книги из ГПНТБ / Невский, М. В. Квазианизотропия скоростей сейсмических волн

Мы будем рассматривать значение скорости, полученное по форму­ ле ( 2 .2 ), в качестве приближенного и обозначать, как это сделано в уравнениях (2 .1) и (2 .2), через V jp.

Если в разложении синусов оставить два члена, а в разложении косинусов ограничиться членами четвертой степени, то получим более

но последующая оценка погрешности будет связана с весьма громозд­ кими выкладками. Поэтому, желая получить приближенную формулу для предельной относительной погрешности, мы поступим иначе. Сло­

31

где

для относительной погрешности формулы для скорости длинных упру­ гих волн в тонкослоистой среде в направлении, перпендикулярном сло­ истости ,

скорости поперечных волн V^g и Vgg . Следовательно, и погрешность формулы для скоростей поперечных волн в направлении, перпендику­ лярном слоистости, ( (Vi с ) будет определяться формулой (2 . 4 ) , где

Дисперсионное уравнение для скорости поперечных SH волн в на­ правлении, параллельном слоистости, можно представить в виде

Рассмотрим случай, когда первый сомножитель равен нулю, так как интересующая нас формула для скоростей длинных поперечных SH волн в направлении, параллельном слоистости, выводится именно этим путем-

32

рых преобразований получим известную формулу [48]

Взяв два члена в разложении тангенса и проведя выкладки, анало­ гичные предыдущим, окончательно получим предельную относительную погрешность формулы ( 2 .6 ) для скорости поперечных SH волн в на­ правлении, параллельном слоистости,

(2 .7 )

r(Vl|SH} 24г(’ - ч)’ Щ :

Дисперсионное уравнение для скоростей поперечных SV волн, рас­ пространяющихся в направлении слоистости, также имеет вид уравнения ( 2 . 1 ) с соответствующей заменой скоростей продольных волн на ско­ рости поперечных. Поэтому погрешность формулы для скоростей попе­ речных SV волн в направлении, параллельном слоистости, также имеет вид (2 .3 ), где вместо Пр следует взять п ,

Дисперсионное уравнение для скоростей продольных волн в направ­ лении, параллельном слоистости, весьма громоздко, однако физически ясно, что и в этом случае погрешности будут того же порядка, что и по формуле (2 .7 ). Результаты расчетов предельных относительных по­

для скоростей длинных волн в периодической тонкослоистой среде бу­ дут выполняться с точностью до 1% для прослоев мощностью до 7 м; если скорости в прослоях различаются не более чем в 2 раза.

Мы оценили точность формул для скоростей сейсмических волн в периодической двухкомпонентной тонкослоистой среде. Согласно этой оценке, формулы для скоростей длинных упругих волн, распространяю­ щихся вдоль и поперек слоистости, выполняются с высокой точностью для периодически слоистых сред, если максимальная мощность просло­ ев на порядок меньше преобладающей длины волны. Интересно сравнить

33

3 1257

2. СКОРОСТИ УПРУГИХ ВОЛН В ПОПЕРЕЧНО-ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ

Как было найдено, теория сейсмической квазианизотропии примени­ ма к реальным тонкослоистым средам. Результаты работ [1 ,3 ,2 7 ] показывают, что всякая тонкослоистая среда имеет свой длинноволновой эквивалент - поперечно-изотропную среду. Известно, что кинематические особенности упругих волн в анизотропных средах могут существенно от­ личаться от таковых в средах изотропных [2 4 , 8 6 ]. Поэтому для це­ лей сейсморазведки важно рассмотреть основные особенности кинема­ тики упругих волн в поперечно-изотропных средах и прежде всего вопрос о скоростях этих волн.

Согласно общей теории распространения упругих волн в идеально упругих анизотропных средах [ 24 ], скорости упругих волн в них зави­ сят от направления распространения волны. Кроме того, известно, что сейсмические лучи в анизотропных средах не ортогональны фронту вол­ ны, т.е. в общем случае существует различие между направлением нормали к фронту волны в данной точке и направлением сейсмического луча. Следовательно, скорости распространения упругой волны по нор­ мали к фронту и в направлении сейсмического луча будут в общем слу­ чае различны.

Скорость упругой волны по нормали к фронту мы будем называть нормальной и обозначать через V, а скорость в направлении сейсми­ ческого луча — лучевой, обозначив ее через v.

Нормальные скорости

Поперечно-изотропные среды являются одним из наиболее простых типов анизотропных сред. Существенной особенностью их является на­ личие плоскости изотропии, которая может быть проведена через лю­ бую точку среды. Упругие свойства в плоскости изотропии, а следова­ тельно, и скорости упругих волн одинаковы для всех направлений. Пер­ пендикуляр к плоскости изотропии является осью симметрии попереч­ но-изотропной среды. В любой плоскости, содержащей ось симметрии, скорости упругих волн представляют собой функции направления распро­ странения волны.

Упругие свойства поперечно-изотропной среды в общем случае опи­ сываются пятью независимыми упругими параметрами С ц , С^3, С33,

по нормали к фронту, т.е. нормальные скорости, выражаются в любой плоскости, содержащей ось симметрии, через упругие параметры С -

иугол i между нормалью к фронту и осью симметрии [24 ]: для поперечных SH волн

35

Знак плюс в формуле (2 .9 ) соответствует квазипродольным, ми­ нус - квазипоперечным волнам SV.

Функции V(i) являются непрерывными дифференцируемыми четными и периодическими с периодом, равным 180 . Последние два свойства позволяют исследовать нормальные скорости упругих волн в поперечно­ изотропной среде на отрезке углов if [0,17/ 2].

Скорости упругих волн по направлению оси симметрии среды ( i = О) и перпендикулярно к ней ( i = тг/2) оказываются равными:

Vp(n-/2) Vsv ( п/ 2) = ’ VSH (7Г/2) = . ( 2. 10)

Заметим, что осью симметрии длинноволнового поперечно-изотроп­ ного аналога тонкослоистой среды является перпендикуляр к плоскос­

могут быть в явном виде выражены через упругие параметры среды С■j и направляющие косинусы нормали к фронту волны для произволь­ ной идеально упругой анизотропной среды [2 4 ]. Для лучевых скоростей' как будет указано, это удается сделать не всегда даже для сравни­ тельно простых типов анизотропных сред.

Лучевые скорости

Зависимость лучевой скорости v от угла в между лучом и осью сим­ метрии поперечно-изотропной среды можно получить из уравнения оги­ бающей семейства фронтов плоских волн, распространяющихся под все­ ми возможными углами к оси симметрии среды [8 6 ]. Для всех трех типов волн - Р, SV и SHj распространяющихся в поперечно-изотроп­ ной среде, лучевую скорость можно выразить в параметрическом виде через соответствующие нормальные скорости V(i):

v(i)

( 2 . 11)

d In V

0(i) = i + arctg

di

36

z

В

Рис. 5. Геометрическая интер­ претация нормальной V и лучевой скорости v в анизотропной среде

РВ —нормальная скорость; РА —лучевая скорость; ф —угол

между нормалью к фронту и лучом

В уравнениях (2 .1 1 ) v представляет собой значение лучевой ско­ рости, соответствующее углу в между осью симметрии среды и лучом. Параметр i в этих уравнениях имеет смысл угла между нормалью к фронту волны и осью симметрии среды.

Исключить i из уравнений (2 .1 1 ) удается только для волн SH. В этом случае индикатриса лучевых скоростей представляет собой эллипс

С ПОЛУОСЯМИ \^gj^ H ^ | | S H '

Аргумент радиуса вектора индикатрисы лучевых скоростей выражает­ ся, согласно уравнениям ( 2 . 1 1 ), формулой

d In V

в = i + arctg (

Дим условия отсутствия особых точек на кривой лучевой скорости в виде

di2

Связь между нормальной и лучевой скоростью нетрудно найти из уравнений (2 .1 1 ) и рис. 5. Соответствующая формула имеет вид

V(i)

v (0 )

cos ф ■’

37

где ф - угол между лучом и нормалью к фронту. Согласно последнему уравнению, лучевую скорость можно рассматривать как кажущуюся ско­ рость в направлении сейсмического луча. Эта кинематическая интерпре­ тация лучевой скорости предложена Гассманом [4 J. С другой стороны, лучевая скорость является скоростью распространения упругой энергии, переносимой упругой волной, в анизотропных средах. Это энергетичес­ кая интерпретация лучевой скорости развита в монографии Ф.И. Федо­ рова [2 4 ].

Кажущаяся скорость

Изучение кажущейся скорости в поперечно-изотропной среде необ­ ходимо для дальнейшего решения прямых и обратных задач сейсмораз­ ведки, в частности для учета преломления сейсмических лучей на гра­ ницах раздела.

Выведем уравнение для кажущейся скорости распространения волны, падающей на плоскую границу раздела в поперечно-изотропной среде. Предположим, что ось симметрии среды перпендикулярна к границе. Воспользуемся для вывода рис. 6 .

Рассмотрим два бесконечно близких луча, вышедших из источника и

Аг = AX sin 6 - AXcos вtgф.

Или после деления на At и перехода к пределам

lim (*—-) cos^r = lim ( — ) sin(0-i/r).

Окончательно для кажущейся скорости получаем из последнего вы- , ражения следующую формулу:

38

Формула (2 .1 3 ) представляет собой обобщение закона Бендорфа для анизотропной среды. Для случая изотропной среды, когда лучи ортого­ нальны фронту и угол ф =0, она переходит в известное уравнение.

Уравнение (2 .1 3 ) можно представить, используя формулы (2 .1 1 ), в двух видах. Во-первых, через нормальные скорости V(i)

во-вторых, через лучевые скорости v (в)

мя другими важными кинематическими характеристиками: лучевой ско­ ростью v(0) и углом падения луча в. Уравнение (2 .1 5 ) будет ис­ пользовано в дальнейшем для решения прямых и обратных задач сейсмо­ разведки в слоистых поперечно-изотропных средах.

3. ЭФФЕКТИВНЫЕ УПРУГИЕ ПАРА ДЛИННОВОЛНОВОГО ЭКВИВАЛЕНТА ТОНКОСЛОИСТОЙ СРЕДЫ

Упругие константы длинноволнового поперечно-изотропного эквива­ лента тонкослоиотой среды - Сц»Схз, С33, С44 и Cgg —можно выра­

зить через упругие параметры тонких прослоев, их плотности и мощно­ сти [4 9 ]. В частности, для случая периодической тонкослоистой сре­ ды, прослои которой изотропны и однородны, формулы для упругих

39

констант длинноволнового поперечно-изотропного эквивалента можно представить в виде:

разно ввести иные эффективные упругие параметры длинноволнового эквивалента тонкослоистой среды, которые имеют более наглядный фи­ зический смысл применительно к вопросам сейсмических исследований. Часть из вводимых упругих параметров использовалась ранее другими авторами в сейсмической литературе, а некоторые из них непосредст­ венно измеряются как при полевых сейсмических исследованиях, так и при измерении скоростей на образцах.

Введем эффективные упругие параметры длинноволнового эквивален­ та тонкослоистой среды в соответствии со следующими формулами:

40