Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 236 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

50		МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ							[ГЛ. 3
Для многочленов Чебышева первого рода Т%{ег() весо
вая функция		р (/)	имеет вид
		р () = е-</(1				- е - ' ) - 1/*,
а функция f(j^j			вычисляется			по формуле
f ( I ) =		Р V) е^ср (t) = а'/2 (1 _					в - 0 - Ч2ф (t).		(3.1.41)
Если	перейти		к	тригонометрической записи					многочле-
нов Т'п{ег() и сделать замену						переменной t = —2 In cos у ,
то формула		(3.1.41)		примет вид
	; ( _	2 1псо8} ) =			_ \| _ ф ( _ 21 п с°5{ ) .
Так как	разложение функции					ф (6) имеет вид (3.1.25), то
				2			6 \	будет следующим;
				С — у	In cos у j
				2			СО
	In cos-				й0 +		2	akcoskB	. (3.1.42)
				л sin 0
							k =	i
Для	многочленов			Чебышева			второго рода		U%(е~0 ве
совая функция р (t)				имеет вид

Р (t) = е~31/2(1 — е~‘У/2,

а функция fij[j вычисляется следующим образом;

/ ( I ) = Р t)( (0 = еm- (1 - е- 0 1/2Ф (0 •

Если перейти к тригонометрической записи многочле нов U%(е_0 и сделать замену переменной такую же, как и в предыдущем случае, то получим

у In cos y j = у sin бф

2 In cos y j .

Так как для ф имеет место разложение (3.1.28), то

СО

/ ( - y l n c o s y j = у ^ ak sin {k-\-1)0. (3.1.43) k —0

Коэффициенты ak разложений (3.1.40, 42,43) вычисляются из соответствующих треугольных систем уравнений, при


§ 3.1]	ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ		БГ
этом	в качестве моментов F (k) (см. (3.1.4)) берутся		числа
	Hk = hFih (k+ 1))
В разложении (3.1.42)		множитель 1/sin 0 может ока
зывать сильное влияние на		погрешности вычислений при
значениях 0, близких к нулю. Поэтому этим разложением

можно пользоваться, когда требуется вычислить значение

fit) не	на всей	оси, а только	в точке	t = t0 и ее окрест
ности.	В этом	случае можно выбрать параметр h так,
чтобы замена х = е~ы перевела			точку / = /0 в х = 1/2, т. е.
0 = jt/2.	Тогда	влияние множителя 1/sin 0 будет сведено
к минимуму. Значение h будет равно				(In 2)/t0. При этом,
если абсцисса		абсолютной сходимости		интеграла уа=^0,

то на величину t0 не накладывается никаких ограничений;

если же уа> 0, то			указанным методом можно пользо
ваться,	если	0 < /0 <	(In 2)	/ уа, так как h = у0> уа.
Для	всех	описанных в этом параграфе			методов харак
терен	один	существенный		недостаток,	заключающийся

в следующем. Коэффициенты многочленов Лежандра, Че бышева первого и второго рода и других многочленов Якоби так же, как и коэффициенты треугольных систем линейных алгебраических уравнений относительно искомых


коэффициентов ак, растут очень								быстро с ростом k. По
этому для того,			чтобы		коэффициенты разложения в ряд
были вычислены			хотя	бы с		умеренной точностью, значе
ния	исходных данных				должны быть заданы с большой
точностью.			Ряд		(3.1.43) представляет собой синус-
	З а м е ч а н и е .
ряд	Фурье	для	функции			/(	—	In cos у ) . Может слу
читься, что		коэффициенты				ак этого			ряда будут убывать
недостаточно		быстро		и	ряд		будет		сходиться медленно.

В этом случае можно улучшить сходимость ряда, если функции F ip) и f{t) удовлетворяют некоторым условиям. Из теории рядов Фурье известно, что если функция

достаточное число раз дифференцируема

и обращается в нуль на концах отрезка [0, я], то коэф фициенты разложения этой функции в синус-ряд Фурье имеют порядок (1/А3). Поэтому можно попытаться пред ставить изображение F ip) в виде суммы так, чтобы ори гинал для одного слагаемого вычислялся точно, а для

52 МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ [ГЛ. 3

другого удовлетворял перечисленным выше условиям. Если будут справедливы равенства

	lim	pF(p) = lim/(*) = /„,
	р-*-оо	t -*■ О
	lim	pF {p) = lim / (^) =			/«,
p -* 0		t -*• со
и пределы конечны,		то F (р) можно		представить в виде
F W = F M + (!f + т т г ) -
Оригинал для слагаемого в скобках					вычисляется точно,
а оригинал fx(t)	для функции		Fl (p)		равен	f(t) — f<x, —
— (fo— fooje-t и,	как	функция	0,	обращается		в нуль на
концах отрезка	[0,	я]. Синус-ряд Фурье для функции
fx(t) будет сходиться		быстрее, чем		ряд для функции f(t).

§3.2. Обращение преобразования Лапласа

спомощью ряда Фурье по синусам

Вэтом параграфе мы изложим еще один способ на хождения оригинала по значениям изображения в равно отстоящих точках на действительной оси. Этот способ основан на двух допущениях, не ограничивающих, однако, его общности. Во-первых, предполагается, что изображе ние F (р) существует при Re р > 0. Это всегда можно сделать, если рассматривать вместо изображения F (р)

изображение F (р + а) при достаточно больших а. Послед

нее равносильно	умножению оригинала / (/) на e~at. Во-
вторых, предполагается, что / (0) = 0.		Этого можно достичь,
положив /i (0 =	/ (0 — f (О)а^, что	равносильно	замене
изображения F (р) изображением F (р) —
Интеграл Лапласа
	СО
	F (р) — \ e~ptf (0 di		(3.2.1)
	о
преобразуем при	помощи подстановки
	е~ш — cos 6,		(3.2.2)

§ 3.21 ПРИМЕНЕНИЕ РЯДА ФУРЬЕ ПО СИНУСАМ 53

где а есть произвольное число, большее нуля. Тогда

m = / ( - \| l n c o s 6 )		= cp(0)	( о < 0 < - £ ) ,	(3.2.3)
я/2
oF (or)= ^	(cos 0)р/«—»sin 6 ф (О) £/Э.			(3.2.4)
о
Функцию ср (0) разложим в		ряд Фурье по синусам		нечет
ных кратных дуг	СО
	СО
ф(0)=	2]	cftsin(2£-\|- 1) 0,		(3.2.5)
	k= 0

коэффициенты ск которого определяются обычным спо собом :

		я/2
	ск = ~ ^ ф (6) sin (2/fe + 1)0 <Й.				(3.2.6)
		о
Чтобы выразить		значения коэффициентов ск через зна
чения	изображения F (р),		поступим следующим	образом.
В интеграле (3.2.4)		положим р = (2п-\-\)а (п = 0,				1,...),
тогда	получим		я/2
			я/2
	o [/'(2 n -f	1)а] =	^ cos2" 0 sin0 ф (0) d0.		(3.2.7)
			о
Ядро этого интеграла может быть представлено					в виде
линейной комбинации функций sin (2^ +1)0:
cos2n 0 sin 0 =				2n
			sin [2 (n — k) -f 1] 0,	2n		= 0.
				— 1
					(3.2.8)

В интеграл (3.2.7) подставим выражения (3.2.5) и (3.2.8). Так как

я/2	( 0	ц Ф у
5	sin (2^ + 1) 0 sin (2v + 1) 8 п!0 = \|	^ = ^

то при фиксированном п останутся только члены, ДЛЯ

которых y = n — k (k = 0, ! , . . . , « ) ,	т. е.
a f [ ( 2 « + 1) a] = 2~2п П	Cn-kI
*= о

54		МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ			[ГЛ. 3
ИЛИ
\12П'	2п	со+ • • • +	2л	Cn-k+ • • • +	сл —
\12П'		со+ • • • +	k - \	Cn-k+ • • • +	сл —
1\ п			k - \

	4я+1
	oF[(2n+ 1 )а],
или
k = 0	<з ' 2'9»
k = 0

Подставив в это равенство последовательно п = О, 1, ... , получим линейную систему уравнений с треугольной ма трицей для определения коэффициентов ск:

со = ^°F (o),

Со 4-С! = - огГ (За),

2с0+ 3q -f с2 = ^ а/7 (5а),

Выбор значения а обусловливается величиной промежутка, для которого необходимо вычислить значение оригинала f{t), а следует выбирать малым для больших t и, наобо рот, большим для малых t.


З а м е ч а н и е . Равенством (3.2.3) функция							ф(0)	определена на
отрезке	0 ^	0 < л/2.	Тригонометрический			ряд, стоящий справа
в (3.2.5),	представляет функции, обладающие двумя							особенностями:
эти функции		являются	нечетными,	или,	иначе		говоря,		имеющими
в плоскости с декартовыми осями координат						(0,	<р) график, симмет
ричный относительно начала координат,					и	такими,		что их график
является	симметричным относительно прямой					0 =	п/2.	Тригонометри
ческий ряд (3.2.5) дает продолжение функции							ф (0),		обладающее
указанными		свойствами	симметрии,	кроме		того,	2л-периодическое,
и является для продолженной функции рядом Фурье.								К. определению

его сходимости применимы все известные теоремы о сходимости ряда Фурье.

§3.3. Обращение преобразования Лапласа

спомощью рядов по обобщенным многочленам

Чебышева — Лагерра

В предыдущих параграфах этой главы были рассмот рены методы обращения преобразования Лапласа, в кото рых оригинал f(t) находился по значениям изображения F (р) в равноотстоящих точках действительной оси. В на

§ 3.3) ОБОБЩЕННЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА - ЛАГЕРРА

стоящем параграфе будет рассмотрен метод восстановления оригинала, использующий значение изображения F (р) и значения его производных в одной точке.

Пусть задано преобразование Лапласа

		СО
		F{p)=\e~ptf{t)dt.			(3.3.1)
		О
Предположим,		что функция f(t) удовлетворяет условию
		с о
		\e~,t l \f(t)fd t< o o ,			(3.3.2)
где	Я > — 1.	О
где	Я > — 1.					ряды
по	Тогда из общей теории разложения функций в					ряды
по	ортогональным	многочленам	известно,	что ряд		Фурье
для	функции g{t) = t~xf{t) по		обобщенным		многочленам
Чебышева — Лагерра
		СО
						(3.3.3)
		4 = 0
сходится в среднем к этой функции. Это					означает, что
для	частичных сумм
		N
		s * ( f ) = 2
		4= 0
имеет место равенство
		с о
	П т	\ \| g (t) — SN (t) \|2 tle~* dt =		0.
	W — со 5

При некоторых дополнительных ограничениях, накла дываемых на g (t), которые мы здесь не приводим *), имеет место равенство

СО
g ( t ) = 2 7 7 ^ (0-	(3.3.4)

Обобщенные многочлены Чебышева — Лагерра ортогональ ны на полуоси 0 < х < о о с весом р (х) = хке~х и могут

*) См. Г. Сеге , Ортогональные многочлены, гл. IX, теорема

9.1.5, М., Физматгиз, 1962,

56 МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ [ГЛ. 3

быть представлены формулами

4 Х) (o = i - r V ^ - ( e- ^ ) )

тР> /Л =	V r(fe+ X+l) (-0"»
к КЧ	jL Г ( т + Ь + 1) т\ (га—т)\
	т = 0

Свойство ортогональности многочленов L*'1(/) имеет вид

\ e ,fL'£) {t)L$)(t)dt = 0 (Ифт),		(3.3.5)
о
со
rk= §	[LV (0]а dt = ^ № - +1) .	(3.3.6)
о

Если функция f(t) удовлетворяет условию (3.3.2), то пре образование Лапласа F (р) будет аналитической функцией в полуплоскости R e p > 1/ 2 . В самом деле, в силу нера венства Шварца — Буняковского можно записать цепочку неравенств:

СО	0 0
§ \| e~ptf (/)! dt	jj ^е~*е~(Rep-1) <\| g у) j dt sg
о	о
( co	W / 2	Гео
j $ /W	2 <Rep - » {dt\	U tKe-‘ j g (t) j2 dt
	oo	1 1/2	(oo
	5 tr<2 Re^ - » dt\		{^	I f (0 i2 dt
	о	>	lo

Отсюда видно, что интеграл (3.3.1) при условии (3.3.2) сходится абсолютно и равномерно в полуплоскости R e p >

> 1 /2 .	Следовательно, функция	F (р) аналитична в	полу
плоскости Rep > 1 / 2 .
Для определения коэффициентов ak разложения (3.3.4)
сделаем	следующее. Функцию	e~{'p~1)t разложим	в ряд
по многочленам Чебышева —Лагерра:
	0- ( р- IX.	l*k гР) //\	(3.3.7)
	Tk Lk w>		(3.3.7)

4=0

§3.3]

ОБОБЩЕННЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА - ЛАГЕРРА

где rk вычисляется но формуле (3.3.6), а

СО

bk = $ еЧке~(р~ Х)11 ^ (t) dt.

Последнюю формулу преобразуем следующим образом:

bk= \e~ pttxL f (t) dt.

Отсюда видно, что bk есть преобразование Лапласа функ

ции	(t), а,	как	известно		(см. [4]), оно	вычисляется
по формуле
	h	1 /,		1 \ * Г(М-н-1)
Таким	образом, разложение (3.3.7) принимает вид
			СО
	е - * - " ‘= У			4 r ( l - - ) * L^ ( 0 -		(3.3.8)
			мА	Р>Л1 \	Р /
			А = 0
Интеграл Лапласа (3.3Л) запишем в виде
	F (р) =		ОО
	F (р) =		jj tle~‘e~ (р~ ’>1g (t) dt.			(3.3.9)
			о

Так как функция g(t) разлагается в ряд (3.3.4), а функ ция e~,'p- X)t —в ряд (3.3.8), то, применяя к интегралу (3.3.9) обобщенное равенство Парсеваля, получим

F(p) =

Введя замену			переменной		1/р = г, найдем
			z^+11 F г №			с о
			z^+11 F г №			< ‘ ■z)k		(3.3.10)
					k=0
Так	как	мы	показали,		что	функция F (р)	аналитична
в полуплоскости				R e p > 1 / 2 ,		то функция	'	анали-
тична	в	круге		\| г — 1 \| < 1 ,		следовательно,	и	1 FI

58	МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ	[ГЛ. 3
аналитична	в этом круге. Значит, коэффициенты ак в фор

муле (3.3.10) являются коэффициентами ряда Тейлора функ

ции	1	в точке	z =	1. Поэтому			коэффициенты ак
	Z^+l
могут быть вычислены по формуле
			dk	{ 1	„		(3.3.11)
		ak= ±— ±— — 1 -г - F				)}.
		k\	dzk	\ г^+1

Таким образом, разложение оригинала f(t) в ряд по

обобщенным многочленам Чебышева — Лагерра	имеет вид
СО
/(о= 2 ar(fe+Ui) L){t)’	(3-ЗЛ2)
k=о

акоэффициенты ak вычисляются по формуле (3.3.11). Следует заметить, что если функция F (р) имеет особые

точки, расположенные далеко от начала координат, то преобразование 2 = 1/р переведет их в окрестность точки 2 = 0, что может уменьшить величину радиуса сходимости ряда (3.3.10). А это может, вообще говоря, уменьшить скорость убывания коэффициентов ак. Таким образом, если преобразование Лапласа имеет особые точки, распо ложенные далеко от начала координат, то ряд по обоб щенным многочленам Чебышева — Лагерра для функции / (t) может медленно сходиться и поэтому будет малопригод ным в практических приложениях, и, наоборот, можно ожидать быструю сходимость такого ряда, если особые точки функции F (р) расположены в малой окрестности начала координат.

Г Л А В А 4

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА МЕЛЛИНА ПРИ ПОМОЩИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ

§ 4.1. Общая теория интерполяционных методов

Рассмотрим методы вычисления интеграла Меллина

C-f- 100
m = 2 S T	\	eV‘F ip)dp,	(4.1.1)
с —		t o o
основанные на замене подынтегральной функции F (р)
другой функцией, которая	интерполирует F (р)		по значе

ниям ее в нескольких точках.

Погрешность вычисления интеграла (4.1.1) будет зави сеть, главным образом, от той точности, с которой мы сможем интерполировать функцию F (р). Чтобы получить хорошую точность, важно согласовать способ интерполи рования со свойствами функции F (р), которая является не произвольной, а функцией-изображением.

Для интерполирования F (р) можно распорядиться

выбором	узлов Pk, в которых берутся значения F(p),
а также	выбором функций {cov (/?)}, положенных в основу
интерполирования. Как известно, изображение F (р) стре
мится к	нулю, если точка р удаляется на бесконечность

так, что действительная часть р при этом неограниченно увеличивается. В первую очередь здесь представляет интерес тот случай, когда F (р) убывает по степенному закону. Поэтому будем предполагать, что F (р) предста

вима в виде F(p)= (р1 ^ гф(р) (s > 0), где функция ср (р)

регулярна в полуплоскости R e p > a и ограничена в полу плоскости Rе р ^ с ( О а). Если s —дробное число, то под (р — a)s понимается та ветвь, для которой arg (р — а) = О

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 236 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ