Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2316 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

150 ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ tttl, 9

fk (А = 0,		1, ...)■•
	СО
Фс (и) == \ / (х) cos их dx --
	— “ г/о + Тг У! hk+1 COS (2& 4-1)0 +
				А= 0					(9.2.24)
				+ 2а2 2] hk cos 2&0 + # с					(9.2.24)
				+ 2а2 2] hk cos 2&0 + # с
	uh,					&=!
0 =	uh,	/г_1а 2 = -\|-0“24 - у 6'2 cos 20 — 0~3sin 20,
Л_1у2 — 40~2 [0-1 sin 0 — cos в],
Яс =	**+2			4 2	С
Яс =	J	rk(x)dx = ~			d\ jj л [ ( £ - т ) 2£ ( \| - т) +
	x k			0	0	'
			+ £ ( \| - 2 ) ( 1 - т ) 2Я ( 1 _ т) -
					00
	— у I d		— 1) (2 — т)2] 2			f "	(x2 k + hx) cosu(x2k-\-hl).
					k= 0				(9.2.25)
									(9.2.25)
Чтобы		выполнить			оценку ^ c,			необходимо предвари
тельно ознакомиться с					некоторыми свойствами ядра двой
						ного интеграла, которое стоит
						в квадратных скобках. Об
						ластью		интегрирования		яв
						ляется		квадрат 0 < £ , т ^ 2 ,
						и его для наших целей удоб
						но разделить на 6 участков
						прямыми линиями £ = т, т = 1,
						\| = 1 .		Нумерация этих		уча
						стков указана на рис. 1.
						Знаки ядра на границах уча-
1						стков	легко определяются по
[/					__ ^	указанному выражению ядра,
						и они также указаны на ри
						сунке. Знаки же и оценки
						ядра внутри участков иссле
У ч а с т о к			I.		дуются ниже.				0 < : т =й;
У ч а с т о к			I.	Он определяется			неравенствами		0 < : т =й;
	1.	Ядро,		которое мы обозначим /С (I, т) =					/С, здесь

§ 9,21	АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ f (*)								151
имеет значение
К = (g- т)« + g ( I - 2) (1 - Т)*-						( I - 1) ( 2 - т)2 =
								(9.2.26)
Оно, очевидно, неотрицательно, так как								множители £ — 1
и %— 2	оба	неположительны.			Кроме		того, ввиду		того,
что (I — 1) (5 — 2) <			2 и т2	1, для ядра верны неравенства
			0 < K ( g , т ) < 1 .
У ч а с т о к		II.	Здесь	0	т <;	1,	1	g «с; 2. Ядро К
имеет также		выражение		(9.2.26),		отличие состоит в			том,

что множитель £ — 1 принимает неотрицательные значения и ядро К, следовательно, будет неположительным. Так

как	тай£:1, 2 —					и	1=^1, для ядра справедлива
оценка						О^ К ( Ъ , т)5 г= -1 .
						О^ К ( Ъ , т)5 г= -1 .
У ч а с т о к				III.		На	нем	1 sc: т sg; £ sg: 2.	Ядро	имеет
значение
К(1,	т) = ( \| - т ) а - ^ ( \| - 1 ) ( 2 - т ) 2=
				=	1	(2 -	1) (1 +	1) т2 + 2\| (1 - 2) т - 1(g - 2).
При каждом фиксированном значении £ из полуинтер
вала	1 ^	£ <		2	Графиком функции К (\|,т)				в плоскости
с осями		К,	т будет парабола *), обращенная						вогнутостью
в сторону			положительных К. На границе						участка	ядро
К принимает неположительные значения, так как
	при		т = £		K(l, g ) = - y £ ( S - l ) ( 2 - £ ) 2< 0 ;
при	т =	1
К(1,		1 ) = ( Б - 1 ) 2- 4 б ( Е - 1 ) = ( 1 - 1 ) ( \| \| - 1 ) < 0 ;
	при		£ = 2			К (2,	т) =	(2 — т)2 — (2 — г)2 = 0.
Поэтому		во всех			точках		участка III
						К & т ) < 0 .

*) Здесь и ниже имеется в виду парабола с осью симметрии, параллельной оси К.

152 ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ [ГЛ. 9

С другой стороны,

Kd , T ) ^ - 4 - g ( g - l ) ( 2 - T ) » ^ - 1 . 2 . 1 . 1 * = - l ,

и, следовательно, во			всех точках участка
		О	т )	з * - 1 .
У ч а с т о к	IV.	Для		него l s £ 6 ^ TsS2,	т) =
= - у £ ( £ - 1 ) ( 2 - т ) » .
Очевидно,		0 ^ К ( 1 , т ) ^ - 1 .
		0 ^ К ( 1 , т ) ^ - 1 .
У ч а с т о к	V.	Здесь		0 ^ \| ^ 1 ^ т = < 2 ,	К (h т) =

= - у Е ( Е - 1 ) ( 2 - т ) » .

Ядро имеет такое же выражение, как и для участка IV,

с тем различием, что здесь множитель			6 — 1	отрицателен.
Ядро К (I, т)	будет	неотрицательным	и удовлетворять
неравенствам	О < К ( 6 , т ) < 1 .
	О < К ( 6 , т ) < 1 .
У ч а с т о к	VI.	На нем	1,	/С (\|, т) =

= Е ( 5 - 2 ) ( 1 - т ) » - 1 б ( 6 - 1 ) ( 2 - T ) * = g [ - 1 ( 3 - 6 ) т« +

+ 2 т - б ] .

При каждом фиксированном значении 6 графиком ядра

в плоскости К, т	является парабола, обращенная выпук
лостью в сторону	положительных К-
На границе участка К всюду неотрицательно, так как
К{1Л) = \ ( \ - 1 ) ( 2 - т 2^ 0		при £ =		т;
К (0,	т) = 0	при	6 =	0;
К{1,	1) = у £ (1 —£)=э=0	при	т = 1 .

Поэтому во всех точках участка ядро неотрицательно. Наконец, в указанном выше выражении ядра слагаемое 6(£ —2)(1 —т)2 неположительно, и, стало быть,

§ 9.2]

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ f (х )

153

Из рассмотрения ядра на всех участках следует нуж ное нам неравенство

1*(Е,

Оно дает возможность получить приводимую ниже оценку остаточного члена Rci

		2		2		оо
! Rc(“) I <		J	dl	J	dx 2		1Г '(*st + Лт)
					2		оо
			= А* J			*	2	\|Г(*** + Ат)\|.		(9.2.27)
					<f		ft =	0
Если обратить			внимание на то, что
2	оо
§	£?т 2 1 Г (* « +			Ат)!			М	\| Г М ! ^ = х	Var	Г М ,
(Г	ft= О	оценка					П J	п	0:=*<оо
получится		оценка						00
								00
	\| Яс (и) \| ^			A3	Var		/" (х) = /гЧ [Г М [ dx.			(9.2.28)
				О 5		д г <	оо	а

В этой оценке интеграл может быть заменен большей величиной, получаемой следующим способом:

СО	1	СО
$ \| г	{x)\dx = h \	2] I Г М + М I dt =SS
■)	0	&= О

со

^ h max 2 ] 1 Г ' М + М | , 4 = 0

что позволяет заменить (9.2.28) другой, более грубой оценкой, но более удобной, по крайней мере в некоторых случаях, для вычислений:

оо
\| Rc (и) I < /г4 шах У. IГ М + Щ \|.	(9.2.29)
°=S/S 14 = 0

Для синус-преобразования Фурье сходные формулы для вычислений и оценки погрешности будут иметь такой

154

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ

[ГЛ. 9

вид:

ф, (и) = 5 / (х) sin их dx =

—Р2/0+ 7 г 21 /2А+1 sin ( 2&+1) 0 + k=0

СО
+ 2 а2 21	/2* sin 2£0 + #*(«),	(9.2.30)
Й= 1
/г_1Р2 = б-1 — б~3 +	у б-2 sin 20 -f- 0~3 cos 20

(значения параметров 6, а 2, у2 указаны в равенстве (9.2.24)),

	2	2
Rs (и) =	^ dl ^ dx [(£ - т)2 Е (£ — т) +
+ 1 (I-		2) (1 -	т)2 Е (1 -		т) -	\	т - 1) (2 - т)2 X
				X	21	Г	{*2к+ 1гх) sin и (x2k + hi),
			со		k = 0
			со
\| /?, (И) к			А» S	1Г М I dx =			/г3 Var /" (*),
			0				0==х<ет
					СО
\| Rs (и) \| <			А4	шах	21 IГ		(Xk+ fit) \.
					ft=0

Наконец, для комплексного преобразования Фурье аналогичные правила и оценки будут такими:

СО

Ф (ы) = $ f (х) e-iuxdx =

—СО

	СО	0 0
= 2а2	21	+ у2 21 h^ie-i(2k+1)e+ R(u), (9.2.31)
k	СО	k = — 00
	2	2
		§ А т [ ( ! - т ) 2£ ( \| - т ) +
	О	о
		+ i ( i —2 ) ( i —т)2^ ( 1 —т)—
-	1	m
-	у£(£~ l)(2-x)2j ^ f'" (x2k + hx)e~i (x2k +hl)ui

Л — — оо

(9.2.32)

§ 9.2]	АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ f ( х )	155

\ R ( u ) \ ^ h 3

\f"(x)\dx = h3

Var

f" (x),

— - C O

— c o < * < co

| /'" (xk+

hx) |.

| # ( ц ) | < / г 4

шах

O ^ T = = l f c = _ 00

III.

П р а в и л а , о с н о в а н н ы е

на и н т е р п о л и

р о в а н и и

т р е т ь е й

с т е п е н и .

Выше

были

рассмот

рены правила, в основе которых лежит линейное и квад

ратное

интерполирование. Они являются аналогами коте-

совых

правил трапеций

и парабол. Но можно,

очевидно,

построить для преобразований Фурье аналоги правил

Котеса любых порядков.

Чем выше степень точности таких

правил,

тем

более сложными они

будут, и сложность их

с увеличением степени быстро возрастает. Мы приведем

только правила, отвечающие интерполированию третьей

степени,

являющиеся

аналогами

«правила трех

восьмых»

Ньютона — Котеса.

xk+s и выполним интер

Возьмем 4 точки xk). xk+1, xk+2,

полирование / по ее значениям в этих точках:

f ( у\

(■£

xk+l) (х

А/г+2) (х

X/t-t-з)

1К 1

— h (— 2А) (— ЗА)

1!г'Г

(x — xk) ( x — xk+2)(x — xk+3)

h( — h) (— 2h)

lb+1-r

I (x

xk) (x

xk+i) (x

xk+s) f

2h - h ( - h ) /fe+2-г

i	(x — xk){x — x*+1)(x — хш ) t	, _ , >л
+	------------ 3/г • 2/г• h------------ '*+3 +	r3 W*

Умножение этого			равенства на cos их и	интегрирова
ние по	отрезку	[xk, xk-j- 3/г] с последующим суммирова
нием по значениям k =			0, 3, 6,... приводит к представлению
косинус-преобразования через значения /0, /1( ...:
	СО
фс (и) =	J / (х) cos их dx =
	о	оо
		оо
	= «з/о+	I ] (у3 cos 2>k%— б3 sin 3£8) f3k+1-f-
	со	k = О
	со
	+	(Уз cos 3/%0 —63 sin 3/гб) /3*_х —1—
	к= 1		СО
		+ 2 а3	/за cos 3kQ -\-Rc(w)>	(9.2.33)
			ft= i

156

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ

[ГЛ. 9

оо

Я с ( и ) = - у - \ d l $ d T [ ( g - x ) » £ ( g - T ) -

0 о

2)( & - 3 ) ( 1 - т ) » Е ( 1 - т ) +

+| б ( 5 - 1 ) ( 5 - 3 ) ( 2 - т ) » Е ( 2 - т ) -

Е( Е - 1 ) ( 6 - 2 ) ( 3 - т ) » ] X

X flv (xSk+ Ат) cos и {x3k+ h\).

A = 0

Для синус- и комплексного преобразований Фурье такие представления будут следующими:

СО

<f>s (и) = \ f М sin их dx =

= Рз/о+ 2 (Ъ sin 3A0 + б3 cos 360) /зЖ +

А= 0

+2 (у3 sin 360 — 63cos 360) /3*-! +

a = i

			+ 2tx3 2	/ за sin 360 +			Rs (и),	(9.2.34)
			A = 1
Rs (и) =	-f-	§ dl jj dx j(1-		t)3'£ (l -		t) —
		0	О
		- \| l ( 5 - 2 ) (\|- 3 ) . (1 - т )» £ ( 1 - т ) - Ь
		+	\| U ^ - 1) ( \| - 3 ) ( 2 - t)3E ( 2 - t) -
1				00	/’v(*3A+		Ат)sinw(3 + A\|);
- j i ( £ - l ) ( ? - 2 ) ( 3 - T ) 3 2					/’v(*3A+		Ат)sinw(3 + A\|);
	CO			J A= 0		CO
	CO					CO
<P(“) =	l	f(x)e -mxdx = (y3- i 8 3)				2	/3A+ie-i3*0 +
—	CO				k — — CO
				CO
			+ (Та + й , )	2	/ за-1<г ''3*0 +
				— 00
				со
			+ 2«з	2	f ^	me +	R(u),	(9.2ДБ)

А= — со

5 9.2]	АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ( ( х )		157
R(u) = ^	3	3
R(u) = ^	^

оо

-у 6 ( Е - 2 ) ( 6 - 3 ) ( 1 - т ) » £ ( 1 - т ) 4 -

+ ^ Е ( ! - 1 ) Й - 3 ) ( 2 - т ) » £ ( 2 - т ) -

СО

- ^	( \| - 1	) ( \| - 2 ) ( 3		- т ) 3]	^	/ 'v (Jf*+ Ат)		+ *«)“.
				k — — оо
В	равенствах		(9.2.33 — 35)		коэффициенты		а 3, рз,	у3, б3
имеют значения:
	0 =	uh,
к ' а в =		~ 0~2 - 0-4 + (б^4 -			^	е' 2) cos 39 +	9~3 sin 30»
hrxp8 =		0-1 -	20~3 +	(_0-4 - j		sin 30 - 0-3 cos 30,
Л-^уз =		30-4 -	30-2 +	3 ( у 0'2 -		0“4) cos 30 -	40~3 sin 30,
hr43=		50~3+	3 ( j 0-2 - 0-4) sin 30 + 40-3 cos 30.
							(9.2.36)
	Выше были приведены вычислительные формулы,							полу

ченные с помощью интерполирования функции / по значе ниям, которые она принимает в узлах xk. Можно пытаться увеличить точность вычислений, привлекая к интерполи рованию не только значения функции /, но также значения ее производных до некоторого порядка. Интерполирование в этому случае будет с «кратными узлами» или эрмитовского типа. В общем виде оно имеет сложную форму, и для простоты записи остановимся только на случае двой ных узлов, когда интерполирование выполняется по зна чениям / и первой производной Будем, как и раньше, считать узлы равноотстоящими: xk= kh (k = 0, 1, ... ; й > 0). Возьмем п -\-1 узлов xk, лг*+1, ... , хк+п и построим много

член P3n+i(x)	степени	2/г +	1 > удовлетворяющий условиям
Р w+1 ( X k +	i ) =	f k +	j ,

Ptn + i (х к + j) = fk-j-i

0 = 0 , 1,

n).

158

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ

[ГЛ, 9

Явное выражение такого многочлена хорошо известно в теории интерполирования *), и на его получении мы не будем останавливаться. Соответствующее представление функции / будет следующим:

		П	W + гпк{ ) (х),
	=	2	W + гпк{ ) (х),		(9.2.37)
<в(х) =	(х -х » ) ( * - * * +1)		(* -**+ „).
Если обе части равенства (9.2.37)			множить	на	cos их,
проинтегрировать	по отрезку	[kh,	{k + л) h\ и	результаты
суммировать по значениям к, кратным п (k — 0,n,					2п, ...),

получится представление косинус-преобразования Фурье через значения fk и f% вида

фс («) = 2 [<4 (и) fk + а* (и) fk]+ Rc (и). (9.2.38)

Коэффициенты ah (и) и а* (и) могут быть выражены через ядро преобразования cos их и коэффициенты Я <*>(х) интер

полирования, остаточный же член Rc(u) представления выражается через cos их и погрешности л<*> (х) на всех

отрезках интерполирования [jn, (j+l)n] (/ = 0, 1, ...). Изложенные общие соображения приведены, чтобы выяс нить идеи, на основании которых строятся вычислительные формулы вида (9.2.38). Для вычислений же большее зна

чение имеют частные случаи таких				формул,	отвечающие
нескольким первым значениям п.
IV.	С л у ч а й и н т е р п о л и р о в а н и я				т р е т ь е й с т е
п е н и	с д в у м я	д в у к р а т н ы м и		у з л а м и .		Возьмем
отрезок	[kh, \k-\-\)h] и		интерполируем на нем /			по зна
чениям	fk, fk+1, fk,	fUi	с помощью	многочлена		третьей

*) См., например, И.	С. Б е р е з и н	и Н. П.	Ж и д к о в , Методы
вычислений, изд. 2-е, т. I,	гл. 2, § 11, п.	1, М.,	«Наука», 1936

§ 9.2]	АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ f (X )		1S9
степени:
	Л2
	+Т^[(! ~ 2 '' h	1 +
	+ ( x - x k+l)fk+i] + rk(x).		(9.2.39)

Для получения нужного выражения погрешности rk(x) можно воспользоваться, как и выше, формулой Тейлора

/ (х) — fk + (х — xk) fk+ ~2 (Х ~ Xk)2 fk +

		X
+ i (X -	xkf / г + -g-	J Г (t) (X - t f =
	*A+i
=	Л ,( * ) + 4	5 / IV (0 {x — t)9 E { x — t)dt .

Так как многочлен Ръ(х) интерполируется точно, погреш ности интерполирования / и интегрального члена правой части равенства совпадают. Последнее же приводит нахож дение остатка для / к нахождению остатка для функции

(x—t f E (x — t): kjri

Ы * )= 4	$ г { t ) [ ( x - t f E { x - t ) ;
	(*—xkf \		■2i=f±-M (*ft+1- 0 8 +
		h2	■2i=f±-M (*ft+1- 0 8 +
		h2
				+ 3 ( x - x * +1)(xft+1- ^ ) 2 }cW.
Для упрощения записи			положим x = xft4-/z£, t==xk -\-hx
(OsSg, т ^ 1 )		и получим
	i
Ги (*) = £ §	/ IV {Xk+ Ат) {(5 -			г)3 £ (S - т) -
- [ ( 3		— 26) (1 - Т)3 +		3 а - 1) (1 - Т)2]} Л =
		1
	= ?	$ / lv f e +	AT){(g-T)3£ ( i - T ) +

+ 12( 1 - т)2[ ( 3 - 2 ^ ) т - ^ } .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2316 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ