книги из ГПНТБ / Крутецкий, И. В. Физика твердого тела учеб. пособие

лению по скоростям необходимо коэффициент в (5.2.1) умножить

В выражении (5.2.2) предполагается, вообще говоря, что энергия отсчитывается от уровня Ферми. Однако, как мы условились, в §5.1 в положительном направлении энергия свободного электрона отсчитывается вверх от дна зоны проводимости, а величина р, от­ считывается обычно вниз от дна зоны проводимости (до уровня

Ферми).' Поэтому на основании указан­ ного условия в выражении (5.2.2) нужно поставить перед р знак минус, так что окончательно будем иметь

Используя распределение (5.2.3) электронов по скоростям, определим поток быстрых свободных электронов, выходящих за пре­

делы поверхности полупроводника в вакуум. Очевидно, что за пре­ делы поверхности полупроводника (рис. 59) смогут выйти лишь те

Следовательно, полупроводник покинут те электроны, скорость которых вдоль оси Ох удовлетворяет условию (5.2.4), а составляю­ щие скорости Vy и vz могут быть любыми. На основании сказанного и с учетом (5.2.4) плотность потока электронов в направлении оси Ох, равная концентрации электронов (5.2.3), умноженной на со­ ставляющую скорости vx, запишется так:

150

В § 1.2 при получении (1.2.32J) мы видели, что для параметра а

+°°

J e~ax'dx =

—ЭО поэтому второй и третий интеграл в (5.2.5) легко определяются.

2Ф„

После указанных/ вычислений выражение (5.2.5) для плотности потока электронов из полупроводника примет вид:

В выражении (5.2.6) в показатель степени экспоненты входит величина ц + Ф„, которая (см. рис. 58) равна термодинамической работе выхода электрона из полупроводника Wn, т. е. работе вы­ хода, отсчитываемой от уровня химического потенциала. Поэтому окончательно (5.2.6) перепишется так:

где е — заряд электрона.

На основании (5.2.7) и (5.2.8) можно заключить, что при термо­ эмиссии плотность потока и плотность тока электронов из полупро­ водника зависят от термодинамической работы выхода. При этом с увеличением Wn плотность термотока уменьшается, а с повыше­ нием температуры Т увеличивается.

Из (5.2.8) также следует, что, несмотря на множитель Т 2 перед экспонентой, плотность термоэлектрического тока растет с темпе­ ратурой практически по экспоненциальному закону.

В заключение этого вопроса необходимо заметить, что по таким же формулам, как (5.2.7) и (5.2.8), определяются плотность потока и плотность тока электронов из металла при термоэлектронной эмиссии.

151

5.2.2. КОНТАКТНАЯ РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ

Опыт показывает, что при контакте двух различных полупровод­ ников или полупроводника и металла между ними возникает раз­ ность потенциалов, получившая название контактной. Рассмотрим более подробно возникновение разности потенциалов на контакте

двух полупроводников.

Пусть имеем два различных полупроводника (рис. 60) с различ­ ными структурами энергетических зон и расположением уровней химического потенциала р. Вследствие различия в термодинамиче­ ских работах выхода ПРИ контакте этих полупроводни­ ков часть электронов из второго полупроводника перейдет в пер­ вый, у которого работа выхода больше. Последнее, в частности,

можно объяснить тем,- что электроны во втором полупроводнике находятся как бы в менее глубокой потенциальной яме, чем в пер­ вом полупроводнике, и при контакте полупроводников часть (рис. 61) электронов из второго полупроводника переходит в пер­ вый. В результате таких переходов электронов первый полупровод­ ник заряжается отрицательно, а второй положительно, так что ме­ жду ними возникает контактная разность потенциалов срк, опреде­ ляемая разностью работ выхода

где е — заряд электрона.

Однако рассмотренный нами подход к объяснению возникнове­ ния контактной разности потенциалов является самым элементар­ ным и не позволяет выяснить весьма важные детали этого вопроса. Поэтому вернемся вновь к рис. 60.

Так как из полупроводников имеет место эмиссия электронов в вакуум, то можно представить себе возможным для полупроводни­ ков обмен электронами через вакуум. Очевидно, что такой обмен становится заметным, если полупроводники сближать до контакта 1 (рис. 62).

1 Под контактом понимается такое сближение тел, при котором расстоя­ ние между ними будет порядка 10—7 см.

152

При контакте рассматриваемых полупроводников эмиссионный поток электронов, определяемый формулой (5.2.2), из второго по­ лупроводника в первый будет больше, чем поток из первого во вто­ рой, так как W2<iW v Следовательно, у первого полупроводника появляется избыток электронов, и он заряжается отрицательно, а у второго полупроводника образуется недостаток электронов, и он как бы получает положительный заряд.

При этом отрицательный и положительный объемные заряды образуются в приконтактной области полупроводников.

При контакте двух полупроводников, как мы видели в § 1.2, их уровни хими­ ческого потенциала выравниваются, что и

контактной разности потенциалов фк. Другими словами можно ска­

зависеть от этого заряда. Если считать, что в первом полу­ проводнике отрицательный объемный заряд сосредоточен в слое толщиной 1и а положительный объемный заряд во втором полупро­ воднике распределяется в слое толщиной /2, то вся контактная раз­ ность потенциалов срк падает на этих слоях. Тогда,5'считая ось Ох перпендикулярной к плоскости контакта, можно|положить, что в точке х контактный потенциал будет равен гр (х), а соответствую­ щая потенциальная энергия электрона [см. (5.2.10)] V (х) —

153

ных слоях произойдет искривление крйев энергетических зон в со­

уровня [х (рис. 63) связано с условием равновесия электронов в си­ стеме.

Итак, изгиб краев энергетических зон в приконтактной области определяется распределением в ней потенциала ср (х). Но из теории электромагнитного поля известно, что при заданной объемной плот­

в котором е есть диэлектрическая проницаемость материала (полу­ проводника). Поэтому определение направления изгиба краев энер­ гетических зон можно сделать с помощью уравнения (5.2.11). С этой целью уравнение (5.2.11), записанное для потенциала ф(х), необходимо переписать для энергии электрона V (х) = — еср (х), так, как на рис. 63 и всех последующих откладываются значения энергии. Тогда (5.2.11) примет видз

Решая уравнение (5.2.12), мы определяем зависимость V = V (х), которая на графике изобразится некоторой кривой. Но кривизна кривой V — V (х) определяется знаком второй производной

dW (х)

(5.2.13)

dx2

Определим вначале направление изгиба краев зон в первом по­ лупроводнике. Так как в приконтактном слое этого полупроводника р < 0 , то согласно (5.2.12) вторая производная (5.2.13) будет отри­ цательна. Следовательно, в слое 1г края энергетических зон должны изогнуться так, чтобы вогнутость была направлена вверх.

Во втором полупроводнике в приконтактном слое /2 объемная плотность заряда р£>0, т. е. на основании (5.2.12), вторая произ­ водная будет положительна. Поэтому в слое /2 второго полупро­

VX+ V 8= V K.

154

Необходимо выяснить, чем же определяется эффективная тол­ щина приконтактного слоя в полупроводниках. Предположим, что контакт плоский и его площадь равна S. Концентрации электронов в полупроводниках обозначим через пг и п2. Тогда полные объем­

где V°6 и V%6 — объемы, занятые зарядами Qi и Q2.

Из (5.2.14) видно, что при заданных заряде Q и площади кон­ такта S толщина слоя обратно пропорциональна концентрации электронов, т. е., например, при большей концентрации электро­ нов данный заряд будет создан в контактном слое меньшей толщины.

По условию задачи, отрицательный заряд в приконтактной области первого полупровод­ ника численно должен быть равен положитель­ ному заряду в приконтактном слое второго полупроводника. Поэтому, приравнивая заряды

Следовательно, эффективные толщины приконтактных слоев в по­ лупроводниках обратно пропорциональны концентрации элек­ тронов.

На рис. 63 показан случай контакта полупроводников с различ­ ными кристаллическими решетками. Если же решетки у полупро­ водников одинаковы, то изгибы зон в приконтактной области (рис. 64) проходят так, что края их смыкаются. Это, например, на­ блюдается при контакте германиевых полупроводников п- и р-типа.

Выше мы рассмотрели возникновение контактной разности по­ тенциалов при контакте двух полупроводников. То же самое имеет место в случае контакта металла с полупроводником. Этот вопрос будет подробно рассмотрен в § 5.4.

§ 5.3. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛУПРОВОДНИКОВ

В теории полупроводников, использующей ряд опытных вели­ чин, основным вопросом, имеющим практическое приложение, яв­ ляется вопрос о движении носителей тока через контакт. Вблизи такого контакта возникает объемный электрический заряд и появ­ ляется неоднородное электрическое поле, связанное с неравномер­ ным распределением концентрации носителей тока в приконтакт­ ной области; электрическое поле создается только объемными за­ рядами.

155

Из электродинамики известно, что распределение электрического поля под влиянием объемных зарядов находится с помощью уравне­ ния Пуассона. Из этого уравнения определяется распределение

скалярного потенциала ф, а затем поле <§ вычисляется через гра­

диент потенциала. Уравнение Пуассона для потенциала ф и связь

—^

поля S с потенциалом имеют вид:

которое является выражением закона сохранения электрического заряда в дифференциальной форме. Это уравнение позволяет свя­ зать между собой изменение со временем объемной плотности за­ ряда р и расходимость вектора плотности тока j.

В случае одного измерения уравнение (5.3.5) запишется в виде:

Однако уравнения (5.3.6) и (5.3.5) применительно к процессам в полупроводниках необходимо переписать в другом виде. Концен­ трация электронов п в одномерном случае является функцией од­ ной координаты и времени [п — п (х, t) ], поэтому можно записать:

В левой части (5.3.6!) производная показывает изменение кон­ центрации электронов со временем, а в правой части производная

156

определяет изменение плотности потока электронов на единице длины. Как мы видели в § 2.6, со временем концентрация электро­ нов изменяется не только за счет потока электронов через опреде­ ленное сечение, но также вследствие тепловой генерации и реком­ бинации пар [см. (2.6.15) и (2.6.20)]. Поэтому выражение (5.3.6!) в более полном виде перепишется так:

центрация; т — среднее время жизни носителей тока до их реком­ бинации, зависящее, как отмечено в § 2.6, от концентрации носи­ телей тока.

Уравнение (5.3.7) принято называть в теории полупроводников уравнением непрерывности.

Если рассматривается более общий пространственный случай, то

В § 2.6 мы видели, что при наличии внешнего электрического

—>

поля § и градиента концентрации необходимо рассматривать пол­ ный ток, состоящий из омического и диффузионного тока. В нашем случае полный электронный ток [см. (2.6.8) ] запишется так:

Уравнение (5.3.9) вместе с (5.3.1), (5.3.2) и (5.3.8!) является чет­ вертым основным уравнением теории.1

.. Приводя уравнение непрерывности и выражение для полного тока, мы рассмотрели лишь электроны, т. е. один вид носителей тока. Однако совершенно аналогичные уравнения можно записать

г Разумеется, что рассматриваемые здесь основные уравнения теории и их классификация не претендуют на полноту и обусловлены лишь потреб­ ностями дальнейшего изложения.

157

и для другого вида носителей тока — для дырок. Так, для дырок вместо (5.3.7) в одномерном случае будем иметь уравнение

где р о — равновесная концентрация дырок; /дыр — плотность по­ тока дырок; (р—р0) — избыточная концентрация дырок, а вели­ чины § и т имеют то же значение, что и в (5.3.7).

В трехмерном случае концентрация дырок р — р (х, у, z, t). Тогда с учетом соотношения связи плотности потока дырок с плот­ ностью дырочного тока (/ = е/дыр) уравнение непрерывности для дырок запишется так:

И Л И

Полный дырочный ток согласно (2.6.9) будет

Необходимо заметить, что для одномерного случая выражения

(5.3.9) и (5.3.12) запишутся в виде:

В заключение настоящего параграфа укажем, что при устано­ вившемся равновесном состоянии концентрации носителей тока не меняются со временем. Тогда для такого стационарного случая п и р не зависят от времени и, например, уравнения непрерывности (5.3.7) и (5.3.10) через плотности токов запишутся так:

158

§5.4. КОНТАКТ МЕТАЛЛА С ПОЛУПРОВОДНИКОМ

5.4.1.РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ КОНТАКТА

Исходя из определения, уровень химического потенциала в ме­ талле должен лежать выше дна зоны проводимости (рис. 65). Это и соответствует тому, что в металлах не существует разделения на валентную зону и зону проводимости. В них уровень рм просто разделяет заполненные энергетические уровни от незаполненных: вниз от рм все уровни заполнены, а вверх все свободны. В § 1.2 мы условились положительное значение р. откладывать для полупро­ водников вниз от дна зоны проводимости. Поэтому для металла (рис. 65) р будет иметь отрицательное значение. Из рис. 65 видно, что термодинамическая Wu и внешняя Фм работы выхода электрона

из металла связаны равенством

Рассмотрим теперь контакт металла с электронным полупровод­ ником (рис. 66), причем будем предполагать, что работа выхода электрона из полупроводника WU<:W M. Тогда обмен электронами

а в полупроводнике п-типа положительно (рис. 67). При этом уровни химического потенциала выравниваются, а края энергетических зон в полупроводнике изогнутся так, что в сторону горизонтальной оси будет направлена выпуклость изгиба (см. § 5.2). Поскольку

щина приконтактного слоя в металле будет на несколько порядков меньше толщины контактного слоя в полупроводнике.1 В связи с этим считают, что объемный заряд в металле практически сосре­ доточен на поверхности металла, обращенной к полупроводнику.

1 Считается, что толщина контактного слоя в металле порядка 10 7 см,

159