книги из ГПНТБ / Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга
.pdf2 1 0 |
В Ы Д Е Л Е Н И Е О С О Б Е Н Н О С Т Е Й И З О Б Р А Ж Е Н И Я F ( р ) |
[ Г Л . И |
Г ( Р )
Vp2-ha2
(р2 + сР)-п- 1/2>
/1=1, 2, ...
(p2 + a 2 ) - v - 1/2,
R e v > — 1
1
] / р 2 _ а 2
1
(р2- а 2)п + 1/2 ’ п =1,2,...
1
(p2- a 2)v+1/2 ’
R e v > — y
Vp + a
p+ b
(P + a) Vp + b
(P+ a)3/2(p + b)
V (p+ a) (p+ b)
Продолжение
Hx)
Jo (ax)
1 |
( x \ n |
|||
1 • 3 • 5 ... (2n — 1) \ |
a I |
Jn {ax) |
||
V n |
( x |
\ ' |
7V(a x ) |
|
r(v + i ) |
W |
|
||
|
|
|||
Iо (a-*) |
|
|
||
1 |
|
/ £ \« In (ax) |
||
1 • 3 • 5 ... (2л— 1) |
\ a |
|
||
V n |
|
|
/v (&*) |
|
г v + - 1 \ |
V2a |
|||
|
||||
■-f- V a — b e bx ev! V (a — b)x
Vr
— e ax erf J (6 —a) x
Vb-
(a — b)~ i/2e~ bx erf ]/ (a — b) x —
2 | / J
К л (a— b)
a +b * . ! a — b
2 10
|
a -f- 6 |
xe |
--- x j + |
(p + a )'/2(p-f-6)3/2 |
I , t a~b |
|
+ h [ ~ ^ ~ x |
§ 1 1 . 4 ) |
Т А Б Л И Ц А Д Л Я О С О Б О Й Ч А С Т И И З О Б Р А Ж Е Н И Я |
2 П |
F (.Р)
(р+ а)]/2 (р + Ь Г г/2
(p— a)-v(p — b)-v,
Re (v + ц) < 0
1п(р + а)
Р + а
In {р + а)
(р+а)а
In (Р+ а)
V р + а
In (Р+ а)
(р + a)v '
Re v > 0
— е~аР |
а > 0 |
Р |
|
J _ (1 - е ~ аР), |
а > 0 |
(е-аР - е ~ ьР),
0 s £ a < 6
(е~аР e~bp),
0 ^ а < Ь
-1- le- a p _ e-bpyi
Р2
0 < 6
|
|
|
Продолжение |
|
|
|
|
/ W |
|
е |
2 |
|(а |
Ь) x l x ^ 2 |
+ |
|
|
+ [1 +(а — Ь) х] / 0 |
|
|
Г(т + |
е>*х |
|
||
ц ) е |
Х |
|
||
|
|
X ^ ( v ; v + ц ; (а — Ь) х) |
||
|
|
[ Y ( l) - ln x ] e - ajc, |
|
|
|
|
|
{ ) Г (х) |
|
|
|
х [1 + |
Г ' (1) — In х] е~ах |
|
\ п х + С + \ п 4
Vлх
С= — Г ' (1) — постоянная Эйлера
Ч» - 1 п (х)
|
|
|
Г (v) |
е |
( о, |
0 < |
X < а |
|
|
1 |
1, |
а < х |
|
|
( I, |
0 < х < а |
|
||
1 0, |
а < х |
|
||
( |
0, |
0 < |
х < а |
|
| |
1, |
а < х < Ь |
|
|
1 |
0, |
Ь < |
х |
|
( |
|
0, |
0 < х < а |
|
< |
х ~ а , |
а < х < Ь |
|
|
V Ь — а, |
Ь < х |
|
||
|
|
0, |
0 < х < |
2а |
|
х — 2а, 2 а < х < а + Ь |
|||
|
26 —х, |
а+ Ь < * < 2 6 |
||
|
|
0, 2 Ь < х |
|
|
212 |
В Ы Д Е Л Е Н И Е О С О Б Е Н Н О С Т Е Й И З О Б Р А Ж Е Н И Я F (р) |
[ Г Л , И |
|
F ( P ) |
|
|
|
— \ - ё - е ~ а Р , |
|
а > 0 |
|
|
Р + Р |
|
|
|
|
^-Р + 11 |
е - а р |
* |
а > |
0 |
р 2 + р 2 |
е |
° > |
и |
|
L P + R 2 < ra p > |
а > 0 |
|
||
Р2 — Р 2 |
|
|
|
|
Продолжение
|
|
|
|
|
Ц х ) |
|
( |
о, |
|
0 |
< |
х С |
а |
1 |
е~ Р |
|
а |
< |
ж |
|
1" |
0 , |
0 |
< ж |
< |
а |
|
< |
A, co s |
[Р |
(дс— а )] |
+ |
ц р - 1 sin [Р (ж — а ) ] , |
|
V- |
а |
< х |
/■ 0 , |
0 < х < а |
|
| A c h [р (л: — a )] + n p - i Sh [ р ( ж — а ) ] , |
||
' |
а < |
ж |
Г Л А В А 12
ВЫДЕЛЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ФУНКЦИИ ПРИ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ФУРЬЕ
Вычисление интегралов Фурье по значениям преобра зуемой функции / основано, как и вычисление интеграла Меллина, преимущественно на интерполировании функции f при помощи многочленов или рациональных функций, при этом интерполирование выполняется либо во всей области интегрирования, либо в ее частях. Точность вычисления интегралов зависит как от избранного правила, так и от свойств функции /, но обычно, чем более гладкой является функция f и чем быстрее она стремится к нулю при уда лении аргумента ее в бесконечность, тем более точный результат может быть получен при вычислениях.
Предварительную подготовку функции f к вычислению интегралов Фурье можно проводить в следующих трех направлениях:
1) Улучшение дифференциальных свойств функции /,
вчастности повышение порядка ее дифференцируемости.
2)Увеличение плавности изменения функции /. Чтобы пояснить содержание этой краткой фразы, достаточно, повидимому, привести примеры. Хорошо известна возмож ность сколь угодно точного и равномерного приближения на замкнутом отрезке непрерывной функции многочленом.
Внекоторых случаях для достижения заданной точности приближения необходимо строить многочлен высокой сте пени с большими и сильно изменяющимися значениями производных от него. С таким затруднением можно встре титься даже в случае аналитической функции /, когда ее особые точки лежат вблизи отрезка, на котором строится аппроксимирующий многочлен.
В случаях такого рода естественно пытаться облегчить
задачу приближения путем предварительного выделения
214 |
ВЫДЕЛЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ФУНКЦИИ |
[ГЛ. 12 |
|
из / «особой, негладкой части» с тем, чтобы вычисления |
|||
нужно |
было производить с более плавно |
изменяющимся |
|
«остатком». С задачей такого увеличения плавности |
изме |
||
нения мы встречались выше в § 11.2. |
|
|
|
3) |
Ускорение стремления к нулю |
функции |
/, когда |
|х | неограниченно возрастает.
Мы остановимся только на двух вопросах: устранении разрывов первого рода и ускорении стремления к нулю преобразуемой функции.
§ 12.1. Устранение разрывов первого рода
Пусть функция / задана на отрезке [а, Ь] и х есть внутренняя точка этого отрезка. Предположим, что f имеет в точке х правостороннее предельное значение
/(х + 0) = lim |
f(x') |
х' -*■ X, X' > X
илевостороннее предельное значение
fix —0) = |
lim |
fix'). |
|
х' -* X, X' < X |
|
Если значения f (л; 4- 0) и / (х — 0) существуют, но хотя |
||
бы одно из них отлично от f (х), то |
говорят, что f имеет в |
|
точке х разрыв непрерывности первого рода. |
||
Если точка х является одним из |
концов отрезка [а, Ь\у |
|
то при определении разрыва рассматривается лишь одно из предельных значений: /(х + О) или fix —0).
Почти аналогично определяются разрывы первого рода у производных функции /. Например, рассмотрим первую производную f и будем считать, что она существует во всех точках некоторой окрестности значения х, исключая, может быть, саму точку х. Предположим также, что существуют предельные значения f' (х + 0) и /' (х — 0). Если окажется, что /' (х —0) ^ / '( х + 0), то говорят, что первая производная f имеет в точке х разрыв первого рода со скач ком f ( х + 0) — /' (х —0).
Для определенности записи будем иметь в виду косинуспреобразование. Предположим, что / и ее производные до
некоторого порядка т непрерывны на |
полуоси [0, |
оо) |
|
всюду, |
за исключением q точек х}, х2, |
... , хч (х0 = |
0-< |
< хх < |
х2 < . . . < xq), где они имеют разрывы первого рода. |
||
§ 12.1] |
УСТРАНЕНИЕ РАЗРЫВОВ ПЕРВОГО РОДА |
215 |
Величину скачка f(‘>(х) в точке х. обозначим
ttp = P ( x !+ 0 ) - P ( x l - 0 )
(/ = 0, j= l,2 , ... ,q ) .
Когда необходимо устранить разрывы только у функ ции /, достаточно ввести кусочно-постоянную функцию F0(x), абсолютно интегрируемую на [0, со) и имеющую такие же скачки, как и /. За такую функцию можно, очевидно, взять
|
|
2 [ E (x - X j) - \] k 7 , |
|
|
(12.1.1) |
||
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
где Е (х) есть «гасящая функция» (см. стр. |
143). |
разрыва |
|||||
На отрезках полуоси |
[0, со) между точками |
||||||
F0 имеет указанные |
ниже значения: |
|
|
|
|
||
|
(^0,+ ^ 0,+ ---+ ^0,)= а '0), |
0 < * < |
хг |
|
|
||
|
- W ' + ... + k'*‘)=a»\ |
Xl< x < х2, |
|
( 12. 1. 2) |
|||
Fо М = ' |
|
|
kq— ajj\ |
< х < Xq, |
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0, |
Xq< X. |
|
|
|
Косинус-преобразование функции F0 находится просто: |
|||||||
оо |
q |
|
xj |
|
|
|
|
jj F0 (х) cos рх clx= 2 |
аТ |
] cos Рх dx — |
|
|
|
||
о |
/=i |
*/_! |
^ |
q |
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
||
= |
p- 2 a'i ‘ (sin PXJ ~ sin PXJ - J |
= " T |
2 |
^ |
sin pXF |
||
|
И /= l |
|
|
|
/= i |
|
|
Разность |
Ф0 (x)=f(x)—F0(x) непрерывна всюду, |
кроме то |
|||||
чек Xj, |
а в этих точках для нее ф0 (х,-+ |
0) = |
ф0 (х,-— 0). |
||||
Если ее доопределить в точках Xj, |
положив там ф0 (xj) = |
||||||
=фо (* ;+ 0), она будет непрерывна везде на полуоси [0, оо). Так как вне точек х<функция F0 (х) кусочно-постоян
на, |
то всюду, кроме точек Xj, производные всех поряд |
ков |
от фо (х) и f (х) совпадают, если производные от / су |
ществуют.
Если мы хотим устранить у f только разрывы первой
производной |
оставив неизменными разрывы самой функ |
ции / и ее |
производных выше первого порядка, можно |
215 |
ВЫДЕЛЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ФУНКЦИИ |
[ГЛ. 12 |
воспользоваться функцией *) |
|
|
|
F1(x)= £ [ E ( x - x ; ) - \ ] k ' y ( x - x j ) . |
(12.1.3) |
|
/= i |
|
Она кусочно-линейная, непрерывная на [0,оо) и обращается
в |
тождественный нуль |
при x > x q. Первая производная |
от |
нее |
|
|
F[(x)= j ] |
[ E ( x - x j ) ~ 1]А“' |
; = i
кусочно-постоянна вне точек Xj и имеет в этих точках ска чки, равные соответственно величинам к)\
Разность |
<Pi {х) = f (х) — |
(х) будет |
иметь производную |
|||||||
ф !(х) везде |
при х ф х Л ) |
= |
1,2...... q). Кроме |
того, |
в точ |
|||||
ках х, |
будет cpi (ху + 0) = |
(pj (Xj —0), |
и |
если |
доопределить |
|||||
ф!(х) в точках Xj, положив там ф\(xj) |
= |
{xj-\- 0), функ |
||||||||
ция ф1 (х) будет непрерывной на полуоси [0,оо). |
|
|||||||||
Косинус-преобразование |
функции |
|
Fl {x) находится |
|||||||
с помощью несложных вычислений. Так как |
|
|
||||||||
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ [Е {х — Xj) — 1] (х — Xj) cos рх dx = |
|
|
|
|
|
|||||
о |
|
|
х! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ^ {Xj — х) cos pxdx == р2 (1 — cos pxj), |
|||||||
то |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ Fx(х) cos рх dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
о |
q |
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
^ |
^ ^ |
('r ~ */) — 11 (* — Xj) cos рх dx = |
|
||||||
|
/ = 1 |
о |
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ? |
2 |
- z ° s PXj). |
(12.1.4) |
||||
|
|
|
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
Отметим также, |
что разность |
|
|
|
|
|
||||
Фи (x) = f( x ) - F 0(x)~F1(x)
*) Ввиду простоты мы не поясняем соображения, на основании Которых строится /д (х).
§ |
12.2] |
УВЕЛИЧЕНИЕ СКОРОСТИ СТРЕМЛЕНИЯ К НУЛЮ |
217 |
|||||||||
будет |
обладать |
свойствами: |
Ф01 |
+ 0) = |
Ф01 (-^у — 0), |
|||||||
tpo'i (х/ + |
0) = |
<po'i (xj — 0), и если ср01 доопределить в точках |
||||||||||
Xj |
равенствами cp01 (xj) = <p0i (xj + 0), то <р01 |
|
будет |
непре |
||||||||
рывно дифференцируемой при х ^ О . |
|
|
При |
всяком |
||||||||
|
Эти |
рассуждения |
можно |
продолжить. |
|
|||||||
i = 0, 1 |
,т положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Fi (x)= 2 |
[ £ |
( * - |
* |
, ) - |
( 1 |
2 |
. |
1 |
. 5 ) |
|
|
|
|
/= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Такая функция Ft непрерывно дифференцируема по л: |
|||||||||||
до порядка |
/ — 1 |
включительно, |
производная |
же порядка |
||||||||
i |
при х ф х , |
( / = 1 , 2 , . . . , (?) |
имеет значение |
|
|
|
||||||
|
|
|
Ff]М = |
2 [ E ( x - Xj) - |
l]kjC) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
i= i |
|
|
|
|
|
|
|
и |
является |
кусочно-постоянной |
функцией |
со |
скачками |
|||||||
в точках Xj, величины которых равны соответственно kSp.
Для х > х д верно равенство Fff>(x) = 0. |
|
|||||||
|
С помощью Fi (х) у функции / могут быть удалены |
|||||||
скачки производной |
порядка i. |
|
|
|||||
|
Если |
же |
мы положим |
|
|
|
||
|
|
Ф01 |
m(x)=f (х) — [F0(x) -\-F1(x) |
. .-jFт(х)] |
||||
и |
затем |
в |
точках |
Xj |
доопределим |
ф01... т, полагая |
||
Фм ... т(лу)= |
Ф01... т (*/ + 0)> получим функцию, т раз не- |
|||||||
прерывно |
дифференцируемую на [0, оо). Этим будут устра |
|||||||
нены |
разрывы у / и ее производных до порядка т. |
|||||||
|
§ |
12.2. Увеличение скорости |
стремления к нулю |
|||||
|
|
|
|
преобразуемой функции |
|
|||
|
Пусть |
f(x) стремится |
к нулю по степенному закону |
|||||
так, что для некоторого s будет (х + |
a)s f (х) -»■ С Ф 0 (а > 0). |
|||||||
Во |
многих |
случаях |
параметр а, |
зависящий от поведения |
||||
f вблизи начала координат, можно принять равным еди нице. Функция f представима в форме
/ (х) — + /1 (х)>
218 |
ВЫДЕЛЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ФУНКЦИИ |
[ГЛ. 12 |
|
где fi(x) стремится |
к нулю быстрее, нежели / (х), так как |
||
(х + |
l)s /i (*)-*■ 0 (*->оо). |
1)"* функ |
|
Преобразование Фурье главной части С ( х + |
|||
ции |
f может быть |
найдено точно способом, |
указанным |
в гл. |
10. |
что скорость стремления к нулю функ |
|
Если окажется, |
|||
ции Д является недостаточной для выполнения преобра зования Фурье, то можно пытаться из Д в свою очередь выделить главную часть. Вид ее зависит от свойств функ ции Д, но может оказаться, что Д, как и Д стремится к нулю по степенному закону и из Д можно выделить главную часть того же вида, но с другими значениями параметров С и s. Выполнив операцию выделения глав ной части несколько раз, нередко удается построить пред ставление функции f вида
£ 1у\ __ 6*1___ - |
С%___ - |
, |
Ст~~f~7m (•*■) |
(*+«i)Sl |
|
' |
(*+am)Sm ’ |
где
0 < s ! < s 2< . . . < s m и ym(x)-+0 (x-^-co).
Допустим теперь, что / |
стремится |
к нулю при х-*оо |
|||||
по показательному |
закону |
и существует положительное |
|||||
число а |
такое, что |
еах f (х) -> С Ф 0. |
Тогда |
для f |
верно |
||
равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) = Ce-ax + f1{x) |
(а > 0); |
|
|
|||
при этом |
ДД ) стремится |
к нулю быстрее, |
нежели |
f(x), |
|||
так что первый член правой части Се~ах является главным. Преобразование Фурье главного члена выполняется
точно:
СО |
|
|
5 е:ах cos рх dx = |
а2 “ |
, |
О |
^ |
и |
|
со |
|
|
|
|
\ е~ах sin рх dx = g2 ^p pi- - |
(а > |
0). |
|
|
о |
|
|
|
с |
В третьей части книги мы ознакомили читателя только |
|||
самыми простыми задачами |
подготовки |
функции F (р) |
||
к |
обращению преобразования |
Лапласа |
и |
функции / \х) |
§ |
12.21 |
УВЕЛИЧЕНИЕ СКОРОСТИ СТРЕМЛЕНИЯ К НУЛЮ |
219 |
к |
преобразованию Фурье. Нам казалось, что этого доста |
||
точно для ознакомления с идеями подготовки. Подготовка состоит, по сути дела, в том, что из функций F (р) и f(x) выделяют особенные или главные части такие, чтобы для
них вычисления |
могли быть выполнены достаточно просто |
и сколь угодно |
точно. |
Эта задача выделения является нестандартной, и, если
читатель |
встретится со случаем более сложным, |
чем при |
||
веденные |
в |
нашей книге, |
мы рекомендуем ему обратиться |
|
к книгам, которые могут оказать помощь в |
вопросах |
|||
подготовки |
вычислений |
для большого числа |
случаев |
|
(см. [1J, |
[3]). |
|
|
|