книги из ГПНТБ / Крутецкий, И. В. Физика твердого тела учеб. пособие

1. Ферромагнетизм может наблюдаться лишь у тех элементов

с недостроенными внутренними оболочками, у которых — >-1,5.

а

2. Плотность состояний в электронных оболочках атомов ферро­ магнетиков должна быть настолько велика, чтобы увеличение ки­ нетической энергии при занятии более высоких вакантных уровней не превышало выигрыша за счет обменной энергии.

Кроме того, для возникновения ферромагнетизма необходим оптимум межатомного расстояния. Если атомы слишком удалены, то обменное взаимодействие очень мало.

Магнитное взаимодействие, как было указано выше, мало по сравнению с объемным взаимодействием, тем не менее оно обуслов­ ливает ряд таких важных явлений, как гистерезис, магнитострик-' ция и другие процессы технического намагничения.

В 1907 г. Вейс предложил теорию ферромагнетизма, основанную на существовании в каждом образце большого числа областей спон­ танного намагничения, или так называемых доменов. Линейные

размеры доменов достигают 10 ч- 10 см. В каждом домене все элементарные магнитные диполи ориентированы параллельно друг другу. Поэтому можно охарактеризовать каждый домен его собст­ венным магнитным моментом.

При отсутствии внешнего магнитного поля векторы магнитных моментов отдельных доменов ориентированы в пространстве хаоти­ чески, так что результирующий магнитный момент тела равен нулю. Внешнее магнитное поле, действующее на ферромагнетик, ориенти­ рует магнитные моменты не отдельных частиц, а целых областей спонтанной намагниченности.

Причину образования доменов внутри ферромагнитного кри­ сталла можно пояснить, исходя из известного положения о том, что устойчивым состоянием системы является такое состояние, ко­ торому соответствует минимум свободной энергии.

Выделим внутри ферромагнитного кристалла область, в которой под влиянием обменных сил спины всех электронов недостроенных оболочек выстроились параллельно друг другу (рис. 51, а). Такой кристалл представлял бы собой постоянный магнит, создающий внешнее магнитное поле, которое обладает вполне определенной потенциальной энергией, на рис. 51, а стрелкой обозначен магнит­ ный момент домена.

Если этот же кристалл будет состоять из двух доменов с противо­ положной ориентацией спинов (рис. 51, б), то создаваемое им внеш­ нее магнитное поле будет обладать уже вдвое меньшей энергией, чем в первом случае.

Если же в кристалле возникают четыре домена (рис. 51, в), то энергия внешнего магнитного поля уменьшается в четыре раза. Еще более выгодной с энергетической стороны является доменная структура, изображенная на рис. 51, г, д. Здесь, помимо плоских антипараллельно направленных доменов, на концах кристалла должны возникать области в виде трехгранных призм, замыкаю­

130

щих магнитные потоки, выходящие из соседних доменов. Такое за­ мыкание дополнительно уменьшает магнитную энергию и делает систему более устойчивой.

Процесс дробления кристалла на домены имеет определенный предел. Он наступает при таких размерах доменов, при которых энергия, необходимая для образования новых граничных слоев между доменами, будет больше выигрыша в энергии, происходя­ щего за счет уменьшения энергии внешнего магнитного поля ферро­ магнетика, соответствующего дальнейшему дроблению доменов.

§ 4.4. ЭФФЕКТ ХОЛЛА В МЕТАЛЛАХ И ПОЛУПРОВОДНИКАХ

Эффект, обнаруженный Холлом в 1880 г., заключается в том, что если к проводнику, по которому идет электрический ток /, при­ ложить внешнее магнитное поле Я, перпендикулярное направлению

тока, то в проводнике, в поперечном направлении к току, возникает электродвижущая сила <§н. Эта электродвижущая сила, направлен­ ная перпендикулярно к току и направлению магнитного поля, (рис. 52), получила название э. д. с. Холла. Естественно, что э. д. с.

£н будет соответствовать поперечное поле Е н (рис. 52).

4.4.1.МЕХАНИЗМ ЭФФЕКТА ХОЛЛА В МЕТАЛЛАХ

И ПОЛУПРОВОДНИКАХ

Качественно возникновение э. д. с. Холла, а значит и разности потенциалов UH в поперечном к току направлении, объясняется тем, что за счет поперечного магнитного поля на заряженные ча­ стицы, образующие ток, будет действовать сила Лоренца

которая и разделяет заряды. Здесь обозначили: е — заряд, соот­ ветствующий численному заряду электрона; v — скорость движе­ ния зарядов; с — 31-1010 см/сек — коэффициент, равный скорости света в вакууме, поскольку используется система единиц Гаусса.

131

Опыт показал, что поле Холла Е н пропорционально величине

напряженности магнитного поля Я и плотности тока / = — (рис. 52),

О

т. е.

E „ ~ j H .

Переходя к формуле и вводя коэффициент пропорциональности R H, получим

Рассмотрим более подробно механизм эффекта Холла, исходя из представлений классической электронной теории.

Очевидно, что поперечное поле Холла Е н принимает определен­

с которой она действует на носитель тока, уравновешивает силу Лоренца (4.4.1), разделяющую заряды, т. е. когда 1

Если теперь умножить обе части равенства (4.4.4) на концентра­ цию носителей п и учесть, что env = / есть плотность тока, то вместо (4.4.4) можно записать

епЕн ~ — Я ,

с

Сравнивая теоретическую формулу (4.4.5) с экспериментальной

Если вновь обратиться к рис. 52 и учесть размеры поперечного сечения проводника S — b-d, то можно определить через Е н хол-

v и Н потому, что в рассматриваемом случае (см. рис. 52) векторное произве­

дение (4.4.1) при v х Н сводится к произведению численных значений этих векторов.

132

Отсюда, используя (4.4.5), для U H получим выражение

В рассмотренных выше формулах предполагалось, что величины /, Н, е — имеют численное значение. Однако электрический заряд е носителей тока (электронов и дырок), как мы видели, может быть и отрицательным, и положительным. Поэтому разность потенциалов UH в эффекте Холла, как видно из (4.4.8), будет менять знак в за­ висимости от знака основных носителей тока в твердом теле. Соот­ ветственно будет изменяться и знак постоянной Холла. В частно­ сти, в полупроводниках, как показали опыты, эффект Холла под­ тверждает наличиеэлектронов и дырок.

Что же касается металлов, то для них наблюдается как нормаль­ ный отрицательный эффект Холла (RH<C0), соответствующий элек­ тронам, так и аномальный (положительный) эффект Холла (/?H> 0 ) V свойственный положительным носителям — дыркам. Объясняется это следующим. Для металлов, у которых зона проводимости за­ полнена электронами меньше чем наполовину, электроны ведут себя нормально, как частицы с т * > 0 и е < 0 . К таким проводни­ кам, например, относятся щелочные металлы.

с дырочной проводимостью и RH^>0 являются, например, берил­ лий, цинк и др. Последнее, как мы видели раньше, является под­ тверждением общего положения зонной теории о том, что электроны на верхних краях энергетических зон (любых) ведут себя как по­ ложительно заряженные частицы, имеющие т *< ^ 0 и е^>0.

Приведенный вывод постоянной Холла (4.4.6) не является стро­ гим даже в рамках классической теории электропроводности, так как в нем предполагалось, что все носители тока имеют одинаковую скорость движения v и одинаковое время жизни т. Однако это при­ ближение является допустимым для металлов и сильно вы­ рожденных полупроводников, в которых электроны проводимости располагаются в основном на уровнях, близких к уровню Ферми, так что их примерно одинаковая скорость определяется фиксиро­ ванным значением энергии Ферми. В обычных же полупроводни­ ках имеет место большой разброс скоростей v и времени жизни т носителей.

Поэтому более строгий расчет показывает, что постоянную Холла

где величина А является константой, зависящей от механизма рас­ сеяния носителей. В частности, в полупроводниках, которые обла­ дают атомной решеткой (типа решетки алмаза) и в которых в основ-

133

ном имеет место рассеяние носителей тока на тепловых колебаниях. решетки, константа А = Зя/8 = 1,18 и постоянная Холла соот­ ветственно будет

Если же в полупроводниках рассеяние носителей в основном происходит на целиком ионизированных атомных примесях, то

А = 1,93 и

епс

В полупроводниках с ионной решеткой при температурах ниже температуры Дебая (kT <C^i©m) постоянная R H, как и для метал­ лов, будет равна

Наконец, в полупроводниках, в которых действуют оба меха­ низма рассеяния носителей тока, постоянная Холла R H сложным образом зависит от факторов, характеризующих оба процесса рас­ сеяния. При этом, когда сильно преобладает один из механизмов рассеяния, тогда RH переходит в (4.4.10) или в (4.4.11).

Необходимо заметить, что как гальваномагнитное явление эф­ фект Холла зависит не только от концентрации носителей (п или р), но также и от подвижности электронов (ип) и дырок (ир), которые существенно отличаются друг от друга (всегда ир<Сип). Поэтому расчет, учитывающий это обстоятельство, приводит для R H к сле­ дующей формуле

Ари2р — пип2

(4.4.13)

ес(рир + пип)*

Из (4.4.13) видно, что знак постоянной Холла зависит не только от знака заряда носителей е, но и от знака разности {Ри\ — пип2)-

В заключение этого пункта приведем размерность постоянной Холла RH в системе Гаусса и в системе СИ. В системе Гаусса из фор-

. 134

мулы (4.4.6) следует, что

4.4.2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭФФЕКТА ХОЛЛА

Эффект Холла как гальваномагнитное явление, во-первых, по­ зволяет определить значение напряженности магнитного поля Я, ко­ торое его вызывает [см. (4.4.8) ]. В этом смысле прибор, фиксирующий ея или UH, может служить датчиком э. д. с. Холла и датчиком магнитного поля (Я ~ UH). При этом возможным является созда­ ние приборов для измерения не только постоянных, но и перемен­ ных магнитных полей. На основании эффекта Холла можно также создать приборы для измерения токов высокой частоты (UH ~ Г при Я = const), усилители и генераторы электрических колеба­ ний и др.

Во-вторых, на использовании эффекта Холла базируется один из основных физических методов экспериментального исследования полупроводников и металлов. В самом деле, измеряя на опыте R H можно определить: знак носителей тока, концентрацию носителей

а также подвижность носителей при заданных концентрациях [см. (4.4.13) или (4.4.14) ].

Необходимо заметить, что определение подвижности носителей целесообразно производить при одновременном измерении и элек­ тропроводности образца

Очевидно, что в качестве датчиков Холла целесообразно исполь­ зовать материал с большой подвижностью носителей. Как уже ука­ зывалось выше (см. § 2.5) такими полупроводниковыми материалами могут служить соединения типа ASB&. Например, можно использо­ вать сурьмянистый индий InSb и мышьяковистый индий InAs.

135

Г Л А В А 5

ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОНТАКТНЫХ ЯВЛЕНИЙ

§ 5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛЯ ПОЛУПРОВОДНИКОВ КОНЦЕНТРАЦИИ НОСИТЕЛЕЙ ТОКА

ИУРОВНЯ ФЕРМИ

Вэтой главе при рассмотрении общих вопросов физики твердого тела, имеющих непосредственное значение для изучения контактных явлений, более подробно остановимся на полупроводниках. Целе­ сообразность этого в первую очередь объясняется тем, что с точки зрения зонной теории твердых тел структура зон полупроводника является наиболее типичной, а металлы и диэлектрики, в этом смысле, являются как бы предельными случаями полупроводников.

Сдругой стороны, из потребностей практики наибольшее значение имеют выпрямляющие контакты полупроводников.

Поэтому в данной главе при расчете концентрации носителей тока и уровня Ферми, при исследовании термоэлектронной эмиссии и контактной разности потенциалов —за исходные образцы твердого тела выбраны полупроводники. Необходимо заметить, однако,что должное внимание уделяется и металлам, так как весьма подробно анализируется контакт металла с полупроводником.

5.1.1.ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАВНОВЕСНОЙ КОНЦЕНТРАЦИИ

НОСИТЕЛЕЙ ТОКА В ПОЛУПРОВОДНИКЕ

В § 1.2 мы установили, что распределение электронов по энерге­ тическим состояниям в кристаллическом теле определяется функ­ цией (1.2.42), причем в качестве масс носителей тока необходимо брать их эффективные массы т * и т * . В § 1.2 также указывалось,

что число состояний в зоне проводимости полупроводника порядка 1022 в 1 см3, а число свободных электронов в 1 см3 электронного по­ лупроводника изменяется в широких пределах от 1012 до 1018.

Однако, по определению функции Ферми (см. § 1.2), при этих условиях она будет

1012 щи

Ю-Юч-Ю-

g 1022

.136

посредственно примыкающих к дну зоны проводимости. Поэтому

зоны проводимости, считая, что энергия электрона на дне зоны про­ водимости равна нулю (Е = 0).

Однако выражение (5.1.2) с точностью до коэффициента совпа­ дает с (1.2.27л) из классической статистики. Поэтому распределение (5.1.2) называют распределением Максвелла—Больцмана. Физи­ чески это соответствует тому, что в состояниях электронов в полу­ проводнике, для которых выполняется условие (5.1.2), электрон­ ный газ ведет себя как невырожденный газ. Дальше будет показано, что для невырожденного электронного газа, так же, как и для иде­ ального газа, средняя энергия пропорциональна температуре. За­ метим, что, как известно из физики, для идеального газа применима статистика Максвелла—Больцмана. Если же свойства газа отли­ чаются от свойств идеального газа, то это называется вырождением. К такому вырожденному газу неприменима статистика Максвелла— Больцмана. По аналогии с этим считается, что для вырожденного электронного газа применима статистика Ферми. Если же к элек­ тронному газу применима статистика Максвелла—Больцмана, то он называется невырожденным.

Для определения в полупроводнике концентрации электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне подсчитаем вначале общее число электронов в зоне проводимости. В § 1.2 мы уже гово­ рили, что общее число состояний в зоне (в частности, в зоне прово­ димости) для 1 см3 кристалла равно числу атомов N, умноженному на кратность атомного уровня ga, из которого образовалась зона, т. е. общее число состояний равно gaN.

Очевидно, что число dn электронов проводимости, для которых энергии лежат в интервале от Е до Е + dE, равно числу состояний в этом интервале g (Е) dE, умноженному на вероятность их запол­ нения, равную функции Ферми f, т. е.

137

причем на основании сказанного выше об общем числе состояний в зоне (рис. 53):

ga^ = .f g {E )d E El

или

так как условились энергию отсчитывать от дна зоны проводимости. Очевидно, что на основании (5.1.3) общее число электронов в зоне

проводимости запишется в виде:

Точный вид функций g (Е) для всей зоны проводимости до сих пор неиз­ вестен, что затрудняет вычисление интеграла (5.1.5). Но если учесть, что с увеличением энергии Е в зоне функция / быстро убывает, то верхний предел интеграла (5.1.5) можно счи­ тать равным бесконечности, а для функции f (Е) ограничиться значени­

ями вблизи дна зоны проводимости. В этом случае расчет по кван­ товой теории показывает, что

и интеграл (5.1.5) с учетом (5.1.2) запишется в виде:

00 £ 4 л { 9 т * I 3 2 _

n = J fg(E )d E — J e kT - L - s L - Y E d E . h3

Переходя в последнем интервале к новой переменной хх = ~

получим *1

т. e. концентрация электронов в зоне проводимости или вообще кон­ центрация свободных электронов в полупроводнике будет

138

Индексом нуль мы обозначили здесь концентрацию электронов п, чтобы отметить, что это равновесная концентрация свободных элек­ тронов в полупроводнике. Равновесной она будет потому, что при получении (5.1.7) пользовались функцией распределения Ферми, описывающей систему, находящуюся в состоянии термодинамиче­ ского теплового равновесия. Здесь и в дальнейшем чаще всего мы будем пользоваться равновесными концентрациями электронов п& и дырок р 0, хотя индекс нуль иногда будем опускать.

Если прологарифмируем (5.1.7), то определим значение уровня или величину отрезка р на рис. 53:

2 (2nm*nkT

Необходимо заметить, что по сравнению с распределением (1.2.33) классической статистики выражение (5.1.6) имеет в знаме­ нателе величину К3. Это объясняется тем (см. § 1.2), что в квантовой статистике все фазовое пространство разбивается на ячейки разме­ ром h, причем принцип Паули здесь сводится к тому, что в -каждой ячейке объемом Ь? может находиться не более двух электронов, имеющих противоположные спины.

Вычисления, аналогичные тем, которые привели к выражениям (5.1.7) и (5.1.8), позволяют получить концентрацию дырок р в за­ полненной зоне полупроводника (см. рис. 53):

где р' есть расстояние по энергии от уровня Ферми р до верхнего края валентной зоны, определяемое из условия

На основании (5.1.10) выражение (5.1.9) можно переписать-в виде, близком к (5.1.7):

Также нетрудно рассчитать концентрацию электронов nd на донорных и акцепторных уровнях. Очевидно, что отношение числа электронов nd к общему числу (концентрации) донорных уровней Nd согласно (1.2.38) должно быть равным функции распределения Ферми [см. (1.2.40)], в которой энергия соответствует донорному уровню (см. рис. 53):

П£ ________1_____

139