Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга

.pdf
Скачиваний:
39
Добавлен:
19.10.2023
Размер:
7.61 Mб
Скачать

60

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА

МЕЛЛИНА

[ГЛ. 4

при

действительных р~> а. Параметр

а должен

удовлет­

ворять условию R e a s ^ a и выбирается

так, чтобы функ­

ция

ф (р) в полуплоскости Re р > а обладала

«лучшими

свойствами», чем функция F (р). Под улучшением свойств функции будем понимать следующее. Функция F (р), как изображение, является регулярной в полуплоскости

Rep5>a .

Особенности поведения F (р) определяются ее

особыми

точками, лежащими в полуплоскости R e p s g a ,

в частности их расположением. Изменение/7 (р) при R e p > a будет, вообще говоря, тем более гладким, чем меньше особых точек имеет F (р), чем более простыми они будут и чем дальше от прямой Re р = а эти точки расположены.

Параллельным переносом осей координат всегда можно

сделать а = 0 sc а < с; поэтому будем

предполагать, что

функция F (р) имеет вид

 

F(P) = y<V( P) ,

(4.1.2)

где ф (р) регулярна при R e p > a и непрерывна в полу­ плоскости R e p а, включая бесконечно удаленную точку. Заменяя функцию F (р) в интеграле (4.1.1) выражением

(4.1.2), получим

с+ i со

т = - 2 й г { e v x p ) < / p .

(4.1.3)

Для интеграла (4.1.3) будем строить интерполяционную квадратурную формулу, основанную на интерполировании функции ф(р). Нго мы выполним при помощи линейных комбинаций некоторой системы функций соv(p) (v = 0, 1,.,.). Выбор системы подчиним следующему условию полноты: какова бы ни была функция ф (р) указанного выше вида,

для любых *) О а и е > 0 должна существовать такая

П

линейная комбинация S„ (р) = 2 °vMv (р), чтобы в области

V—0 R e p ^ c выполнялось неравенство

' П

Ф (р) - Ц av®v (Р) < е .

V— 0

*) Как будет видно ниже, требование выполнения условия пол­ ноты при любых с > а может быть ослаблено и заменено предполо­ жением выполне'ния условия при достаточно больших с.

§ 4. 1]

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ МЕТОДОВ

61

При

наших предположениях относительно функции ср (р)

за соу(р)

естественно взять не многочлены, а рациональ­

ные

функции

от

р, ограниченные при р-> оо,

полюсы

которых

лежат

в

полуплоскости R e p s g a . Кроме этого,

функции

cov (р)

должны удовлетворять еще существенному

в практике счета требованию: вычисления с ними должны быть достаточно простыми. Наиболее же простыми вычис­

ления будут в том

случае, если за сov(p)

принять отри­

цательные

степени,

т. е. p~v (v = 0,

1, ...),

и интерполи­

ровать функцию ср (р) многочленами от 1/р.

 

Что касается узлов рк, то будем сейчас считать их

произвольными,

расположенными

справа

от прямой

Rep = а .

Частные

случаи расположения узлов на дейст­

вительной оси будут рассмотрены в следующих парагра­ фах этой главы.

Возьмем точки

р0, ри

... , рп, лежащие в

полу­

плоскости R e p > a ,

и по ним построим многочлен Pn(^ j,

интерполирующий функцию ф (р):

 

 

П

 

ф (p) = P n{j) + rn( p ) = 2

Ik {j)^(pk) + rn (р),

(4.1.4)

k=0

где

Подставляя (4.1.4) в интеграл (4.1.3), получим следующую формулу для его вычисления:

c + i со

 

 

10$ ^

2 Ц - У ф (Рк) + Гп(р) dp —

С—{ 00

L*=О

 

 

= 2

+ (4.1.6)

А = 0

62 МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА МЕЛЛИНА [ГЛ. 4

где

c-\-i со

А ,

$

etpP^{j)dP’

 

с— too

(4.1.7)

 

С -J- t со

 

 

я »=2ЙГ

S

etpp-srn(p)dp.

 

С — i СО

)

Отбросив в формуле (4.1.6) остаточный член Яп, получим приближенную формулу для вычисления оригинала по

изображению.

 

 

коэффициентов

Ak (t).

Займемся теперь вычислением

Разложим

многочлен L (—\ по степеням

—:

 

 

 

 

 

\Р 1

 

Р

 

lk

 

 

+

+

=

2 akjP~!*

Тогда

 

 

 

 

 

i=o

 

 

c-^ico

п

 

 

 

 

 

 

 

 

7lfe(0 =

2S7

J

ep/p~s 2

a^p-' dp =

 

 

 

 

 

C —too

/ =

0

 

 

 

 

11 .

C-f-tCO

 

n

 

 

=

2

а*1Ш l

eP‘p-s- U p = 2 akjt" 1

(4.1.8)

 

/= 0

 

 

/= 0 Г(8 + Д

 

При помощи (4.1.8) легко могут быть вычислены коэффи­

циенты Ak (t) для

любых значений t. Для этого необхо­

димо знать только

значения akJ, которые зависят лишь

от выбранных узлов рк. Для наиболее часто встречаю­ щихся способов выбора рк значения akj могут быть вычис­ лены заранее.

§ 4.2. Интерполяционный метод с равноотстоящими узлами

Рассмотрим случай равноотстоящих узлов рк, распо­ ложенных на действительной полуоси [а, оо):

Pk = a + (kA- \)h

(h> 0, k = 0, 1

n).

He ограничивая

общности

задачи, всегда

можно считать

h — 1, для чего

достаточно выполнить замену переменной

p = a-\-p'h. После этого узлы р* станут целыми числами:

Pk = k + 1 (k = 0, 1, п).

§ 4.3]

МЕТОД С НЕРАВНООТСТОЯЩИМИ УЗЛАМИ

63

В этом случае формула (4.1.6) без остаточного члена Rn с учетом равенства (4.1.8) примет следующий вид:

/(0^ Д

ла(0ф(А+1)=2 | 2

v s+y_1'

ф(А+1).

(4-2.1)

г (s+j)

Многочлены lk

 

 

 

A = 0V/= 0

 

 

 

 

в

этом случае значительно

упростятся

и будут равны

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

/

1

1

1

k+ 2

п + 1

1

 

 

 

1

1

 

k + l

l j ' " \ k + l

k ) \ k + 1

k + 2 j " ' \ k + \

n + 1

_ (fe+l)n (p— 1) ... (p— k) (p— k 2) ... (p— n 1)

 

 

pn

 

k ( k — \) ... 2- 1(—1) (—2) ... ( k - n )

 

 

(—!)““* (*+!)“

(P-1) (P-2) ... ( р - я - 1 )

(4.2.2)

 

k\ (n— k)\

 

 

Pn (p — k—1)

 

 

 

 

 

 

Коэффициенты akj разложения многочлена lk

по сте­

пеням 1 Ip

могут быть легко вычислены.

для

п =

1 (1) 15

Таблица значений akj (k, j =

0,

1........п)

приведена

в книге [8].

 

 

 

 

 

 

Для конкретных значений параметра s вместо коэф­

фициентов

akj

могут

быть

протабулированы значения

Г (s4~/)

 

 

 

параметра s = l

формула (4.2.1)

Для частного случая

была построена Г. Солзером. Им же были просчитаны

значения коэффициентов

Ak (t) для

некоторых значений t.

Для этой

же формулы

К. Ширтлайф и Д. Стефенсон

вычислили

значения коэффициентов

( k + l )akJ

% = ---- л— для п—

= 1(1)9.

 

 

/1

 

 

 

§4.3. Интерполяционный метод

снеравноотстоящими узлами

Равноотстоящие узлы, которые избраны в § 4.2 для интерполирования функции ф (р) при вычислении интег­ рала Меллина, будут, очевидно, самыми простыми и удоб­ ными, но будут давать, по-видимому, не самый лучший результат в смысле точности.

64

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА МЕЛЛИНА

[ГЛ. 4

А так

как вычисление этого интеграла

часто бывает

связано с довольно трудными и сложными

расчетами, то

желательно попытаться выбрать на действительной оси узлы так, чтобы интерполирование функции ср(р) было

более "точным, чем

интерполирование по равноотстоящим

узлам, и,

следовательно,

был более точным

и

результат

вычисления

интеграла Меллина.

задачи

мы теперь

Одно

из

возможных решений этой

рассмотрим.

§ 4.1,

будем

предполагать,

что изображение

Как и

в

F (р) представимо в

виде

1

 

 

 

 

 

А(р) =

 

 

 

 

 

(Р — a ) s ф (р );

 

 

 

тогда интеграл (4.1.1) примет вид

 

 

 

 

 

 

сЛ-i со

 

 

 

 

 

 

 

ф <р)

d p .

 

(4.3.1)

 

 

 

 

а у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с — /со

 

 

 

Чтобы

преобразовать

бесконечную

полуось

[а, оо),

на которой выбираются узлы интерполирования, в конеч­ ный отрезок, выполним дробно-линейное преобразование

 

 

 

А -у (А 2а) х

 

 

(4.3.2)

 

 

 

 

1—х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где А действительное

число, большее а. Это преобразо­

вание переведет

полуось

[а,

оо) в отрезок [— 1,

1], линия

Rep = а перейдет в единичную окружность | х | =

1, а полу­

плоскость R e p S s а — в единичный круг

| * | с 1 .

Точка А

преобразуется

в

центр

х = 0 единичного круга.

Линия

интегрирования

Rep = c в

интеграле

(4.3.1)

 

перейдет

в окружность,

лежащую внутри единичного круга и касаю­

щуюся его границы в

точке х = 1. Длина радиуса этой

окружности будет зависеть от значения с. Если

с будет

приближаться

к

а, то она будет приближаться к единице.

Наоборот, если с будет увеличиваться, то она будет

уменьшаться и может стать как угодно малой.

Функция

Ф (р) преобразуется в функцию

 

Ф (Р) = Ф ( Л + {t - x a)X") = ф (*)•

<4-3-3)

Так как ф(р) была регулярной в полуплоскости R e p > a , то функция Ф{х) будет регулярной в круге | jc| <Г 1.

I 4.3] МЕТОД С НЕРАВНООТСТОЯЩИМИ УЗЛАМИ 65

Для вычисления интеграла (4.3.1) мы будем теперь интерполировать функцию Ф (х) на линии интегрирования

по ее

значениям в л + 1

точках х* (/г = О, 1.........п) диа­

метра

d единичного круга

| х \==£, 1, лежащего на действи­

тельной оси. При этом постараемся точки xfe выбрать так, чтобы погрешность интерполирования была как можно меньше.

Следует заметить, что интеграл (4.3.1) является кон­ турным интегралом от аналитической функции комплекс­ ной переменной р. Он мало зависит от линии интегриро­ вания Re р = с (с > а ) . В частности, с можно выбрать сколь угодно большим числом. Тогда линия интегрирова­ ния при преобразовании (4.3.2), как уже говорилось выше, перейдет в окружность малого радиуса, симметричную

относительно

диаметра d единичного круга | х | ^

1 и

касающуюся

его окружности в точке х = 1 . Поэтому

при

интерполировании функции Ф (х) мы будем заинтересованы в получении хорошей точности, в особенности вблизи точки х = 1.

Рассмотрим два способа выбора узлов хк и выскажем наглядные, но не вполне строгие мотивы, которыми мы руководствовались, когда остановились именно на этих узлах.

При исследовании сходимости интерполяционных про­ цессов для аналитических функций большое значение

имеет

п р е д е л ь н а я

ф у н к ц и я

р а с п р е д е л е н и я

у з л о в .

Это понятие

требует пояснений. Напомним его

и,

чтобы лучше выяснить содержание вопроса, начнем

с

более

общего понятия ф у н к ц и и

р а с п р е д е л е н и я

масс . Пусть на отрезке [—1, 1J по произвольному закону распределена единичная масса. Возьмем произвольную точку х на [— 1, 1], лежащую левее точки 1, и обозначим р (х) массу, лежащую строго левее точки х, т. е. принад­ лежащую открытому справа отрезку [—1, х). Дополним это определение р(х), положив р(1)=1.

Функция р (х) обладает, очевидно, следующими свой­ ствами:

1)р (— 1) = 0;

2)р (х) есть монотонная неубывающая функция х,

непрерывная слева для х е [ — 1, 1);

3) р (1 )= 1 .

Всякую функцию р (х), независимо от ее физического смысла, обладающую указанными тремя свойствами, назы­ вают функцией распределения для отрезка [— 1, 1].

3 В , И . К р ы л о в , H , С , С к о б л я

66

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА МЕЛЛЙНА

[ГЛ. 4

Предположим, что дана

последовательность

функций

распределения уп(х) (л =

0,

1, 2, ...). Говорят,

что функ­

ция

распределения у{х)

является предельной для

задан­

ной

последовательности,

если во всякой точке

непрерыв­

ности р (х) будет

ря (х) р (х)

(п ^оо ).

 

Пусть теперь

на отрезке

[— 1,

1] взято п-\-\

узлов

интерполирования

xk (k = 0,

1..........

п). Каждому

узлу

припишем массу \/(п-\-\). Этим будет определена некото­ рая функция распределения масс р (х), которую называют функцией распределения взятой системы узлов.

Рассмотрим, наконец, интерполяционный процесс, опре­ деляемый бесконечной треугольной таблицей узлов

встроках которой стоят узлы интерполирования на

отдельных шагах

процесса.

Возьмем строку номера п

с узлами лфй (k = 0,

1, ... , п)

и назовем соответствующую

им функцию распределения р„(х). Будем считать таблицу X такой, что последовательность р „(х) (п = 0, 1, 2, ...) имеет предельную функцию распределения р(х). Функция р(лг) называется предельной функцией распределения узлов интерполирования.

Особая роль при интерполировании аналитических функций принадлежит предельной функции распределения, которая называется функцией Чебышева:

X

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

и*)=4 $j / T ^ -

 

 

Если для

наглядности считать,

что р (х) связана с распре­

делением

масс на

[— 1, 1], то

плотность

распределения

масс

будет р (х) = и' (л:) =

я -1 (1 — х2)~1/2 и массы

будут,

очевидно,

расположены симметрично

относительно

точки

х = 0,

разрежены

вблизи

середины

отрезка [— 1, 1J и

уплотнены у его концов.

 

 

 

 

 

Оказывается, что интерполяционные процессы с узлами,

имеющими в качестве предельной функции

распределения

§ 4 .3]

МЕТОД С НЕРАВНООТСТОЯЩИМИ УЗЛАМИ

 

67

узлов

функцию

Чебышева,

являются

наилучшими

для

интерполирования

на

[ - 1 ,

1]

аналитических

функций

в следующем смысле:

какова

бы ни была функция

g(x),

аналитическая на отрезке [— 1,

1], интерполяционный про­

цесс для нее будет сходиться

всюду

на отрезке

[— 1, 1]

и при этом равномерно относительно х. Кроме того, рав­ номерная сходимость сохранится и в некоторой окрест­

ности отрезка

но форма области сходимости

будет зависеть от свойств g(x)

(см. [6]).

 

 

Поэтому при интерполировании функции Ф(х) естест­

венно было взять такие узлы

хк

(k = 0, 1, 2,

. . . , п) на

отрезке [—1,

1], для которых предельная функция распре­

деления есть функция Чебышева.

 

 

 

Известно также,

что корни

любой системы многочле­

нов, ортогональных

на отрезке

[ - 1 , и с любой сумми­

руемой и почти везде положительной весовой

функцией,

будут иметь в качестве предельной

функции распределе­

ния функцию Чебышева.

 

 

 

 

За узлы xk

(k = 0,

, п) при интерполировании Ф (х)

можно взять

корни

многочлена

степени п -\-1

из

любой

известной системы ортогональных многочленов,

в

частно­

сти корни многочленов Чебышева первого и второго рода, многочленов Лежандра и Якоби.

Задачу определенного выбора узлов xk отложим до конца параграфа, теперь же будем считать их произволь­

ными, расположенными

на [— 1, 1].

 

 

По значениям функции Ф (л:) в точках xh {k — 0, 1,..., п)

построим

интерполирующий ее многочлен

 

 

П

 

 

 

 

ф ( * ) ^ 2 ы * ) ф (* * )=

 

 

 

А= 0

 

 

 

 

(х— х0) ... (x— xk_i) (x— xk+1) ... (x — xn)

(4.3.4)

(хк

Xq) . .. (хк Xk_ i)

{хк

Xfy^i) ... (хк xtl)

 

k = 0

 

 

 

 

 

Вернемся

от переменной х к

старой

переменной

pi

 

 

р — А

 

 

тогда

Х ~

р +

А - 2 а

'

 

 

 

 

 

 

 

Ф (Р )^ 1]4(Р )Ф (Р »)>

(4.3.5)

 

 

А= 0

 

 

 

3 *

68 МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА МЕЛЛИНА [ГЛ. 4

где

 

Pk" А + (Л 2а) х*

 

 

 

1—xk

P i - А

 

п

Р ~ А

h (р) = Lu(X) = Д

р -f-А

Pi + A —

Ра-^4

Pi — А

 

i= 0

 

Рк+ А —

Pi + A

 

1фk

 

 

М р ). Так

как

Р - А

Рг

2 (Л--a) (p—pi)

р-\~ А — 2а

Pi + A —2а

(р + А —2а) (pi + A —2а)

Рк — А

P i - А

2 (Л -а ) (pk—pi)

РкА-А —

Pi + A —

(р * + Л -2 а ) (рг + Л — 2а) ’

ТО

Ш

(Рк+А 2а)п g>fe (р)

(p + A —2a)n u>k (pk)

где

 

 

СО(р)

© (Р) = (Р - Ро) (Р “ Pi)

«А (Р) ; Р — Рк'

(4.3.6)

(Р -Р п).

Выражение (4.3.5) для функции ср (р) подставим в интег­ рал (4.3.1) и получим следующую формулу для его при­ ближенного значения:

с+Соо

М =

S

ePti = k s d p ^

 

 

С — 1 0 0

п

п

 

 

c +

too

 

 

** Ш

S

( ^ а р 2

к (Р) Ф (Pk) Ф = 2

(t) ф (р*),

 

С — ICO

&=0

Л = 0

(4.3.7)

где

 

 

 

 

 

 

 

c + io o

 

 

 

 

 

 

 

 

Л> » - 5 Я

S '" 'э Й И " -

(4.3.8)

 

 

 

 

с — too

 

Интеграл в последней формуле можно свести к интег­ ралу, вычисляемому при помощи известных таблиц для обращения преобразования Лапласа. Действительно, раз­ ложим многочлен со* (р) по степеням р + А 2а:

П

(р) = Ц

(Р + а - 2а)"-';

/=о

 

' 4.3] МЕТОД С НЕРАВНООТСТОЯЩИМИ УЗЛАМИ 69

тогда

4

(Р) = Y

аы (Р + А -

2 а )_ / »

(4.3.9)

где

/= о

 

 

 

(pk + A - 2 a y k

 

 

 

&kj

 

(4.3.10)

 

 

(Pk)

kJ‘

 

 

 

 

Подставляя (4.3.9) в формулу (4.3.8),

получим

 

 

 

С

ept

 

Ak {t)— ^

akj 2ш-

 

(4.3.11)

 

^

dp.

,=о

 

' ^ ( p + A - W ip - a y

 

Последний интеграл является табличным, выражающимся через вырожденную гипергеометрическую функцию (см. [3].

стр. 231).

Окончательно для Ak (t) получается следующее выра­ жение:

Ak( t) = 2 av

r ( s + j ) ei2a~ A)tlFl (s' S+A( a + A - 2 a ) t ) .

 

/=0

 

 

(4.3.12)

 

 

 

 

Здесь

есть вырожденная гипергеометрическая функция'

 

 

 

 

с о

 

р

6

у r <a + V) 2V

 

l f

l (

Р’ Z > ~ T ( a )

Z r(P+v)v!Z

v=0

( | z | < o o ) .

Равенство (4.3.12) можно упростить для некоторых част­ ных значений а и А. Например, если точки а и Л будут расположены симметрично относительно а, т. е. если они

будут связаны соотношением а = у ( Л + а ) , то

пc+ico

Ak (() = 2 аи ш S ePt 7ГГС

/ = о

( p - a ) s+J

fs+./-ieef

= 2 aki 'r(s + /) 1 (4.3.13)

/ = 0

Формулы (4.3.12) и (4.3.13) позволяют определить коэффициенты ЛА(/) квадратурного правила (4.3.7) для

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ