книги из ГПНТБ / Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга
.pdf40 |
МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ |
[ГЛ. 3 |
||||
сходимости |
может |
быть применена только что сформули |
||||
рованная теорема. |
Будем считать, что отрезок |
I лежит |
||||
внутри [ — я, я]. |
|
Так как |
множитель, |
стоящий |
справа |
|
в (3.1.18) |
перед |
g(cos0), |
непрерывен |
на / и принимает |
||
значения, не меньшие положительного числа, то непре рывность G (в) на / равносильна непрерывности там g (cos 0). Кроме того, этот множитель, очевидно, имеет ограничен
ное изменение на /, и поэтому |
ограниченности изменений |
||
G (0) и g (cos 0) равносильны. |
|
||
то |
Если воспользоваться двумя приведенными теоремами, |
||
относительно |
возможности |
разложения функции ср (х) |
|
в |
ряд (3.1.16) |
по смещенным |
многочленам Якоби или, |
что равносильно, относительно сходимости последователь ности приближений qn(x) к ф(х) можно высказать приво димую ниже теорему.
Т е о р е м а 3. Пусть для функции ф(х), |
0 ^ x s g ;l , |
выполняются условия: |
|
1) имеют конечное значение интегралы |
|
1 |
|
J х“ (1 — х)р | q> (*) | dx, |
|
о |
|
1 |
|
J х?!2 — (1 — лг)Р/2 —1/4 [ ср (х) | dx; |
|
о |
[0, 1], ф (х) |
2) на отрезке I —[с, d\, лежащем внутри |
имеет ограниченное изменение.
Тогда для всякой точки х, лежащей внутри I, верны равенства
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
lim qn (х) = |
У |
|
P t (ot' р) (х) = |
|
|
|
|||
|
|
* = о |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— тг [ф (* + °) + Ф (* — 0)]. |
(3.1.20) |
||||
Если, |
кроме |
того, |
ф (х) |
непрерывна |
на |
I, то на всяком |
|||
|
|
|
|
|
|
/ |
|
1 |
\ |
отрезке вида c + 6 s c ;x ^ d — 6 (0 <С б < |
у (d — c)j равно |
||||||||
мерно относительно х |
будет верно равенство |
|
|||||||
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
lim qn(x) = |
|
2 |
|
Р) м = |
ф м . |
(3.1.21) |
|||
п |
со |
|
|
|
|
||||
Возвратимся, |
наконец, |
к исходной задаче |
о нахожде |
||||||
нии функции f(t) |
по |
изображению |
F (р), определенному |
||||||
§ з.и ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ 41
равенством |
(3.1.1). |
Для |
этого в |
равенстве |
вида (3.1.3) |
с весовой |
функцией со (х) — х* (1 — х)р заменим перемен |
||||
ную х, положив х — е~(: |
|
|
|
||
|
|
СО |
|
|
|
|
F (р) = |
$ е- pter <*+О<(1 _ e-tf f (t) dt. |
|||
|
о |
|
|
|
|
Такая же замена должна быть сделана в |
интегралах, |
||||
участвующих в условии |
1) теоремы 3. Вычисления опу |
||||
скаем ввиду их простоты. |
|
|
|
||
Теорема |
3 позволяет |
сказать, |
что для интересующей |
||
нас задачи верным является приводимое ниже утверждение.
Пусть по значениям в целых точках i (t = 0, 1, 2 ,...)
изображения F (р) и многочленам Pt (“' Р) по правилам (3.1.15) и (3.1.12) вычислены величины rk и ak и состав лены функции
П
|
|
7п(е |
0 = |
2 |
ak |
|
|
|
|
|
|
rk />:«*• р) (е~ % |
|
||||||
которые принимаются за приближения к f{t). |
|
||||||||
Если выполняются условия: |
|
|
|
||||||
1) имеют конечное значение интегралы |
|
||||||||
|
|
5е-(* + 1)/(1_ |
в-/)Р| f(t)\dt, |
|
|||||
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
2 (“ + ! ) '( ! |
|
7 |
1/(7); dt, |
||||
|
|
|
|||||||
2) |
на |
отрезке |
[с, d] |
(О <С с < |
rf < со) |
функция f(t) |
|||
имеет ограниченное изменение, |
|
|
|
||||||
то при всяком t, c<t<Zd, верно равенство |
|||||||||
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
Пт ,„(«-')= У |
А й » ' и (0 ')= |
|
|
||||||
|
|
А= 0 |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
у [/(* + 0 ) + /( 7 - 0 ) ] . |
||
Если же, кроме того, функция / непрерывна на [с, d], |
|||||||||
то при всяком б ^0 < |
б |
|
(d —с)] |
равномерно относи |
|||||
тельно t |
на |
отрезке |
c - \ - b ^ t ^ d —б |
имеет |
место схо |
||||
димость |
|
|
П т |
qn{e-‘)=f{t). |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
П~*оо |
|
|
|
|
|
|
42 |
МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ |
[ГЛ. 3 |
В следующих трех пунктах будут рассмотрены частные случаи многочленов Якоби — многочлены Лежандра, мно гочлены Чебышева первого и второго рода, представляю щие в вычислениях специальный интерес. В этих случаях вычисления могут быть выполнены с несколько большей полнотой.
3.1.3. |
Обращение |
преобразования Лапласа |
с |
помощью |
||||
смещенных многочленов Лежандра. Рассмотрим частный |
||||||||
случай |
весовой функции |
(3.1.9), |
когда а = р = 0: |
|
|
|||
|
|
|
со (х) = 1 |
или |
Р (t) = е~*. |
|
|
|
Многочленами, |
ортогональными |
на отрезке [0, |
1] |
с |
весом |
|||
со (л:) = |
1, |
будут смещенные многочлены Лежандра Р%(х). |
||||||
Они задаются |
формулой |
(3.1.10) |
при сг = 0, р = |
0 |
или же |
|||
формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
PJ (*) = |
( - ! ) » |
У ( _ 1)* (Л (п+ В (" + 2 ) _ + А) |
|
= |
|
|||
|
|
|
|
|
|
('n+k)\ k |
||
|
|
|
|
|
|
n\k\ |
х • |
|
Величина |
гп в этом случае равна |
|
|
|
||||
■ |
Г(/г + Ю+1)Г (и + Р +1) |
= |
|
|
|
|||
пп\ (2п + а + Р + 1 ) Г ( л + а + р + 1 )
Г(я + 1)Г(я+1) .... |
1 |
п\ (2 я+ 1) Г (п+1) |
2я + 1 ’ |
и разложение функции f(t) по смещенным многочленам Лежандра имеет вид
СО |
|
/(0= 23 ( 26+ 1) 0^ 1( 0 . |
(3.1.22) |
£ = 0
Величины ak вычисляются по формуле (3.1.15), в которой а<*> — коэффициенты смещенного многочлена Лежандра
Pt (х).
3.1.4. |
Обращение |
преобразования Лапласа с |
помощью |
||
смещенных многочленов |
Чебышева |
первого рода. |
Поло |
||
жим теперь |
а = р = —1/2. |
Весовая |
функция имеет вид |
||
со (х) — х~ 1/2(1 — х)~ 1/2 и Р (/) = е~t/2(1 — е-*у~1/2. Смещен |
|||||
ные многочлены Чебышева |
первого |
рода Т% (х) являются |
|||
ортогональной системой на [О, 1] по весу х~ ,/2 (1 —х)~'/2,
§ 3.1] |
ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ |
|
43 |
||||||||
Многочлены |
Якоби P l{ 1/2, |
|
1/2)(х) отличаются |
от Т%(х) |
|||||||
только численным множителем, |
а именно |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
р* (- 1/2, - 1/2) |
(х) = СпП(х), |
|
|
|
|
||||
где |
|
4 |
П |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Г (2л) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Сп- 2 2 п- 1 Г (л) Г (л + 1) • |
|
|
|
|
|
|||
Многочлены |
Т%(х) имеют вид |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
okn(n + l) ■■■(ti—k—l) |
k |
||||
|
|
|
|
|
|
(2k— |
1)11 |
х |
|
||
Значения гп вычисляются по формулам |
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rn= \ x ~ m i1- |
X)-1/2 [П (x)f dx = ~ |
(п ф О, |
г0= |
Я), |
|||||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а разложение функции /(/) |
|
по смещенным |
многочленам |
||||||||
Чебышева первого рода имеет вид |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(3.1.23) |
|
|
|
f(t) = п |
|
|
|
|
|
|
|||
Коэффициенты ak (k — Q, 1 ,...) |
вычисляются |
по формуле |
|||||||||
(3.1.15), |
в которой а <А) — коэффициенты |
смещенного |
мно |
||||||||
гочлена Чебышева первого рода ТЦх). |
|
|
|
|
|
||||||
В вычислениях удобнее |
пользоваться |
тригонометриче |
|||||||||
ской записью |
многочленов |
Т% (х), а именно: |
|
|
|
||||||
|
|
Тп (х) — cos [п arccos (2л- — 1)]. |
|
|
(3.1.24) |
||||||
Сделав |
замену |
переменной |
|
2л: — 1 = cos 0 |
(0 ==£ 8 ==^ л) и |
||||||
учитывая, что х = е~*, t = —2 In cos у , разложение (3.1.23)
можно переписать в виде
f [—2 In cos у |
(3.1.25) |
3.1.5.Обращение преобразования Лапласа с помощью
смещенных многочленов Чебышева второго рода. Для
а —Р = 1/2 весовая функция со (х) и соответственно (3 (t) имеют вид
CO (.V) = Л1/2 ( 1 - л )'/2 , |
р (/) = е-31/2 ( 1 _ g -ty /2 ' |
44 |
|
МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ |
[ГЛ. 3 |
|||
на |
Ортогональной |
системой |
многочленов |
по |
этому весу |
|
отрезке [0, |
1] |
является |
система смещенных |
многочле |
||
нов |
Чебышева |
второго рода U%(ж), которая |
отличается |
|||
от смещенных |
многочленов |
Якоби Д*<1/2, |
1/2) |
только по |
||
стоянным множителем |
|
|
|
|||
p*(U2. т {х)г=Сяц* {х}>
где
г(2п+1)1
°п 2алл! (я+ 1)!'
Многочлены U* (х) можно вычислять по формуле
U%(x) =
(—1)п 2Л (2«+ 1)4 |
у |
, |
n J » |
\ 2*(n + 2)...(n + fe + |
l) ь |
||||
“ (п+ 2)(л + 3)...(2пН-1) L |
1 |
’ |
\k) |
(2ft+1)11 |
|
||||
Для многочленов U%(х) величина гп вычисляется по фор |
|||||||||
муле |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гп= \ Xх'2(1 - |
*)1/2 [U%(x)f dx = | |
, |
|
||||||
а разложение |
/(() по этим многочленам |
имеет вид |
|
||||||
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
/( 0 |
= 4 |
2 |
akVHe-<). |
|
(3.1.26) |
|||
|
|
|
k—O |
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
ak вычисляются |
по формуле |
(3.1.15), |
где |
|||||
а<М — коэффициенты |
смещенного |
многочлена Чебышева |
|||||||
второго рода.
Для многочленов U* (х) также удобнее пользоваться тригонометрической записью
U%(x) = sin [(« -j-1) arccos (2х— 1)] |
(3.1.27) |
2 Vх (1 — х) |
|
Разложение (3.1.26) в этом случае примет вид |
|
СО |
|
/(--21ncos4) = jr|ry-2 ^ sin(^+l)e- |
(ЗЛ-28) |
£ = 0 |
|
где сделана та же замена переменной, что и в предыду щем случае.
§ 3.1] |
ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ |
45 |
3.1.6. Другой способ вычисления коэффициентов а,,. Вернемся к разложению функции /(/) в ряд по смещен ным многочленам Якоби, т. е. к формуле (3.1.16), и вы ясним, какое разложение функции F (р), являющейся преобразованием Лапласа функции р (/) f (/), соответствует разложению (3.1.16). Для этого разложим в ряд по сме щенным многочленам Якоби функцию хр(Re р Эа 0):
СО
хр= У Ь - Р \{а'*\х),
' k
bk= \x a ( \ - x f x pP tia’ ®{x)dx.
о
Для вычисления Ьк воспользуемся формулой (3.1.10) для
многочленов Р%{а’ Р)(х), |
тогда получим |
|||
|
1 |
|
|
|
bk— ^ ха (1 — х)$ хр |
х~а (1 — х)-& х |
|||
|
о |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
X |
[дг“+* (1 — х)^к] dx = -—— |
? хр |
[xa+ft (1 — я)^*] dx |
|
|
dx* |
k\ |
J0 |
dxk |
Теперь, проинтегрировав по частям k раз, получим |
||||
Ьк = р (р -')"Л Р -к + \) |
J xpHx( l - x ) ^ kd x ^ |
|||
|
|
о |
Г(р + а + 1)Г(^ + р+1) (Р\ |
|
|
|
|
||
|
|
|
Г (p-f-“ + P + fe + 2) \ k ) ‘ |
|
Таким образом, разложение хр по многочленам Рп(а" Р) (х) имеет вид
хр= 1 |
Г (р + сс+ 1) Г (fe-{-p-|-1) |
Р р* (°. Р) |
(*)> |
(3.1.29) |
|||
гАГ (&-t-p + a-f-P-|-2) |
4 k |
|
|||||
feesГ |
|
|
А |
|
|
|
|
где rk определяется формулой (3.1.12). |
|
|
|
|
|||
З а м е ч а н и е . |
Обозначим Lp (.*) множество |
функций |
/, опреде |
||||
ленных на отрезке |
[а, b] и интегрируемых |
там с квадратом по весу |
|||||
р(х). Пусть ортонормируемая система функций |
ц>к (х) ( k = l , |
2, ...) |
|||||
замкнута в множестве Lp(X), т. е. такова, |
что для f <= Lp (Х) |
верно |
|||||
46' МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ [ГЛ. 3
равенство Парсеваля
|
со |
ь |
|
|
ь |
|
|
|
|
|
2 f % = \ p ( x) f 2 W dx> |
f k = \ p ( x) f (*) ф* (ж) dx. |
|
(*) |
|||||
|
k=\ |
а |
|
|
а |
|
|
|
|
Тогда для всяких двух |
функций f{x) и g(x), |
принадлежащих |
Lp (*), |
||||||
верно обобщенное равенство Парсеваля |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
со |
Ь |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
fkgk = \ p ( x)f(.x) g ( x)dx. |
|
(**) |
||||
|
|
k = I |
а |
|
|
|
|
|
|
Для доказательства |
рассмотрим функцию /-f-g. Так как она при |
||||||||
надлежит Lp(X), |
для |
нее, ввиду (*), верно |
равенство |
|
|
||||
Ь |
|
|
|
со |
со |
|
со |
со |
|
a |
|
|
|
^ ( f k + S k ) 2 = 2 |
/1+2 £ fkgk+ |
2 |
gh |
||
|
|
|
k —1 |
k — 1 |
k = 1 |
k — 1 |
|||
С другой |
стороны, |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ъ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$/>(*) I/ W x g W ] 2 + |
= |
|
|
|
|
|
|
||
a |
b |
|
|
b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
$ P (*) P (x) dx+ 2 ^ p (x) f (x) g (x) dx + |
$ p (x) g2 (x)dx = |
|
||||||
|
a |
|
|
a |
b |
|
a |
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
oo |
|
|
|
|
|
|
= 2 |
/1+ 2 jp(*)/ (*)g(*)dx+ 2 |
gk. |
|||
|
|
|
|
k—l |
a |
|
k —\ |
|
|
Из сравнения правых частей двух последних равенств сразу же сле дует (**).
Воспользуемся теперь обобщенным равенством Парсе валя, применив его к разложениям (3.1.16) и (3.1.29):
1
F (р) = $+* (1 — *)Рф (х)хр dx =
|
|
„ |
&Фk __ |
|
Г (р + к + 1) Г (fe + |
p + |
1) |
Р |
|
|
|
||
|
|
|
k=o |
|
|
Г (Р+ 01 + Р Ч—* 2) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
k\ (2fe + |
« + |
1)Г (fe-f-a-f-p + 1) Г ( р + и - |- 1) Г (feЧ-Р~Ь 1) |
X |
||||||||
|
|
|
Г ( й + а + 1 ) |
Г (fe + p+ l) Г (р+ |
а-ЬР + й+ 2) |
|
|
||||||
й = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
X |
ak = Г (р Н~« + 1) 2 |
+ а + Р + 1) X |
|
|
||||||
У |
fe' Г (fe + a + p+ |
1) р (р— 1),,. (р— Р + |
1) |
__г / |
| |
i n |
v |
|
|||||
Х |
|
Г ( й + а + 1)Г (р + а + р + й-|-2)Н |
|
йк |
М Р + “ + 1 ) Х |
|
|||||||
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А2= 0 |
/ оа I „ , й , 1чГ ( й + а + р + 1 ) р ( р - 1 ) . . . ( р - й + 1 ) „ |
|
||||||||||
X |
(2^ + |
а + р + 1) |
р |
|
|
р |
fe |
2 |
■ ак |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.1.30) |
||
§ 3.1] ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ 47
З а м е ч а н и е . Неравенством Шварца — Буняковского ( Буняков-
ского— Коши) для сходящихся бесконечных рядов называется нера венство
СО СО СО
2 |
(«А)2^ S |
2] |
|
п = 1 |
|
п = \ |
п = 1 |
где ап и Ь„—коэффициенты |
рядов. |
сходящихся интегралов яв |
|
Аналогом того же |
неравенства для |
||
ляется неравенство |
|
|
|
ь |
(Ь |
\ 1/2 /ь |
|
■ \ f ( x ) g ( x ) d x ^ |
J[f(x)]»d* |
$[*(*)]* |
|
а |
\ а |
/ |
\а |
Используя неравенство Шварца —Буняковского, можно показать, что последний ряд сходится абсолютно и равно мерно в полуплоскости Re р 5= 0.
В частности, если р положить равным целому поло жительному числу п, то разложение (3.1.30) примет вид
F (п) = п\ Г (n + a-j- 1) х
X |
Vi |
Г (fe-)-a-|-p4~ 1) |
ak. |
(3.1.31) |
|
L |
( n--kt) \ Г(й + а + 1 ) Г (n-{-a+ $ + k + 2) |
|
|
Полагая в (3.1.31) п = 0, 1 ,2 ,..., получим бесконечную треугольную систему уравнений относительно коэффи циентов ak. (Заметим, что предполагается 01=1.)
Для того чтобы коэффициент при ап в n -м уравнении системы сделать равным 1, систему (3.1.31) перепишем
ввиде
Г(2п-{- та-{-р-f-1) р , ,
nl Г (п+ сх + р+ 1) |
и ; |
|
|
Г (п-\-а + 1) ^ |
(2£+ « + Р + 1)Г(2я + к + р -Н ) |
X |
|
|
|
(n— k)1Г (n-j-a + p + l) |
|
|
|
Г(6 + а + р + 1) |
|
X |
Г (й + а + 1) Г (rt+ a-|-f5-ffe-|-2) ak. |
(3.1.32) |
|
Системой (3.1.32) можно пользоваться для нахождения коэффициентов ak разложения (3.1.16).
В случае разложения по смещенным многочленам Ле жандра в (3.1.32) положим а = р = 0; тогда коэффициенты
48 МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ [ГЛ. 3
ак разложения (3.1.22) вычисляются |
из системы |
||||
Г ( 2 я +1) |
F { |
- |
П |
(2fe+l) Г(2д + 1) |
|
V |
|||||
nl Г ( я + 1) |
v |
> |
Z j |
( n - k ) \ |
Y(n + k + 2) Uk |
(n = 0, 1, 2, ...),
или
n
(3.1.33)
Для разложений (3.1.25) и (3.1.28) по смещенным мно гочленам Чебышева первого и второго рода нельзя полу чить систему для определения ak непосредственно из (3.1.32), так как эти многочлены отличаются от многочле
нов р р ~ 1/2’ _1/2) (х) и 1/2) (х) постоянным множите лем. Но, проделав аналогичные выкладки, можно полу чить треугольные системы уравнений для определения коэффициентов ак разложений (3.1.25) и (3.1.28). Для
разложения (3.1.25) система имеет вид
П
ак (п = 0, 1, 2,...),
(3.1.34)
для разложения (3.1.28) —вид
П
3.1.7. Замечание о приведении полуплоскости регуляр ности изображения к виду R e /> ^ 0 (рфсю). Во всех пре дыдущих пунктах мы рассматривали задачу восстановле ния функции /((), если известно преобразование Лапласа
F (р) функции f (t) с весовым множителем §(/), т. е. функ ции Р (() f (t), причем абсцисса абсолютной сходимости равнялась нулю. Но чаще всего на практике известно преобразование Лапласа F (р) функции /(/) с некоторой абсциссой абсолютной сходимости уа, не обязательно рав ной нулю, а именно известно, что преобразование рас сматривается в условиях
СО
F{p) = ] erPtftydt, R epS=y0> 7 a - |
(3.1.36) |
о |
|
§ 3.1] |
ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ |
49 |
В этом случае поступаем следующим образом. Исполь зуя теоремы подобия и смещения для преобразования Лапласа, соотношение (3.1.36) перепишем в виде
hF (у,, + ph) = е~V»4h f ( ^ j e-ptdt |
(3.1.37) |
о |
|
для любого h > 0. Абсцисса абсолютной сходимости ин теграла (3.1.37) будет равна нулю.
Теперь для того, чтобы получить разложение функции
/ (д ) в классе многочленов, ортогональных с весом р (t),
соотношению (3.1.37) придадим вид
СО |
|
hF (То+ p h )= \ е-Р‘ р (t) ф (t) dt, |
(3.1.38) |
О
где
(3.1.39)
или
Для функции ф (t) получим разложение по многочленам, ортогональным с весом р (t), по схемам, описанным в пре дыдущих пунктах.
Тогда разложение для функции / |
получится умно |
|
жением разложения |
для ф (/) на Р (/) |
как видно из |
формулы (3.1.39). |
|
|
Положим h —То > |
То и рассмотрим разложения функции |
|
/= р (t) е^ф (t) по смещенным многочленам Лежандра,
смещенным многочленам Чебышева первого и второго рода. Для многочленов Лежандра Р%(е^) разложение для функции ф(/) имеет вид (3.1.22), весовая функция р (t) =
= ег4, поэтому
;({■ ) = р ( о ( о= ф (о = 2 {2k+ a«Pt («"О- (з- Ь40)