Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2320 21 22 23 > Следующая >>>

190	ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ	[ГЛ. 9
корни	многочлена Лежандра степени п. Значение выбора
таких	узлов связано с тем, что интерполяционные	квад

ратурные формулы с этими узлами имеют наивысшую степень точности при постоянной весовой функции и явля ются весьма полезными при интегрировании функций без

особенностей. Таблица коэффициентов								для таких узлов
приведена в той же				книге		[7]	(табл. III).
									СО
9.3.5.		О	вычислении			интегралов		/ т + 0 = ^ eiax X
	-\-х)~т~айх. В				рассматриваемом				о
Х ( 1								интеграле т есть
целое неотрицательное					число		и 0 ос < 1.		Мы получим
правило		вычислений		лишь для интегралов с показатель
ной	функцией		ё их.	Сходные			правила	для	интегралов

с тригонометрическими функциями cos их и sin их полу чатся из него, если разделить в нем вещественную и мни мую части.

Можно построить рекуррентное правило для уменьшения значения т, воспользовавшись интегрированием по частям:

' т + а = 1 еш (1 +*)"*+“

	iu	СО	dx
(т—1+ а) (14-x)m 1+“	iu	Р	dx
(т—1+ а) (14-x)m 1+“	i— 1 -f-а	J	(1 + *)m-i+a
			00

_ 1	.	iu
m — \-\-a '		m — l - f a

0 i u x ,	dx

Jm+a = m—1+cc + m—1 + a J m-i+a-

(9.3.39)

Это соотношение позволяет ограничиться получением пра вил для вычисления Ja (0< ос< ;1).

Преобразуем Ja заменой переменной \-\-x = t\

	СО
	d\t_
	fa = eriu J , i u t
Когда a = l ,	получится равенство
Jj — б	sin ut dt
	___ 0-W	si (u)J. (9.3.40)
	e~iu[ci (w) + 1	si (u)J. (9.3.40)

§ 9.31		ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ									191
Здесь		ci (и) и si (и) —интегральные косинус							и синус,		для
которых			составлены подробные				числовые таблицы.				При
О < а <			1 из приводимых ниже равенств получается нуж
ное		правило		для		вычисления	рассматриваемого инте
грала *):				со		со		1
				со		со		1
				\ e iux% =				Ха ’
							л
			^ ‘•“- g		=	u“- i r ( l - a ) e£2 (,- a,i u >			0,	(9.3.41)
	1-		О		00	1		00
	1-				00	1		00
		00		А= 0			k=0 k\ (k+ 1 —a ) 1
		00					P
Ja =		5 ew* j y ~			=	(1 - a) e I* 0 _a)H			+
						+ tria 2		m k		(9.3.42)
						+ tria 2		fel (ft-j-l —a ) '		(9.3.42)
						k=0
Б.	*)	О	соотношении (9.3.41) см. в книге: М. А. Л а в р е н т ь е в и
Б.	В.	Ш а б а т ,		Методы теории функций комплексного переменного.
М.,	«Наука», 1973.

Г Л А В А 10

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ, ИМЕЮЩИЕ НАИВЫСШУЮ


	СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ
		§	10.1. Введение
Задачи	о построении формул наивысшей степени точ
ности для	косинус-		и синус-преобразований Фурье изу
чаются сходным путем, но имеют различные решения.
Будем	считать	оригинал		f(x) представимым в виде
f(x) = (1 +	x)~s F (х),	где s >		1 и функция F (х) непрерывна

на полуоси O sgxscoo .

Рассмотрим косинус-преобразование Фурье

Фс (и) =	СО	СО
Фс (и) =	Jj / (X) COS u x d x =	Л	F (х) dx.
	о	о v
Множитель	(1 + x)~s cos их примем		за весовую функ

цию и будем строить для вычисления интеграла квадратур ную формулу вида

со п

		Л щ	^	м ^	2	AkF{Xk)■	(10ЛЛ)
		О				А = 1
Она	имеет 2п параметров Ак и xk, и их можно						пытаться
выбрать так,		чтобы	равенство (10.1.1) выполнялось точно,
когда F (х) есть произвольный					многочлен от ( l+ x ) -1 сте
пени	2п — 1,	или,	что равносильно, для 2п простых дро
бей	(l-fx)~‘	(i = 0, 1 ,..., 2п— 1)				выполнялись	соотно
шения
	СО				п
	5 (1 +*)-»-<cosu x d x =				21	Л* О + x ky ‘	(10.1.2)
	о				k=1
			0 =	0, 1........ 2 л -		1).

Эти равенства образуют систему 2п уравнений для нахождения параметров, линейную относительно Ак и

§ ЮЛ)	ВВЕДЕНИЕ		193
нелинейную относительно	хк. Если ее	решить, то	уже
при небольших значениях	п окажется,	что узлы хк будут
лежать вне полуоси интегрирования [0, оо).
Причиной такого недостатка является знакоперемен-
ность *) весовой функции	(1 + x )_s cos их, и, чтобы		осво

бодиться от него, достаточно сделать весовую функцию знакопостоянной.

В изучаемой задаче это может быть выполнено при

помощи		элементарного		преобразования:
СО			СО				0 0
$ cos uxf (х) dx =			$ (1 +	cos их) f(x)dx— $ / (x) dx = Pc— Pc.
о		о					о
Интеграл Pc имеет простую форму							и преобразованием
х =		приводится		к	интегралу	с	весовой	функцией
Якоби	с параметрами			0,	s —2:
	00		00		1
« =	I	> м * -	S т Ш р * -			\ F ( ш ) 0 +		0 - <#•
	0		0		-1

Он может быть вычислен при помощи формул наивыс шей алгебраической степени точности, коэффициенты и узлы которых табулированы в достаточно широких гра ницах.

Сосредоточим свое внимание на интеграле Ц. Он зави сит от параметра и. Чтобы сделать узлы и коэффици енты формулы для его вычисления не зависящими от и, выполним преобразование их = х' ( и ^ 0), приводящее параметр под знаком косинуса к единице и переводящее его из веса в интегрируемую функцию:

СО				ОО
И = 5 ( l + c o s x ) ^ f ( £ ) d x =				( l + c o s * ) * ( * ) f i f r ,
о				о
				(10.1.3)
		х м - i f	а ) -
*) В теории квадратурных правил наивысшей алгебраической
степени точности,	к	которым приводится наша задача путем замены
переменной * —	,	известно, что		если весовая функция знако

постоянна, то узлы квадратурной формулы лежат всегда внутри отрезка интегрирования.

7 В. И . К р ы л о в , Н . С . С к о б л я

194	ФОРМУЛЫ	НАИВЫСШЕЙ СТЕПЕНИ ТОЧНОСТИ	[ГЛ. 10
Предположим, что		X (х) представима в виде
		=	(10Л'4)

где F (х) непрерывна на полуоси O s g x ^ e o . Тогда задача будет состоять в том, чтобы установить правило вычис ления интеграла

	со	со
	п = 5 (l +	co s* )X (* )=	(10.1.5)
	о	о
с	положительной	весовой функцией	1 -ф cos х или
(1 +	cos х) (1 + * )“,s.

§ 10.2. Построение формулы наивысшей степени точности

Такие формулы могут иметь различный вид в зависи мости в первую очередь от того, какими свойствами обла дает подынтегральное выражение и как в связи с ними выбирается весовая функция. Мы будем говорить об одном из правил, которое рассчитано на множество функций X (х), представимых в форме (10.1.4).

Примем за вес множитель 1 -ф cos х. Он учитывает колебания подынтегральной функции в (10.1.3), но не связан с характером убывания X (х) при х - уоэ. Это последнее обстоятельство будет нами учтено при выборе системы функций, относительно которой будет достигаться наивысшая степень точности.

В соответствии с избранным весом рассмотрим интеграл Рс (см. (10.1.5)) и построим для него правило вычислений

вида	п
00

П = \ (1 + cos x ) X ( x ) d x ^	2 AkX(xk). (10.2.1)
О	/г = 1

Параметры Ak, xk выберем так, чтобы равенство точно

выполнялось для функций (1-fx)-* -' ( s > 0 ; г = 0, 1 ,2 ,...

... , 2п — 1) или,	что равносильно, для всех функций вида
2п — 1
( l + X ) ~ S %	C y U + * ) - / = ( l + * ) - ' - * “ +4 }* » - l W .

/ = 0

ГДО Р-гп- 1 (х) — произвольный многочлен от х степени

§ 10.2] ПОСТРОЕНИЕ ФОРМУЛЫ 195

2 л - 1:

С	1+ COS X	р	(v\dx —
j	(l-j-^an-i+s	г 2п-1\л/ ил
о	п		п
	п		п
	= 2		Ргпг- 1 Ы = 2 BkPtn-iiXb). (10.2.2)
	А= 1		А=1

Задача разыскания Bk> хк, а следовательно, и пара метров Ак, xk привелась к классической проблеме по строения на полуинтервале [0, оо) квадратурной формулы наивысшей алгебраической степени точности с положитель ной весовой функцией (1 -f cos х)(1 + x)-2n+1-s.

Все интегралы, участвующие в последующих рассуж дениях, предполагаются абсолютно сходящимися. Пусть рассматривается интеграл по конечному или бесконечному отрезку [а, b] и весовая функция р (х) является знако постоянной и не эквивалентной нулю. Допустим, что для вычисления интеграла применяется формула

b	п
\p {x )f{x )d x ^	^ B kf{xk).	(10.2.3)
a	k ~ l
Для того чтобы формула	(10.2.3) была	точной для

всех многочленов степени 2п — 1,	необходимо и достаточно
выполнение условий:
1) коэффициенты Вк имеют значения
ь
* » - S g w	(* .)'* •	<io-2'4>
а
п

ю(*)= П

k—1

т. е. правило интегрирования (10.2.3) является интерпо ляционным;

2) многочлен о (х) ортогонален на [а, Ь] с весом р (х) ко всякому многочлену Q(x) степени не выше п — 1:

ь
\p(x)a(x)Q(x)dx = 0.	(10.2.5)
а

В необходимости этих условий можно убедиться весьма просто. Пусть равенство (10.2.3) верно для всех много-

7»

196	ФОРМУЛЫ		НАИВЫСШЕЙ			СТЕПЕНИ	ТОЧНОСТИ		{ГЛ. 10
ч л ен о в	степ ен и	н е		в ы ш е	2 л — 1. Р а с с м о т р и м			м н о го ч л е н
со ,(х ) =	(л:—X j) со	;		. О н	и м е ет	с т е п е н ь	л — 1,	и д л я	н его
	(л:—X j) со	(XyJ

р а в е н с т в о (1 0 .2 .3 ) д о л ж н о б ы ть то ч н ы м . Н о Шу (х ) о б л а

д а е т с л е д у ю щ и м и с в о й с т в а м и :			co y(xft) = 0	п р и /г Ф / , и
СОу (ЛГу) = 1. П о э т о м у	ИЗ ( 1 0 .2	.3 )	ДЛЯ СОу(х) д о л ж н о п о л у
ч и т ь с я р а в е н с т в о
Ь	п
$ р (х) СО/ (х ) с/х = 2			BftCDy ( х /;) =	£ у ,
О	=	l

ч то д о к а з ы в а е т (1 0 .2 .4 ) .

Ч т о б ы у б е д и т ь с я в н ео б х о д и м о с ти в т о р о г о у с л о в и я , в о зь м е м м н о го ч л е н Q ( x ) , с т е п е н ь к о т о р о г о н е в ы ш е л — 1. М н о го ч л ен / (х ) = со (х ) Q (х) б у д е т и м е т ь с т е п е н ь н е б о л ь ш е 2 п — 1, и д л я н его ' р а в е н с т в о ( 1 0 .2 .3 ) д о л ж н о б ы ть то ч н ы м ,

а	т а к к а к / (хк) = со ( х ) Q (хк) = 0 • Q ( х ) = 0 , т о (1 0 .2 .3 )
с о в п а д а е т с (1 0 .2 .5 ) .

Д о с т а т о ч н о с т ь у с л о в и й п р о в е р я е т с я с т о л ь ж е п р о с т о . П у с т ь у с л о в и я 1), 2) в ы п о л н я ю т с я . В о з ь м е м п р о и зв о л ь н ы й

м н о го ч л е н f (х) ст еп ен и 2 л — 1. Р а з д е л и в е г о	п о об ы ч н ы м
п р а в и л а м а л г е б р ы н а со (х ), м о ж н о п р е д с т а в и т ь f в ви д е

f (x) =	со (x )Q (х )		г (х ), где Q ( x ) и			г (х ) — м н о го ч л е н ы			с т е
пени	не в ы ш е л — 1.			В в и д у	со (х Л) = 0		и м еем	f { x k) — r ( x k),
с л е д о в а т е л ь н о ,
	ь		ь				ь
	5 Р (х ) / (х ) dx = \ p (х ) со (х ) Q ( x ) d x + \ p (х ) г (х ) с/х.
	а		а				а
П е р в ы й		и з	и н т е г р а л о в		п р а в о й	ч асти р а в е н с т в а			р а в е н
н у л ю по у с л о в и ю о р т о г о н а л ь н о с т и .							Т а к к а к п о п е р в о м у
у с л о в и ю п р а в и л о ( 1 0 .2 .3 )					я в л я е т с я и н те р п о л я ц и о н н ы м ,
о н о то ч н о		д л я	в с я к о г о м н о го ч л е н а			степ ен и		п — 1, в	ч а с т
н ости	д л я	г (х ),	т а к	ч то
	\ p ( x ) r { x ) d x =				Bk г (xk) =		B kf { x k).
П о э то м у				4= 1			4 = 1
П о э то м у
			] p ( x ) f ( x ) d x = j p			B kf (xk)
					4 = 1

и р а в е н с т в о ( 1 0 .2 .3 ) в ы п о л н я е т с я т о ч н о д л я / ( х ) .

§ 10.2] ПОСТРОЕНИЕ ФОРМУЛЫ 197

Можно просто показать, что правило (10.2.3) не может быть верным для всех многочленов степени 2п. Для этого достаточно указать хотя бы один многочлен такой сте


пени,	для которого (10.2.3) не может быть точным.						Рас
смотрим f (х) — и>2 (х).		Это — многочлен степени 2п. Левая
часть равенства (10.2.3) для него,					по	причине знакопо-
стоянства веса р(х),		отлична от нуля, тогда как правая
часть	равна нулю,	ввиду	того	что f(xk) = 0 при			k —
= 1,2........п. Значит,		равенство		(10.2.3)		не может быть
точным для / = со2(х).					точности 2п — 1
Отсюда следует, что если			степень				дос

тижима в равенстве (10.2.3), то она является наивысшей. Для доказательства же достижимости достаточно устано вить существование многочлена со (лг), удовлетворяющего требованию ортогональности (10.2.5). Будем искать такой

многочлен в форме разложения						по степеням х:
		со (х) = хп + а ^ - 1 + ... + ап.
Условие (10.2.5) равносильно							выполнению			следующих
п равенств:
ь
	\ p { x ) i й ( х ) х Ы х =				0,	/' =	0	, 1 ............п — 1.
	а
Если	сюда	подставить			вместо		со (х) его		разложение по
степеням	х	и	для	сокращения				записи		обозначить
ь
§ р (х) xk dx — ak,			то	получится			система		уравнений для
а
нахождения коэффициентов аъ .... ап-
	ап+ ап- Л + <хп^а2+ . . . + сс0ап= 0,
	®я+1 +		а л +	“ «-х«2 +		• • • + aian=			0,
	Я 2 я -1 +		K 2«-2<2l Н" а 2 л -З а 2 +				• • • “Ь а п -1 а п —			0 .

Для проверки разрешимости системы и единственности

еерешения достаточно установить, что однородная система

«я -А + осп_2а2 + . . . + а0ап= 0, апах+ а я_ха2 + . . . + а хап= 0,

а2п-2а1 а2я-За2 + • • • + а п-1ап = 0

198 ФОРМУЛЫ НАИВЫСШЕЙ СТЕПЕНИ ТОЧНОСТИ [ГЛ. 10

имеет только нулевое решение. Будем считать, что аи ...

... , ап удовлетворяют уравнениям системы. Умножив урав

нения соответственно на ап, ....			аг и сложив их, получим
равенство ь
$ р (х) (а, + ап_хх + . . . +			a1xn-1f dx = 0.
а
Так как	весовая	функция р(х) не эквивалентна		нулю
и сохраняет	знак,	последнее равенство возможно		только

в том случае, когда многочлен, стоящий в скобках, будет

тождественным			нулем, что возможно лишь при а1 = а2—...
. .. = а„ = 0,		и	однородная	система, стало быть, имеет
только	нулевое		решение.	ап можно построить мно
По	коэффициентам аъ
гочлен	со (х),	а	находя его корни xk (k = 1....... п) и вычис

ляя коэффициенты Bk при помощи равенств (10,2.4), построим правило (10.2.3), точное для многочленов сте

пени	2п — 1.	Из изложения			видно, что	такое правило
будет	единственным,		так	как	многочлен	со (х) и коэффи
циенты Ak определяются однозначно.
Этот результат можно дополнить доказательством того,
что корни		многочлена		все различны между собой и
все лежат внутри отрезка интегрирования [а, Ь].
В	интеграле (10.2.2) отрезок интегрирования [а, Ь}
есть	полуось	[0, оо)	и	весовая функция есть р (х) =
== (1 -{-x)~2,I~s+1 (1 + co s х),				она положительна всюду, кроме
точек	* = (2/4-1) я (/ = 0 ,1 ,...). Многочлен со (х) — хп -f-

4- аххп~х4 -... + ап определяется условием ортогональности

СО
5(14- XГ 2я-5+1 (1 -f cos х) со (*) х>dx =		0 (10.2.6)
(/ = 0,	— 1).
Его коэффициенты ак могут быть	найдены из	системы

пСО

2	«г 5 (1 + У Г 2п-1+1 (1 4- COS х)	dx = 0 (10.2.7)
i = о	о	1).
	(/ о, 1 ,..., ti 1j Uq=	1).

Коэффициенты Bk, участвующие в (10.2.2) и квад ратурном правиле вида (10.2.3), если его записать для

§ 10.2] ПОСТРОЕНИЕ ФОРМУЛЫ 199

интеграла

оо

$ (1 + x)-in~s+1 (1 -f- cos х) f (х) dx,

должны быть найдены при помощи формулы вида (10.2.4). Коэффициенты же Ak формулы (10.2.1), когда она точна для всех функций вида

2п — 1

х (X) = (1 + x)-s 2 Су(1+х)-; = (1+ х ) - ^ Р 2п_г (X),

/ = 0

как это видно из (10.2.2), отличаются от Вк множителем (1 +**)2л+5-1> и для них получатся следующие значения:

			СО
Ак= (1 + xky*s-i J (1 +)-- (1 + cos х) ^									ш	dx.
									( 10. 2.8)
Таблицу		значений		хк	и	Ак для		(10.2.1)	при	s =
= 1,05(0,05)4,			/2= 1 (1) 10			можно	найти в		книге	[7]
(табл. VI).
Аналогичная таблица хк и Ак для формулы наивысшей
степени	точности
		со				п
		$ (l + sin x )f(x )* * 2 l Akf(xk),							(10.2.9)
		о				А=1
		f(x) = -{				IF ( x ) \^ M ,
при тех	же параметрах			s u n		находится		в той	же книге
[7] (табл. V).			краткое		замечание		о	сходимости		при
Сделаем		еще	краткое		замечание		о	сходимости		при
/г-уоо	вычислительных			процессов наивысшей степени точ

ности (10.2.1) и (10.2.9). Для определенности будем иметь в виду (10.2.1). Для наших целей достаточно привести (10.2.1) к известному правилу типа Гаусса, в котором достигается наивысшая алгебраическая степень точности, и затем воспользоваться известными теоремами о сходи

мости квадратурного процесса		этого вида.
Возьмем интеграл	Д (см. (10.1.5))		в форме, получаю
щейся при замене	функции	X (х)	ее представлением
X(x) = ( l + x y sF(x).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2320 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ