книги из ГПНТБ / Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга

§ 1.31 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ИНТЕГРАЛОМ ЛАПЛАСА 21

интегрирования:

причем последнее равенство верно, так как внутренний интеграл сходится в силу того, что Re (р — р0) < 0 и t > 0.

и этот интеграл стремится к нулю при R -^oo. Отсюда следует, что прямую интегрирования в (1.3.11) можно

заменить замкнутым контуром С%, составленным из дуги C'r и отрезка [c+ib, c — ib], проходимого сверху вниз. Тогда формулу (1.3.11) можно записать в виде

Знак минус мы опустили, так как поменяли направление движения по прямой. Интеграл в правой части формулы (1.3.12) вычислим, применяя теорему о вычетах. Функция

■^р р внутри контура С%имеет только одну особую точку—

Позже мы покажем, что этот интеграл будет и абсолютно сходящимся.

некорректных. Эти задачи характеризуются двумя свойст­ вами, сильно затрудняющими их решение: они разрешимы не при всех значениях числовых или функциональных параметров, определяющих их решение, и малым измене­ ниям этих параметров может отвечать большое изменение решения (о неустойчивости задачи говорилось в предисло­ вии, и здесь мы вынуждены отчасти повторить уже ска­ занное там). Поясним более подробно эти свойства для задачи обращения преобразования Лапласа и для соот­ ветствующего ей интегрального уравнения.

Для определенности рассмотрим случай, когда изобра­ жение F (р) известно на действительной полуоси р > а и аргумент р есть действительная переменная. Уравнение (1.4.1) имеет решение не при всяких функциях F (р),

является изображением некоторой функции / и уравнение (1.4.1) будет, следовательно, разрешимым. Заменим функ­ цию f(t) некоторой другой функцией fi(t), отличающейся от f (t) возмущением, имеющим большую величину на дос­ таточно малом участке, и совпадающей с f(t) на остальной части полуоси [0, оо). Новому оригиналу /у будет отвечать изображение Fx (р), мало отличающееся от F (р) при вся­ ких р > а. Таким образом, малому изменению правой части уравнения (1.4.1) может соответствовать сколь угодно большое изменение решения / в равномерной метрике. Можно показать, что аналогичное будет иметь место и в других метриках.

Некорректность проблемы решения уравнения (1.4.1), которая равносильна обращению преобразования Лапласа, может затруднить численное решение, но не делает его невозможным. К решению уравнения (1.4.1) могут быть применены методы регуляризации решения, разработанные А. Н. Тихоновым, В. К. Ивановым и другими авторами. Мы не будем останавливаться на изложении этих методов.

Г Л А В А 2

НЕКОТОРЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

§ 2.1. Нахождение оригинала с помощью формулы обращения

В гл. 1 было показано, что если f(t) является оригиналом, a F (р) его изображением по Лапласу, то для вычисления оригинала по изображению можно пользоваться комплекс­ ным интегралом

где с есть абсцисса в полуплоскости абсолютной сходимости интеграла Лапласа. Правда, для непосредственного вычис­ ления функции f(t) использовать формулу (2.1.1) затруд­ нительно, так как она требует знания функции F (р) для

его можно преобразовать, применив для этого методы, известные из теории функций комплексного переменного, например изменение пути интегрирования, вычисление вычетов и т. п. Такого рода преобразования в некоторых случаях позволяют получить практически удобное выра­ жение для оригинала, из которого можно получить важные свойства функции, определяемой комплексным интегралом.

Методы вычисления оригинала при помощи таких пре­ образований комплексного интеграла (2.1.1) рассмотрим

вследующих пунктах настоящего параграфа.

2.1.1.Разложение оригинала в ряды по показательным функциям. Для одного важного класса изображений F (р) можно получить разложение оригинала в ряд, члены кото-

исуммирование выполняется по группам полюсов, лежащих

вкольцах между соседними окружностями Сп.

До к а з а т е л ь с т в о . В условиях теоремы 1 справед­ лива теорема 7 гл. 1, согласно которой F (р) является

изображением функции

С-j- i ОО

Обозначим через С'п часть окружности С„, расположенную

контур, составленный из отрезка [c— ibn, с + ibn\ и дуги С'п и проходимый против часовой стрелки. Так как по лемме Жордана при t > О

lim \ ept F (р) dp = 0,

« - * оо „г

то интеграл в формуле (2.1.3) можно заменить следующим интегралом:

где вычеты берутся во всех особых точках функции F (р), лежащих внутри Тп. Полученное равенство доказывает теорему.

2.1.2. Частные случаи разложения оригинала в ряды по показательным функциям. Рассмотрим случай, когда функция F (р) является дробно-рациональной функцией. Тогда имеет место

нальна, причем степень многочлена А (р) меньше степени многочлена В (р), то оригиналом ее служит функция

пУ1*-1

/ ( 0 = 2 — — Ига \ - r { F { p ) ( p - P k ) nkep% (2.1.5)

где pk — полюсы F (р), a nk— ux кратности, и сумма берется по всем полюсам.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Прежде всего заметим, что функ­ ция F (р) будет изображением. Это следует из теоремы о разложении дробно-рациональной функции на простейшие дроби, линейности преобразования Лапласа и справедли­ вости формулы

дем к формуле (2.1.5).

В частности, если все полюсы простые, то формула (2.1.5) упрощается:

(мы воспользовались формулой (1.3.6) для вычисления вычетов в простых полюсах).

З а м е ч а н и е . Если многочлен В (р) имеет действительные коэф­ фициенты, то каждому его комплексному корню р отвечает комп­ лексно сопряженный корень р. Если и многочлен А (р) имеет дей­ ствительные коэффициенты, то тогда

где в первом слагаемом суммирование ведется по всем действительным корням В (р), а во втором слагаемом —по всем комплексным корням с положительными мнимыми частями.

§ 2.2. Разложение оригинала в степенные ряды

Предположим, что изображение F (р) аналитично в бес­ конечно удаленной точке. Тогда, как известно из опера­ ционного исчисления, F (оо) = 0. Разложим функцию F (р) в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки и покажем, что ее оригинал можно получить, взяв сумму оригиналов членов этого разложения. Зная, что оригиналом

Т е о р е м а 3. Если F (р) аналитична в бесконечно уда­ ленной точке и имеет в ее окрестности разложение Лорана

СО

( 2. 2. 1)

ft —1

то оригиналом F (р) служит функция

со

28 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАЩЕНИЯ 1ГЛ. 2

F (p) = f (— ) = Ф (?). Функция Ф (?) = ^ будет анали-

тична в круге j ? ! С 1IR, и для ее коэффициентов на осно­ вании неравенства Коши *) верны неравенства

( £ = 1 , 2 , . . . ) .

Из полученных неравенств для любого t находим

СО с о

Отсюда видно, что ряд (2.2.2) сходится во всей пло­ скости /, т. е. f(t) является целой функцией переменной t.

Из неравенства (2.2.3) непосредственно следует, что для ^ > 0

|/ ( 0 1 < С е « И

Таким образом, для функции f(t) выполняется нера­ венство вида (1.1.3) и она является оригиналом.

Умножив ряд (2.2.2) на e~pt, получим ряд, равномерно сходящийся для всех значений t. Значит, его можно по­ членно проинтегрировать по 1 в пределах от нуля до бесконечности. Тогда

со со

2С*(Ёту.е~Р>dt=

оk = l

функция / (г) границе этого

§ 2.3] ОБОБЩЕННЫЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ ДЛЯ ОРИГИНАЛА 29

§ 2.3. Разложение оригинала в обобщенные степенные ряды

Теорема 3 может быть распространена на обобщенные степенные ряды (см. [2]). Здесь мы ограничимся наиболее простым случаем.

Т е о р е м а 4. Пусть F (р) 0 при р-*-оо, Rе р < с {с —некоторое положительное число), и не имеет' в конеч­ ной p-плоскости никаких особенностей, кроме начала коор­

в котором вычеркнуты все члены с целыми неотрицатель­ ными а -\-Щ.

Сд, г, то интеграл от этой функции вдоль контура Сд, г