книги из ГПНТБ / Крутецкий, И. В. Физика твердого тела учеб. пособие

С учетом (1.2.16) и (1.2.20) вариация от (1.2.19) запишется так:

bN = 6 2 N t= N%8wt = 0, i i

т. е.

i

Аналогично этому вариация (1.2.18) на основании (1.2.16) будет равна

6£ = 6 2 E tNwt = N 2 Efiwt = 0

или

Для записи вариации (1.2.17) преобразуем In WT с учетом фор­ мулы Стирлинга для логарифма от факториала больших чисел:

Тогда на основании (1.2.15), (1.2.16), (1.2.24) и (1.2.21) получим

ц

откуда выражение (1.2.17) согласно (1.2.24) и (1.2.22) примет вид:

Итак, для определения wt необходимо рассмотреть совместно уравнения (1.2.22), (1.2.23) и (1.2.25). Воспользуемся здесь мето­ дом неопределенных множителей Лагранжа и умножим (1.2.23) на

Последнее уравнение равно нулю, если круглая скобка (коэффи­ циент) перед вариацией равна нулю, поэтому имеем

1 Равенство множителя 0 произведению постоянной Больцмана k на абсолютную температуру Т устанавливается в статистике путем применения

(1.2.27) к газам.

30

то из (1.2.26) получим функцию распределения а;,-:

Выражение (1.2.27) определяет вероятность того, что частица, например электрон, имеет энергию E h т. е. оно дает функцию рас­ пределения электронов по энергиям. Если, наконец, воспользоваться (1.2.21), то можно определить коэффициент из выражения (1.2.27):

i

Следовательно, для определения коэффициента в функции рас­ пределения (1.2.27) необходимо просуммировать экспоненциальную функцию по всем энергиям. Полученная функция канонического распределения (1.2.27) и является определяющей для классической статистики Максвелла—Больцмана.

Согласно (1.2.27), число частиц, обладающих энергией £), будет

Если частицы считать не взаимодействующими друг с другом и система не подвержена воздействию внешнего поля, то потенциаль­ ная энергия Vt = 0 и энергия частицы будет

В выражении (1.2.27) индекс i, соответствующий нумерации частиц по состояниям, выбран произвольно, поэтому его можно в дальнейшем опустить и вместо (1.2.27) писать

где f есть более часто встречающееся обозначение функции рас­ пределения w.

31

Распределение частиц по импульсам и скоростям. Коэффициент А, входящий в функцию статистического распределения, в случае распределения по импульсам может быть определен следующим образом. Вместо (1.2.27) при непрерывном распределении энергии или импульса среди частиц можно записать выражение для числа частиц dN, обладающих импульсом, лежащим в интервале от р до р + dp [см. (1.2.29) ]. Так как вероятность того, что частица об­ ладает таким импульсом, должна быть пропорциональна элементу объема dx в пространстве импульсов, то число частиц dN запишется так:

^Очевидно, что элемент объема dx при выборе в пространстве им­ пульсов сферической системы координат будет равен

dx = p2sin QdQdydp,

а интеграл от (1.2.31) по всему пространству импульсов может быть записан в виде:

Вычисляя этй интегралы1, для коэффициента А' получим выражение

N____

L (2nmkTf1* ’

причем интегралы по переменным 0 и <р дают вместе множитель 4л, так что объем dx в пространстве импульсов можно было бы сразу писать в виде:

dx = 4np2dp.

Подставляя значение А' в выражение (1.2.31), определяющее распределение частиц по импульсам, можно записать окончательно:

32

По аналогии с (1.2.31!) распределение частиц по скоростям (ско­ рости частиц лежат в интервале от у до и + dv) будет

с (1.2.32) число частиц, обладающих энергией, лежащей в интервале от £ до £ + dE, будет

33

и вместо множителя при экспоненте в (1.2.32) получим

Распределение (1.2.33) частиц по энергиям носит название рас­ пределения Максвелла—Больцмана, причем распределения (1.2.31!) — (1.2.33) являются его разновидностями.

Необходимо заметить, что в распределениях (1.2.31!), (1.2.32) и (1.2.33) плотность вероятности нахождения частицы в единице объема фазового пространства и есть функция распределения, ана­ логичная (1.2.27!) и обозначаемая f. Под фазовым пространством, вообще говоря, понимается шестимерное пространство импульсов и координат, так что элемент объема в таком пространстве будет

dx — dpxdpydpzdxdydz.

В таком пространстве состояние частицы соответствует точке. В ча­ стном случае независимости распределения от координат

dx = dpxdpydpz или dx == 4np2dp. _

Так, например, функция распределения частиц по импульсам на основании (1.2.312) запишется в виде:

dx (2nmkSf^

Рассмотренное статистическое распределение Максвелла—Больц­ мана применялось ранее для электронов в металлах w полупровод­ никах, при этом для металлов оно являлось основой классической электронной теории. Однако, как было показано, для электронов в кристаллических твердых телах в общем случае справедливой является квантовая статистика Ферми—Дирака.

1.2.3. СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФЕРМИ— ДИРАКА

Естественно, что при переходе к квантовой статистике, основы­ вающейся на квантовой механике, необходимо учитывать все осо­ бенности последней.

Во-первых, необходимо учитывать соотношение неопределен­ ности Гайзенберга при рассмотрении элемента объема фазового пространства. Как известно, по классической статистике и класси­ ческой механике, движение частицы однозначно определено, если заданы ее координаты и три составляющих импульса. Поэтому элемент объема такого фазового пространства

dx = dxdydzdpxdpydpz,

с учетом соотношения Гейзенберга, не может быть сколь угодно малым, а должен удовлетворять неравенству

dxdydzdpxdpydpz > /г3.

34

Следовательно, удовлетворяя соотношению неопределенности, мы можем разбить фазовое пространство на такие элементарные ячейки,1* которые «по размеру» будут не меньше, чем /г3. Попадая в такую элементарную ячейку фазового пространства, электрон будет обладать вполне определенным состоянием. Поэтому число ячеек в таком шестимерном пространстве, а значит, и число возмож­ ных состояний электрона равно фазовому объему, деленному на /г3, т. е. число возможных состояний будет равно

dxdydzdpxdpydpz

т"

Во-вторых, необходимо учитывать принцип Паули, а это при­ водит к тому, что в каждой ячейке фазового пространства может быть лишь два электрона с различными спинами.

Если перейти от шестимерного фазового пространства к трехмер­ ному пространству импульсов, то элемент объема запишется в виде:

dxdydydpxdpydpz — Vdpxdpydpz = hs,

откуда

dpxdpydpz= ’у ,

где V — объем соответствующей системы или объем кристалла. Следовательно, в трехмерном пространстве импульсов минималь­ ный размер элементарной ячейки будет hW .

В-третьих, в квантовой статистике Ферми—Дирака все частицы (электроны) считаются неразличимыми и перемена их местами не приводит к изменению состояния всей системы частиц. В классиче­ ской же статистике, статистике Максвелла—Больцмана, считалось, что перемена мест частиц приводит к изменению состояния системы.

Итак, к электронам в металлах и полупроводниках применима квантовая статистика, исходящая из необходимости квантовомеха­ нического описания электронов. Найдем функцию распределения электронов по энергиям в статистике Ферми—Дирака.

Мы видели в § 1.1, что согласно квантовой механике электроны могут размещаться лишь на вполне определенных энергетических уровнях. Поэтому в квантовой статистике и нужно рассматривать распределение электронов по этим дозволенным уровням.

Предположим, что система состоит из электронов, которые мо­ гут находиться на различных энергетических уровнях, так что на t-м уровне могут разместиться gt электронов, обладающих энергией Е (. Если п£ есть число электронов, фактически находящихся на /-м уровне, то полная энергия системы запишется в виде:

1 В отличие от этого, по классической статистике, такие ячейки могли быть сколь угодно малыми.

35

В нашу задачу входит отыскание отношения — , т. е. отношения

Si

числа электронов, обладающих энергией E h к полному возможному числу состояний с этой энергией. Такое отношение и называется функцией распределения Ферми-^Дирака.

Обозначим через wt вероятность того, что в i-м состоянии нахо­ дятся nt электронов. Очевидно, что wt будет пропорциональна числу способов, которыми можно выбрать лг занятых мест из общего числа g t свободных мест, т. е. пропорциональна числу сочетаний из g £ элементов по щ:

или, вводя коэффициент пропорциональности ah будем иметь

Для системы в термостате, как мы видели в пункте 1.2.1, в со­ стоянии равновесия свободная энергия F минимальна, т. е. вариа­ ция от свободной энергии должна быть равной нулю:

6F = б (£ — TS) = 0.

энтропия системы в случае рассматриваемого распределения будет равна

i

так как данное макроскопическое состояние системы осуществляется

через W = Пшг микроскопических состояний. При этом в силу не- i

зависимости событий заполнения электронами различных уровней вероятность W распределения электронов по всем состояниям равна произведению вероятностей wt.

Тогда на основании (1.2.34), (1.2.35) и (1.2.36) условие минимума

36

Поэтому минимум свободной энергии, определяемый (1.2.35), не­ обходимо исследовать при дополнительном условии бN = 0. Ис­ пользуя, как и в пункте 1.2.2, метод неопределенных множителей Лагранжа, умножим вариацию 8JV на и сложим с (1.2.37). При этом преобразование такой суммы с помощью формулы Стирлинга [см. (1.2.24) ] с учетом переменной щ приводит к выражению

Итак, функция f t распределения Ферми—Дирака определяет вероятность того, что электрон обладает энергией Е { или что со­ стояние с энергией E t занято электроном.

Опуская в дальнейшем индекс i, введенный произвольно, вместо (1.2.38) окончательно запишем функцию распределения Ферми— Дирака в виде:

Графическое изображение функции (1.2.40) при различных темпера­ турах будет подробно рассмотрено в § 5.1.

Разумеется, что если функция / определяет вероятность запол­ нения энергетического уровня электроном, то вероятность того, что уровень будет пустой, или, что то же, он будет, заполнен дыркой,

равна (1—/).

В заключение запишем распределение частиц по импульсам и по энергиям в квантовой статистике.

Как мы видели выше, число ячеек Z в трехмерном пространстве импульсов будет равно

Z = d x: dpxdpydpz.

Соответственно число ячеек г в единице объема кристалла (системы) запишется в виде:

Тогда число dn электронов в единице объема, импульсы которых лежат в интервале от рх до рх + йрх\ ру до ру + dpy\ р2

37

до рг + dpz, с учетом (1.2.40), (1.2.41) и принципа Паули будет определяться выражением

От (1.2.42) легко перейти к распределению электронов по энер­ гиям. Для этого в пространстве импульсов рассмотрим сфериче­ ский слой с объемом dx = 4np2dp. Число ячеек в таком простран­ стве импульсов по аналогии с предыдущим будет

2г 4 np2dpV

Соответственно число ячеек в единице объема кристалла запишется в виде:

Отсюда число электронов в единице объема, энергии которых лежат в интервале от Е до Е + dE, с учетом (1.2.40), (1.2.44) и принципа Паули определится выражением

е kT + 1

\

Г Л А В А 2

ПОЛУПРОВОДНИКИ И ЗОННАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

§ 2.1. ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ КРИСТАЛЛА

2.1.1. ОБРАЗОВАНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗОН (КАЧЕСТВЕННОЕ РАССМОТРЕНИЕ)

Энергетические уровни для электрона в изолированном атоме, как уже говорилось в § 1.1, будут дискретными. Как же изменится характер распределения энергетических уровней для электрона в кристалле твердого тела, состоящего из большого числа взаимо­ действующих между собой одинаковых атомов? К этому вопросу можно подойти чисто качественно, а также на основании теории.

С качественной стороны оправданным будет такое рассуждение. Если электрон является связанным в изолированном атоме, то энер­ гия его квантуется, а соответствующая ему волновая функция бы­ стро затухает при удалении от атома. Поэтому наиболее вероятным будет нахождение электрона вблизи ядра атома на некотором рас­ стоянии от него, а энергетические уровни для электрона будут раз­ дельными. Если же имеется несколько взаимодействующих атомов, то вследствие такого возмущающего действия (возмущения) энерге­ тические уровни для электрона расщепляются на ряд подуровней.

Пусть для простоты имеется два одинаковых атома с одинако­ выми энергетическими уровнями для электрона. В этом случае энергия электрона будет одинаковой в обоих атомах, но волновая функция будет различной, так как пространственно атомы разде­ лены. Следовательно, в данном примере имеет место двухкратное вырождение, если даже в самих атомах уровни были невырожден­ ными. При сближении этих двух атомов (пусть, например, обра­ зуется молекула водорода) они будут возмущать друг друга, в ре­ зультате чего вырожденные уровни расщепляются на два' под-, уровня.

Когда же атомы объединяются в более крупные агрегаты, в ча­ стности в кристалл, состоящий из G атомов, то наблюдается G- кратное вырождение энергетических уровней, и каждый уровень, бывший в изолированном атоме невырожденным, распадается на G подуровней (рис. 5). Поскольку число G атомов в кристалле больше

39