Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2310 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Г Л А В А 5

МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

ПРИ ПОМОЩИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ, ИМЕЮЩИХ НАИВЫСШУЮ СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ

		§ 5.1. Теория квадратурных формул
Для	вычисления интеграла Меллина
			c-{-ica
		П‘) =ш \ ‘крМ ‘		( 5 . 1 . 1 )
				( 5 . 1 . 1 )
в гл. 4	были построены интерполяционные			квадратурные
формулы,		точные для	многочленов степени	п — 1 от аргу
ментов у		или р_	gof ■Такая степень точности при задан

ных узлах интерполирования в полуплоскости Re р > а до стигалась за счет выбора квадратурных коэффициентов Ak.

При построении квадратурных формул естественно выбирать не только коэффициенты, но и узлы. Можно надеяться, что их выбором степень точности формулы можно увеличить. В этой главе будет построена квадра турная формула наивысшей степени точности в классе рациональных функций частного вида.

Но прежде чем строить такую формулу, преобразуем интеграл (5.1.1), чтобы параметры квадратурной формулы не зависели от а и t. Для этого сделаем замену перемен ной р = р'Ц-\-а. После этой замены интеграл (5.1.1)

преобразуется к виду

8-J-icO

П‘)~т=г*т- \

6 > 0 , F* (p') = F ( - f - f a

	ТЕОРИЯ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ				91
Так как	функция F (р) была		регулярна в полуплоскости
Re р > ос, функция		F* (р') будет		регулярной справа	от
мнимой	оси Re р ' >	0, а е	может	быть любым положи

тельным числом. Таким образом, вычисление интеграла Меллина сводится к вычислению интеграла

е-Ноо

J = -%a $ e”F*(p)dp,	(5.1.2)
е — (со

где переменная интегрирования снова обозначена через р. Функция F* (р), как функция-изображение, кроме регулярности в правой полуплоскости, обладает еще тем свойством, что она стремится к нулю при удалении р на бесконечность так, что Re р->- оо. Допустим, кроме этого, что F* (р) стремится к нулю, как некоторая сте пень 1/р, т. е. предположим, что F* (р) представима в виде

		F* (Р) =	ф (Р).	(5.1.3)
где s > 0 ,	а	функция ср (р)	регулярна в	полуплоскости
R e p > 0	и	имеет конечное	предельное	значение при
р -> оо:

Пт ф (р) = ф (оо).

р- + СО

Подставим выражение (5.1.3) в интеграл (5.1.2):

	8+ /0О
=	5	epp~sq>(p)dp.	(5.1.4)
	8 — i	СО
Для вычисления этого	интеграла будем		строить ква
дратурную формулу следующего вида:
		П
J { s ) ^ Y i Ak^(pk)-			(5.1.5)
	k = \

В формуле (5.1.5) произвольными величинами являются коэффициенты Ak и узлы рк. Выбором их можно распо рядиться. Будем пытаться выбирать их так, чтобы фор мула (5.1.5) была точной для любого многочлена степени 2п— 1 от переменной 1/р. Необходимое и достаточное условие для этого дает следующая

92		ОБРАЩЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ					(ГЛ. 5
	Т е о р е м а		1. Для того чтобы квадратурная формула
(5.1.5)		была точной для всех			многочленов	степени	2 л — 1
о т	переменной		х = 1 /р,	необходимо и достаточно выполне
ние	двух условий:
	1.	Формула	(5.1.5)	должна	бы ть интерполяционной,
т .	е. ее коэффициенты Ak должны иметь					значения
			е + /со
		■ 4. = - S T		)			( 5 - 1 . 6 )
где				8 — loo
где
			/=!		,Рк	Pt
			/=!		/=!
					i фь
	2. Для всякого многочлена				степени не выше п — 1
должно выполняться равенство
		^			{ ~ ) d p = 0,		( 5 . 1 . 7 )
			8 — /СО

где

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы проводится совершенно аналогично доказательству соответствующей теоремы о


квадратурах		наивысшей	алгебраической		степени точности
(см.	[6], стр.	117).	Если формула		(5.1.5) верна для
	Н е о б х о д и м о с т ь .
многочленов		степени 2 л — 1 от		переменной х = \ / р ,		то
она	верна и	для многочленов		степени	л — 1 от 1/р,	и

поэтому она должна быть интерполяционной. Необходи мость первого условия доказана.

Пусть теперь Q ^ j — любой многочлен степени не выше

п — 1. Произведение i p ^ j = c o „ ^ - ^ Q есть многочлен

тепени не выше 2л — 1, и для него формула (5.1.5)

§ 5 .Ц	ТЕОРИЯ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ	93
§ 5 .Ц

должна		быть точной:
Ш	$			=
	е — /с о		8 + i00
			8 + i00
			" W	S						=
			e — г oo
									к = 1
Последняя			сумма	равна		нулю,		так как		со„(— ) = 0. Это
			„							\ P k !
доказывает необходимость условия (5.1.7).
	Д о с т а т о ч н о с т ь .					Пусть ф ^			J — произвольный мно
гочлен степени 2 л — 1.					Разделив			его на		с о „ » получим
равенство
где	Q и	р — многочлены				от	l/р	степени		не выше	л — 1.
Так	как	юп	—	то
			^ Ш =р(^)				(* =1’2.... л>-				(5Л-8)
Интеграл		от функции ф				J представим в виде суммы двух
следующих			интегралов:
1	е-{-/о о
1		epP- s i p ( f ) dp-
2 т		epP- s i p ( f ) dp-
2 т
	8 — 1 СО		8 + /оо
			8 + /оо
			1	5	epp-sG>n p j Q [ j )					dp +
			2ni	5	epp-sG>n p j Q [ j )					dp +
			е — / со				8 -{- /со
							8 -{- /со
					+ Ш		$		е^ р ( у ) ф .		(5.1.9)
							8 —	/ СО

Первый интеграл в правой части равен нулю по усло вию ортогональности. Так как степень P ^ 'j не выше л — 1, а формула (5.1.5) интерполяционная, то должно

94	ОБРАЩЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ [ГЛ, 5

быть точным равенство

Г $ e*p-s9 { j ) d p = | > Р 2ni

k= i

Учитывая (5.1.8) и (5.1.9), получаем

г-\-1оо	п
"2яГ S	£= 1
е — i со	£= 1

и формула (5.1.5) действительно будет точной для произ вольных многочленов степени 2п — 1 от 1/р. Теорема

доказана.

Таким образом, вопрос о возможности построения квадратурной формулы (5.1.5), точной для произвольных многочленов степени 2п— 1, связан с существованием

многочлена co„ J степени п, обладающего свойством

ортогональности (5.1.7).

Покажем, что этот многочлен существует и условие (5.1.7) определяет его единственным образом. Будем

искать многочлен a n(x) = con^ - j в виде разложения по

степеням х:

ап (х) = хп + аре"-1+

Условие ортогональности (5.1.7) равносильно выполне нию системы равенств

8 + Iсо
^	epa>ll(x)xs+rn dp = 0, m =			0, l , . . . , n — 1.			(5.1.10)
8 — i со
	8	+ /	СО	1
Так	I f	*	&рх“ dp =	1	то	система	(5.1.10)
Так	как	V	&рх“ dp =	,	то	система	(5.1.10)
	8	— / СО
преобразуется в систему
____ 1______ I				L	4_	ая	=0,
Г(з + п + т ) ' Г (s-j-n + m — 1)					' Г (s+ m)		=0,
Г(з + п + т ) ' Г (s-j-n + m — 1)					' Г (s+ m)

т = 0

, 1.

(5.1.11)

5. ■ТЕОРИЯ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ $5

Умножим

равенства

(5.1.11)

на Г (s + n + /n— 1) и запи

шем полученную систему в виде

s-\-n— 1 + Gi + (s + ^ — 2 )a 2- f . . .

...

n — 2) (s

n — 3)... san=

s_j_rt + ai + (s + n ~ 1) a2+ • • •

(5.1.12)

... +

(s + n — 1) (s -j- n — 2 )... (s +

1) an= 0,

's+ 2n- 2

G1 + (s +

2n — 3) a2 + ...

... + (s + 2n — 3) (s +

2n — 4).. ,(s + « — 1) an = 0.

Определитель этой

системы есть

s + n —2

... [(s+ n —2)(s + n —3)

...

А = 1

s +

n — 1

... [(s + n — 1) (s + n — 2)

...

(s+1)]

s +

2n —3

... [(s + 2n —3) (s+ 2n —4)

... (s + n — 1)]

Достаточно

убедиться в том,

что А ф 0,

так как

тогда

система

(5.1.12) будет иметь решение alt

а2, ....

ап и

только

одно.

Рассмотрим систему

п функций

xs+n~2,

хS+,I_1.......... xs+2«-3_ Они линейно независимы на любом отрезке, не приводящемся к точке. Построим линейное дифференциальное уравнение порядка п, для которого эти функции образуют полную систему независимых ре шений:

У	У'	... y<n)
2	(xs+n~2y	(д-5+Л-2)(Ш
Х^+п-1	(x s + n - iy	(x s+ n~iyn)
j^J+2/1-З	(^ s+ a n - з у	(^s+2ra-3)frt

Если разложить определитель	по элементам первой строки
и разделить обе части уравнения на		то последнее
уравнение можно записать так:
п) + с?дг"-У	+ . . . ■+ спу =	0,	(5.1.13)
где с? —const.

96 ОБРАЩЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ [ГЛ. 5

Действительно, рассмотрим алгебраическое дополнение элемента у:

(x s+n~2)'	( x s+n~ 2 )"	. . .	(x S+n-2yn>
(^■S+n-1 ) '	^ S + 4 - l j '(	_	(x s + n - i y m
( Xs + 2 h - 3 y	(x S + 2 a - 3 y '	. . .	(х З -г 2 П -З у т

Из элементов первого, второго, ..., п-го столбцов выне

сем за знак определителя соответственно xs+”~3, xs+"~4, ...

... ,	xs~2. Затем из элементов строк оставшегося определи
теля	вынесем		множители		1, х, ... ,		х ^ 1. R итоге полу
чим определитель xn(n+s~3) D,						где D	равно
s + n — 2		(s +	n —2)M	..	[(s +	n —2)	...	( s - i ) ]
S - j - t l — 1		(s +	л — l) M	..	[(s + n — 1 )		...	s]	= С Л

s+ 2 n —3		(s + 2 n - 3 )M ...			[(s+ 2n —3)		. ..	(s + n —2)]

и буквой М обозначен множитель, на единицу меньший предыдущего.

Совершенно аналогично устанавливается, что алгебраи

ческие дополнения				элементов у1, у".........у(п) равны соот
ветственно
	С П ^ д /л (5 + л -3 )+ 1 )				с п		3)+2			£ П х п ( з * п - % ) ^ п
Этим доказывается разложение (5.1.13).											Эйлера и
Уравнение (5.1.13)						является			уравнением
имеет две		особые		точки: х = 0,				х =	оо.
Выпишем определитель Вронского для решений xi+n~2,
xs+n- \ ... ,		xs+2n~3 этого				уравнения:
Г (х 5+Я-2,		....	xs+2n~3) =
	s + n - 2	(s +	n — 2) X s + n ~3			.	. [(s +	n —2)		. .. sxs-1]
■	S+n-1	(s +	n — l)x s+n_2			.	. [(s +	n - 1 )		. ••(s + l)* 4
-s+ая-й		(s +	2n — 3) X s t 2« - i.				. [(s + 2n —3). . ( s + n — l)xs4n"2]
											(5.1.14)
Так	как	решения			х*4”-2,		х5+я“1.........			х542"-3	уравнения


(5.1.13)	линейно	независимы, то определитель (5.1.14)
может	равняться	нулю только в особых точках			уравне
ния, т. е. в точках			х = 0 и х =	оо. В остальных	точках
он отличен от нуля,			в частности,	и в точке х = 1.	Но при

§ 5.2]

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

х= 1 определитель W (xs+n~2, ... , xs+2n~s) совпадает с опре делителем А, и поэтому А Ф 0, следовательно, система (5.1.12) имеет единственное решение.

Таким образом, существование и единственность мно

гочлена со„

доказаны.

Так как весовая функция в (5.1.7) зависит от пара

метра s, то и многочлен со„^—J тоже будет зависеть от s.

Будем обозначать его “ «’ (у )- Чтобы закончить исследо

вание возможности построения		формулы (5.1.5), точной
для	многочленов степени 2п— 1	от 1/р,	необходимо пока
зать,	что все корни многочленов со®		при любых s > О

лежат в правой полуплоскости. Этот вопрос будет рас смотрен в следующем параграфе.

Квадратурная формула (5.1.5) наивысшей степени точ ности для интеграла (5.1.4) в частном случае s = l была построена Г. Солзером (см. [8]).

§5.2. Ортогональные многочлены, связанные

сквадратурной формулой наивысшей степени точности

5.2.1.	Явное	выражение		многочленов			Для
получения явного выражения ю®					рассмотрим следую
щий многочлен степени п:
р п ( } ) =	( - 1Ye-Pp^s-'		(е”р-п- ^ ) =
	(п\	(— l)"-ft( tt+ s — 1)			... (ra+ s + fe-2)	,	(5.2.1)
=£2= 0U.
который	мы записали в виде,			аналогичном формуле Род-
рига для многочленов Лежандра.
Покажем, что для этого многочлена выполняется усло
вие ортогональности
8 - j - i 0 0
§ epp-sP f(~ ^ p -mdp = 0				(m = 0, 1 ,..., п -		1),	(5.2.2)
е — / с о
что равносильно		условию (5.1.7).

4	В. И , К р ы л о в , Н . С . С к о б л я

98 ОБРАЩЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ [ГЛ, 8

Для доказательства этого в интеграле (5.2.2) заменим ( у ) его выражением (5.2.1) и выполним интегриро

вание по частям:

е + iсо

S epp-sP f { j ) p - mdp =

е — гео

8 + гоо

Pn- ffl-1 i №			- "	- s+V p =
г — гео		dpn
					е +	г*оо
= (— 1)'у г- т -1	^	№	П-*+1)
					8 — г*со
	dp-
	е 4* г оо
■(— \)п (п — т — 1)		^	г ,п - т - 2 .		^	( е Рр-П-ЗД)Ф .
				dp-
Легко показать, что первый			член	полученного			выра
жения равен нулю, так	как	каждое его слагаемое,					полу

ченное после дифференцирования произведения epp~n~s+1,

будет	иметь вид epp~k (k ^ s )						и ввиду того, что функция
ер остается		ограниченной				на линии интегрирования, будет
стремиться		к	нулю	при	удалении точки р в бесконечность
вдоль	прямой		интегрирования.				по частям п — т — 1
Выполнив			интегрирование					раз,
для интеграла (5.2.2) получим							следующее выражение:
			8 + гео
± { п — т — 1)!			^	^ i ( e pp~n's+1)dp==
			8 — /С О				т - 1)! ^dm (epp-"-s+1) 84“ /со
				=	±	(п -
							8	— /С О
А так	как	s > О, п ^			1,	то полученное выражение		тоже
будет	равно		нулю.	Таким образом, многочлен Рns)(				^

заданный равенством (5.2.1), удовлетворяет условию орто гональности (5.1.7), а ввиду единственности многочлена, удовлетворяющего этому условию, можно заключить, что

многочлен Р(/-1

будет отличаться от (oj,s)

только

постоянным множителем, равным старшему коэффициенту

n U ,

Pln ( I ) = («■+ s - 1) (п + S)... (2л + s - 2) со<5)! 1


§ 5.2]	ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ				99
5.2.2.	Рекуррентное	соотношение		для	многочленов
Р	Для многочленов Рhs)		можно получить рекур
рентную формулу, связывающую три многочлена P„Li
P (ns)^yJ,	подо®но Т0МУ>		как эт0 Делается для
обычных	ортогональных	многочленов.		Возьмем произведе

ние — PnV -M ; оно является многочленом степени я 4-1

Р\ р Г

от 1/р и может быть представлено как линейная комби

нация многочленов Ро° (j^j, p iS){j)> •••> P"+l{ j ) :

i Pi"(j)=■2	c-‘Pi“(?)•	<5-2-3>
fc =	0

Коэффициенты этого разложения можно определить по формуле

			8+ to
	0Л=		- ' Т + ,„ -------------------------------,					(5.2.4)
			55	\	[ '’I" ( ? ) ] ' *
				е — /со
из которой видно, что если					£ < n — 1,		то	—
многочлен степени ниже я и по условию							(5.1.7) интеграл
в числителе		(5.2.4)		равен нулю.		Таким	образом,	в соот
ношении	(5.2.3)		могут быть		отличными		от нуля	только
Сп,п-1 »Сши Сп, п+1»
		+ cmP? [ j) + cn,M P^+i ( 1 ) .						(5.2.5)
Переменную		1/р	обозначим х		и соотношение (5.2.5) пере
пишем в	виде
	Р ^\Д х) =(anx + bn) P f (x) + cnPn.i (х).							(5.2.6)
Так как нам известно явное					выражение Pjf (х),			коэффи
циенты	а„,	Ьп,	сп	определяются		просто. Приравнивая

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2310 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ