэффициенты анизотропии, зависящие от величины угла падения луча, а не истинные

47

5.ХАРАКТЕР ИЗМЕНЕНИЯ СКОРОСТЕЙ УПРУГИХ

ВДВУХКОМПОНЕНТНОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ТОНКОСЛОИСТОЙ СРЕДЕ

Исследование характера изменения скоростей в произвольной тонко­ слоистой среде в аналитическом виде связано со значительными труд­ ностями. Однако детальный анализ влияния дифференциальных пара­ метров тонкослоистой среды (т.е. параметров тонких прослоев) на ско­ рости длинных упругих волн представляется весьма важным. Подобный анализ удобно провести для случая периодической двухкомпонентной тонкослоистой среды. Рассмотрение данной упрощенной модели являет­ ся первым необходимым шагом, позволяющим детально изучить связь между дифференциальными параметрами тонкослоистой толщи и ее ин­ тегральными эффективными параметрами (2 .1 7 ) - (2 .2 1 ).

Для случая периодической двухкомпонентной тонкослоистой среды значения эффективных упругих параметров V^p, кр, Kgp, yj^ и К

можно выразить через скорости продольных и поперечных волн в пер­

48

Отметим, что в принципе безразлично, какой из чередующихся слоев в двухкомпонентной периодической среде считать за первый. Поэтому для определенности условимся, что в дальнейшем в качестве первого

слоистой среды по скоростям соответственно промольных и поперечных волн, а параметр 5 - по плотностям.

В настоящем разделе исследуется влияние параметров ш, д Пр и

п на эффективные упругие параметры и форму индикатрис скоростей

изменения параметра i, равном п/60 (3 °) . По результатам расчетов получены графики нормальных и лучевых скоростей в зависимости от

О V

скоростей нарушается, и на кривых появляются петли. Этот факт, впер­ вые теоретически установленный Масгрейвом [25] для некоторых крис­ таллов, по существу означает, что для некоторых направлений в попе- речнси-изотропной среде по одному и тому же лучу могут распростра­ няться три волны типа SV с различными нормальными и лучевыми скоростями. Отметим, что подобное явление экспериментально наблюда­ лось на кристалле КВг К.С. Александровым [93 ].

Для квазипродольных волн характер изменения нормальных и луче­ вых скоростей гораздо разнообразнее. Нормальные и лучевые скорости могут либо монотонно возрастать, либо вначале оставаться постоянны-4

ми, а затем возрастать, либо вначале убывать, а затем возрастать с увеличением угла падения. Такой характер изменения скоростей наблюдается и в многокомпонентных тонкослоистых средах и может быть

тонно возрастают, либо вначале остаются постоянными, а потом воз­

Как показывают результаты расчетов, для реальных двухкомпонент­ ных моделей может наблюдаться случай Кр<1, когда скорости вдоль напластования меньше скоростей вкрест напластования.

Влияние соотношения мощностей и плотностей прослоев

Рассмотрим вначале влияние параметра т = ---- на скорость сейсмй'

Ь2

ческих волн при постоянных значениях остальных параметров тонких прослоев. Для этой цели проведены расчеты индикатрис нормальных и лучевых скоростей для двухкомпонентной среды, моделирующей толщу

максимальное значение при ш = 1,0. Если величина m убывает, то

На анизотропию скоростей квазипоперечных волн SV соотношение мощностей влияет аналогичным образом (см. рис. 8,6). Коэффициенты анизотропии к<,у и /Tgy имеют максимальное значение при ш = 1 ,00, а с уменьшением или увеличением ш - убывают. При уменьшении зна­ чения . соответственно уменьшается и петля на индикатрисе луче­ вых скоростей. При Kgy < 1,13 петли отсутствуют.

Положение максимума на кривой Vgy(i) при изменении m практи­ чески не меняется.

Для рассматриваемой модели среды скорости квазипродольных вол* не убывают с возрастанием угла падения (см. рис. 8,в). В этом слу­ чае для квазипродольных волн справедливы те же закономерности из­ менения коэффициента анизотропии Кр и скорости в направлении, пер­ пендикулярном слоистости, при изменении параметра ш, что и для поперечных SH волн (см. рис. 8,в). Кажущийся коэффициент анизотропии Кр изменяется при этом весьма слабо, оставаясь больше или равным единице. Если же на индикатрисе имеется минимум скорости, форма ее может заметно изменяться. Сказанное можно проиллюстрир

50