книги из ГПНТБ / Крутецкий, И. В. Физика твердого тела учеб. пособие

вероятность заполнения которого равна половине. Сделанный вы­ вод легко пояснить, если учесть, что при комнатной температуре,

когда Т ^ 300°, величина кТ ----- 1,38-К Г 16 300~0,03эв. Тогда уже смещение вверх от уровня р на величину (2 — 3) кТ приводит для / из 2.3.1) к значению

< (0 ,1 2 -0 ,0 5 ) « - i -

1+ е

а такое же смещение вниз от уровня р дает

1+ е -(2-3) < ( 0 ,9 —0,95) ~ 1.

Рассмотренные выше изменения функции распределения элек­ тронов по энергиям при различных температурах можно пояснить кривыми, показанными на рис. 14. График, соответствующий абсо­ лютному нулю температуры, действительно показывает, что все энергетические уровни ниже р заполнены электронами, в то время как ни один энергетический уровень, лежащий выше р, не занят электронами. При повышении температуры (кривые для 7 \ и Т 2) увеличивается вероятность нахождения энергетического уровня, занятого электронами выше р (нижние ветви кривых), причем од­ новременно увеличивается вероятность нахождения энергетиче­ ского уровня, не занятого электронами (или занятого дырками), ниже р,— этому соответствуют верхние ветви кривых.

Из симметрии кривых рис. 14, соответствующих Т г и Т 2, отно­ сительно ординаты Е р и точки / = — следует, что вероятность

нахождения электрона на энергетическом уровне, расположенном на величину АЕ выше р, равна вероятности нахождения дырки на уровне, расположенном на величину АЕ ниже р. Последнее свой­ ство функции / позволяет определять в полупроводниках положе­ ние уровня р, т. е. уровня Ферми. Действительно, если в чистых полупроводниках число свободных электронов и дырок одинаково, причем электроны находятся внизу зоны проводимости, а дырки вверху валентной зоны, то уровень Ферми должен быть располо­ жен посередине промежутка между ними, т. е. посередине запре­ щенной зоны (рис. 15, а). По этой же причине в полупроводнике, в котором количество свободных электронов превышает количе­ ство дырок, уровень Ферми лежит в запрещенной зоне ближе к зоне проводимости. Наоборот, в полупроводнике с преимущест­ венно дырочной проводимостью уровень Ферми лежит в запрещен­ ной зоне ближе к заполненной или валентной зоне. Необходимо заметить, что процесс образования запирающего слоя при контакте полупроводника с металлом или при контакте двух полупроводни­ ков может быть легче понят с учетом рассмотрения уровня Ферми.

60

Из свойств уровня Ферми вытекает также, что у металлов, всегда имеющих большое количество свободных электронов, он ле­ жит в зоне проводимости выше ее дна (рис. 15, б). При этом в чистых полупроводниках уровень р. лежит примерно посередине запрещен­

Необходимо отметить, что поскольку при Т ^>0 функция распре­ деления f электронов при любом значении Е отлична от нуля, по­ стольку в верхней почти свободной зоне всегда будет иметься не­ которое количество свободных электронов, а в нижней валентной зоне некоторое (в чистом полупроводнике такое же) количество не­ занятых уровней или дырок в сплошной массе электронов.

Учитывая ранее изложенное и считая, что уровень р лежит точно посередине запрещенной зоны, можно выражение для вероятности заполнения электроном уровня вблизи нижнего края зоны прово­ димости записать в виде:

иЕ—|Л

1+ е Т Г ” 1+ е (Х + —В

(2.3.3)

g

„2ftГ

Аналогично этому вероятность того, что уровень вблизи верх­ него края валентной зоны свободен или что на нем находится дырка, будет

1+ еШ

Из выражений (2.3.3) и (2.3.4) видно, что эти вероятности резко падают при удалении от краев зон.

Как уже говорилось в п. 2.3.1, у большинства полупроводников запрещенная зона порядка одного или нескольких электронвольт.

Тогда при комнатной температуре энергия kT = : 0,03 эв ~ — эв,

На основании (2.3.5) можно сделать вывод, что при нормальных

61

условиях электроны вблизи нижнего края зоны проводимости и дырки вблизи верхнего края валентной зоны подчиняются класси­ ческому распределению Максвелла—Больцмана.

Если же ширина запрещенной зоны очень велика, как это имеет место в диэлектриках, то вероятности (2.3.5) будут ничтожно малы.

Лопупроводник

Рис. 15

В этом случае практически не будет свободных электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне.

§2.4. ДЕФЕКТЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ

ИЛОКАЛЬНЫЕ УРОВНИ. СОБСТВЕННАЯ И ПРИМЕСНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ ПОЛУПРОВОДНИКОВ

2.4.1.ДЕФЕКТЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ

Впредыдущих параграфах было рассмотрено твердое кристал­ лическое тело с идеальной решеткой. Однако в реальных кристал­ лических телах такой идеальной решетки практически не наблю­ дается.

Обычно в расположении атомов твердого кристаллического тела различают ближний и дальний порядок. Ближний порядок в кри­ сталле определяется структурой ячейки решетки или расположе­ нием вокруг данного атома его ближайших соседей. Необходимо заметить, что ближний порядок определяет структуру энергетиче­ ских уровней и ширину запрещенной зоны. На расстояниях, боль­ ших по сравнению с постоянной решетки, отступления от правиль­ ности кристалла накапливаются и могут приводить к образованию ячеек другой ориентации. Дальний порядок предполагает'сохране­

ние периодичности на расстояниях, значительных по сравнению с постоянной решетки. Исследования показывают, что дальний по­ рядок сохраняется на расстояниях, не больших нескольких сотен атомных расстояний.

Тепловое движение в твердом1теле хотя и смещает атомы, но не нарушает дальнего порядка. Лишь плавление твердого тела и пе­ реход его в жидкость приводит к нарушению дальнего порядка, причем ближний порядок сохраняется и в образующейся жидкости.

Рассмотрим теперь кристаллические решетки с плавными нару­

62

шениями, хотя реальные кристаллы часто имеют резкие наруше­ ния. Это оправдывается тем, что физические последствия нарушений в кристалле будут более наглядными и понятными, если такие на­ рушения считать плавными.

Различают три типа нарушений (дефектов) в кристаллической решетке: пустой узел, атом в междоузлии (свой или чужой), атом примеси. Нарушение типа «атом примеси» соответствует тому, что атом другого вещества находится в данном кристаллическом теле, как в твердом растворе. При этом атомы примеси могут распола­ гаться среди атомов кристалла с сохранением периодичности (на­ пример, на месте атомов решетки) или статистически. При всех ука­ занных нарушениях происходит резкое изменение ближнего порядка. Здесь указаны лишь элементарные дефекты в кристалли­ ческой решетке, но могут быть и агрегаты, которые мы здесь не будем рассматривать.

Исторически раньше всего были изучены атомы примеси в ре­ шетках. Поэтому укоренилось название «атом примеси» для всех трех типов дефектов.

Исследования показывают, что при наличии примесных атомов в кристаллическом полупроводнике, кроме энергетических зон ос­ новной решетки, появляются отдельные уровни (примесные уровни), соответствующие атомам примеси. Это объясняется тем, что волно­ вая функция для электронов примесного атома не размазана по всему кристаллу, как блоховская волновая функция, а экспонен­ циально убывает при удалении от примесного атома. Такие атомы примеси аналогичны изолированным атомам, для электронов ко­ торых существуют отдельные энергетические уровни. Поэтому от­ дельные примесные уровни часто еще называют локальными уров­ нями.

Наиболее существенное значение примесные уровни имеют в том случае, когда они попадают в запрещенную зону. Примесные уровни в нормальном состоянии кристалла (Т = 0) могут быть заполнены или не заполнены электронами. В связи с этим различают два вида примесных уровней: донорные и акцепторные. Донорными уров­ нями называют такие примесные уровни, которые в нормальном состоянии заполнены или заняты электронами. Если же примесные уровни в нормальном состоянии не заполнены электронами, то та­ кие уровни называются акцепторными. Особую роль играют эти уровни в том случае, когда донорный уровень находится в запре­ щенной зоне вблизи нижнего края зоны проводимости, а акцептор­ ный уровень — вблизи верхнего края валентной зоны.

Из определения донорных и акцепторных уровней следует, что первые могут отдавать электроны, а вторые — их получать.

Рассмотрим, как же возникают донорные и акцепторные при­ месные уровни. В некоторых случаях донорные уровни могут воз­ никать за счет атомов металла, которые легко отдают электроны; например, в закиси меди (Си20) атомы меди, по предположению, являются донорами. Наоборот, акцепторами могут быть атомы

63

таких элементов, которые обладают окислительной способностью захватывать один или несколько электронов и образовывать замкнутую электронную оболочку. Сюда, например, можно отнести галогены (Cl, F и др.), которые стремятся захватить один электрон и образовать замкнутую оболочку. Приведенные доводы, вообще говоря, относятся к случаю расположения примесных ато­ мов в междоузлии.

Если же атом примеси заменяет в узле решетки атом исходного вещества, что характерно для решеток типа алмаза, в которых кристаллизуется германий и кремний, то этот атом примеси также должен образовать валентные связи с соседями, как и исходный

акцептором. Действительно, у каждого атома сурьмы не занятым в связях остается один избыточный электрон, а у атома индия для заполнения валентной связи будет недоставать одного электрона.

Внормальном состоянии избыточные электроны не будут отры­ ваться от атомов сурьмы и валентные связи в случае атомов индия остаются незаполненными. Следовательно, примесные уровни, со­ ответствующие атомам сурьмы, будут донорными уровнями, а уровни, соответствующие атомам индия, будут акцепторными.

Однако, уже при обычных температурах вследствие теплового движения избыточные электроны сурьмы отрываются от атомов сурьмы и становятся свободными (переходят в зону проводимости).

Врезультате этого за счет примесей типа сурьмы возникает в гер­ мании преимущественно электронная проводимость.

Аналогично этому при обычных температурах электроны валент­ ных связей, участвуя в тепловом движении, будут заполнять не­ занятые связи у атомов индия, т. е. появится возможность движе­ ния дырок в валентной зоне. Поэтому за счет примесей типа индия возникает в германии преимущественно дырочная проводимость.

Из рассмотренного выше следует, что при замене атомом примеси атома исходного вещества в узле решетки неметаллы являются до­ норами, а металлы — акцепторами. В самом деле, на примере гер­ мания мы видели, что неметалл сурьма являлся донором, а металл индий — акцептором, т. е.

неметалл Sb в Ge есть донор, металл In в Ge есть акцептор.

64

В противоположность этому для атомов примеси в междоузлии мы имели:

металл Си является донором, неметалл С1 является акцептором.

В качестве третьего примера локального уровня можно указать так называемый /•'-центр, или пустой узел. Такой /'-центр может принимать и удерживать электроны, т. е. является акцептором.

2.4.2. СОБСТВЕННАЯ И ПРИМЕСНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ ПОЛУПРОВОДНИКОВ

Как уже указывалось в § 2.2, собственная проводимость полу­ проводников с достаточно узкой запрещенной зоной связана с по­ явлением свободных электронов и дырок в одинаковом количестве. Физически очевидно, что собственная проводимость полупроводни­ ков, появляющаяся при температуре Т^> 0, должна увеличиваться с уменьшением ширины запрещенной зоны £ g и с увеличением тем­

и концентрация дырок р изменяются по экспоненциальному за­ кону1:

а т п — эффективная масса электрона.

Из (2.4.1) и (2.4.2) видно, что предэкспоненциальный множитель также зависит от температуры. Однако, так как Eg > kT, то в (2.4.1) основную температурную зависимость определяет экспоненциаль­ ный множитель. Поэтому вместо (2.4.1) практически можно поль­ зоваться соотношением

65

Соответственно этому электропроводность полупроводников, пропорциональная концентрации носителей тока, с хорошим при­ ближением, определяется формулой

По порядку величины при обычных температурах концентрация

приборов используется не собственная, а примесная проводимость. Поэтому остановимся более подробно на вопросе возникновения примесной проводимости. Выше указывалось, что, вводя в полу­ проводник примеси, можно получить в нем проводимость преиму­ щественно данного типа: электронную или дырочную. При этом, так как атомы примеси могут быть донорами или акцепторами, со­ ответствующие примеси были названы донорными и акцепторными. Полупроводники с донорными примесями, имеющие преимущест­ венно электронную проводимость, получили название электронных полупроводников или полупроводников «-типа; полупроводники с акцепторными примесями, имеющие преимущественно дырочную проводимость, называются дырочными или полупроводниками р-типа.

Исходя из определения физического смысла уровня Ферми (см. § 2.3), следует, что при введении в полупроводник примесей и по­ явлении в запрещенной зоне дискретных примесных или локальных уровней, положение уровня Ферми (уровня р) должно измениться. В частности, в случае донорных примесей уровень Ферми должен лежать выше донорного уровня, а в случае акцепторных примесей— ниже акцепторного уровня. Учитывая это обстоятельство и обозна­ чая электроны темными шариками, а дырки светлыми, образование примесной проводимости можно пояснить наглядно рис. 17, где а — полупроводник «-типа; б — полупроводник р-типа.

Проанализируем процессы, изображенные на рисунке. Поясним вначале, почему на рис. 17, а на одном донорном уровне показано несколько электронов, а на рис. 17, б на акцепторном уровне не­ сколько дырок. В рассмотренном выше примере с примесями сурьмы в германии мы видели, что в нормальном состоянии (Т ---= 0) каждому примесному атому соответствует один донорный уровень с одним электроном. Очевидно, что таких донорных уровней и, сле­ довательно, электронов может быть столько, сколько имеется в гер­ мании атомов сурьмы. Поэтому на рис. 17, а условно указано, что на одном донорном уровне находится несколько электронов, вер­ нее — очень много, так как очень много атомов примеси. Точно так же пустые в нормальном состоянии акцепторные уровни соот­

66

ветствуют дыркам, которые на рис. 17, б показаны размещенными на одном акцепторном уровне.

Из левой половины рис. 17, а видно, что в нормальном состоя­ нии, когда Т = 0, донорные уровни заняты электронами, свобод­ ных электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне нет, а следовательно, проводимость будет равна нулю. Если же 7 > 0 (см. правую часть рис. 17, а), то вследствие малого расстояния по энергии между донорным уровнем и нижним краем зоны проводи­ мости часть электронов (а возможно, и все) перейдет с примесных донорных уровней в зону проводимости, причем донорные уровни освободятся, и это будет соответствовать появлению на этих уров­ нях дырок. Можно утверждать, что в этом случае полупроводник будет обладать преимущественно электронной проводимостью.1

Р и с . 17

Действительно, электроны в зоне проводимости могут двигаться как свободные, а дырки на донорных уровнях окажутся неподвиж­ ными и не будут участвовать в проводимости. Последнее объяс­ няется тем, что дырки могут двигаться и участвовать в проводимости лишь в валентной зоне. Однако для перехода дырок с акцепторных уровней в валентную зону необходимо, чтобы электроны из валент­ ной зоны перешли на акцепторные уровни, что затруднено вследст­ вие большого расстояния по энергии между верхним краем валент­

акцепторный уровень занят дырками, электронов в зоне проводи­ мости и дырок в валентной зоне нет, так что проводимость полупро­ водника равна нулю. При увеличении температуры, т. е. когда Т ^>0 (см. правую часть рис. 17, б), вследствие малого расстояния по энергии между валентной зоной и примесным уровнем электроны из валентной зоны частично или полностью перейдут на примесный уровень, а дырки соответственно перейдут в валентную зону. В ре­

67

зультате этого у полупроводника появляется преимущественно дырочная проводимость. Последнее опять-таки объясняется тем, что дырки в валентной зоне могут участвовать в проводимости, а электроны на акцепторном уровне будут неподвижными, так как двигаться они могли бы лишь в зоне проводимости, но до нее слиш­ ком большое расстояние по энергии.

Как правило, уже при обычных температурах все примесные уровни полностью будут ионизированы, т. е. с этих уровней в слу­ чае донорных примесей все электроны переходят в зону проводи­ мости, а в случае акцепторных примесей все дырки опускаются в ва­ лентную зону. Поэтому считается, что концентрация носителей тока в случае примесной проводимости практически равна кон­ центрации атомов примеси. По порядку величины, например, кон­ центрация атомов примеси в германии, а следовательно, и концен­ трация носителей тока будет

ц ^ р ~ ( 1 0 16ч-1018) — .

см3

Следовательно, примесная проводимость при обычных температу­ рах на несколько порядков выше собственной проводимости.

§2.5. ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА ЭЛЕКТРОНА

ВКРИСТАЛЛЕ И ЕГО ПОДВИЖНОСТЬ

В§ 2.1. мы видели, что наличие периодического поля решетки кристаллического твердого тела не препятствует ускорению элек­ трона под влиянием внешнего электрического поля, так как элек­

трон в этом случае можно считать свободным, но обладающим эф­ фективной массой. Поэтому, казалось бы, что в идеальной кристал­ лической решетке электроны могли бы беспрепятственно ускоряться и само тело должно было бы быть сверхпроводящим. Однако на практике этого не наблюдается. Известно, что даже металлы имеют определенное, отличное от нуля сопротивление. Это сопротивление обусловливается рассеянием электронов на отклонениях от перио­ дической структуры решетки. Сталкиваясь с такими нарушениями периодичности решетки, электрон отдает ей часть энергии, что при­ водит к нагреванию решетки, т. е. к нагреванию кристалла, и в ча­ стности металла.

За счет чего же возникают нарушения периодичности решетки? Хотя дефекты в кристаллической решетке частично были описаны нами в § 2.4, однако необходимо рассмотреть этот вопрос более под­ робно и в несколько другой плоскости, причем целесообразно оста­ новиться как на полупроводниках, так и на металлах.

Во-первых, строгая периодичность решетки кристалла нару­ шается вследствие тепловых колебаний решетки. При тепловом дви­ жении атомов решетки они отклоняются от своего нормального расположения в узлах, и строгая периодичность решетки нару­ шается. Тепловое движение атомов решетки, приводящее к тепло­

68

вым колебаниям решетки в целом, можно рассматривать как сово­ купность упругих волн. Это будут звуковые волны с очень малой длиной волны, которые в теории твердого тела принято называть фононами, понимая под этим кванты звука по аналогии с квантами света— фотонами. Такие колебания являются основной причиной рассеяния электронов или причиной, определяющей сопротивление металла.

Во-вторых, периодичность решетки нарушается за счет дефек­ тов решетки, и в частности, за счет атомов примеси, рассеивающих электроны.

В связи с рассеянием электронов вводится, как известно, поня­ тие о длине свободного пробега электрона от одного столкновения до другого, причем считается, что на этой длине (участке) в среднем, электрон движется прямолинейно. Соответственно можно говорить и о времени свободного пробега электрона.

Поскольку основной причиной рассеяния электронов в кристал­ лах являются тепловые колебания решетки, постольку с ростом температуры их проводимость должна убывать, что и наблюдается

уметаллов.

Врезультате столкновений электрона с колебаниями решетки (с фононами) он приобретает определенную среднюю скорость теп­ лового движения итепл по величине, отличную от нуля. Разу­ меется, что в силу хаотичности теплового движения электронов их средняя скорость теплового движения по направлению равна нулю.

Под влиянием внешнего электрического поля § электрон приоб­ ретает определенную среднюю скорость направленного движения v. При условии,' что v < итепл> выполняемом при не слишком силь­

циональной напряженности внешнего электрического поля. Пере­ ходя в (2.5.1) к равенству, получим

Вформулах (2.5.2) и (2.5.2!) коэффициент пропорциональности

иназывается подвижностью электрона. Из(2.5.2)следует, что подвижность электрона численно равна средней скорости его на­ правленного движения, приобретаемой под влиянием единичного электрического поля. Точно так же можно говорить о подвижности дырок, которая обычно обозначается ир в отличие от подвижности электронов, обозначаемой ип. Подвижность принято измерять в

69'